Линейные операторы в евклидовых пространствах. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве. Алгебра

220400 Алгебра и геометрия Толстиков А.В.

Лекции 15. Линейные операторы в евклидовых пространствах

План

1. Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства.

2. Самосопряженные операторы.

3. Ортогональные матрицы и их свойства.

4. Ортогональные операторы и их свойства.

1. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1. Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства. Пусть E - евклидово пространство над полем действительных чисел R , на котором определено скалярное произведение векторов (a ,b ), a , b ÎE.

Определение 1. Линейный оператор A * евклидова пространства E называется сопряженным линейному оператору A * пространства E , если для любых векторов a , b ÎE выполняется условие:

(Aa ,b ) = (a , A * b ). (1)

Лемма 1. Если произведение данной строки U на любой столбец Y равно нулю, то строка U нулевая. Если произведение любой строки X t на данную столбец U равно нулю, то столбец нулевой.

Доказательство. Пусть U = (u 1 , u 2 ,…, u n ), Y = (y 1 , y 2 ,…, y n ) t . По условию теоремы для любых чисел y 1 , y 2 ,…, y n U Y = (u 1 , u 2 ,…, u n )(y 1 , y 2 ,…, y n ) t = u 1 y 1 + u 2 y 2 +…+ u n y n =0. Если все числа y 1 , y 2 ,…, y n равны 0, кроме y j , которое =1, то отсюда получаем, что u j (i = 1,2,…,n ). Поэтому U =0. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Теорема 1. Пусть v = (v 1 , v 2 ,…, v n ) - базис евклидова пространства E , A - матрица линейного оператора A относительно базиса v , G = (g ij ) - матрица Грама базиса v . Если для линейного оператора A существует сопряженный оператор A * , то выполняется равенство

A t G = G A * . (2)

Доказательство. Пусть X и Y координатные столбцы векторов a , b ÎE относительно базиса v , A и A * матрицы линейных операторов A и A * относительно базиса v . Тогда

(Aa , b ) =(v (AX ), vY ) = (AX ) t GY , (a , A * b ) = X t G A * Y. (3)

Отсюда по формуле (1) получим равенство (AX ) t GY = X t G A * Y, справедливое для любых вектор столбцов X и Y. Так как векторы a , b произвольные, то по лемме 1 получаем A t G = G A * .

Теорема 2. Если базис v = (v 1 , v 2 ,…, v n ) евклидова пространства E ортонормированный, то матрица A * сопряженного линейного оператора A * является транспонированной к матрице Aоператора A ;

A t = A * . (4)

Доказательство. Так как матрица Грамма ортонормированного базиса единичная, G = E , то (4) следует из (2).

Следствие 1 . Для любого оператора A справедливо равенство (A * ) * = A .

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов (A * ) * и A в ортонормированном базисе имеем (A * ) * = (A t ) t = A . Поэтому (A * ) * = A .

Следствие 2 . Для любых оператора A , B справедливо равенство (AB ) * = B * A * .

Доказательство. По формуле (4) для матриц линейных операторов A , B и A * , B * в ортонормированном базисе имеем (AB ) * = (AB ) t = B t A t = B * A * . Поэтому (AB ) * = B * A * .

Следствие 3 . Собственные значения линейных операторов A и A * совпадают .

Доказательство. Так как характеристические многочлены матриц и совпадают, то собственные значения линейных операторов, которые являются корнями характеристического уравнения совпадают.

Теорема 3. Для любого линейного оператора A евклидова пространства E существует единственный сопряженный линейный оператор A * .

Доказательство. Пусть v = (v 1 , v 2 ,…, v n) ортонормированный базис евклидова пространства E , A - линейный оператор с матрицей A относительно базиса v . Рассмотрим в E линейный оператор B с матрицей A t относительно данного базиса. Оператор B существует и единственный. Правые части равенств (3) равны: (AX ) t GY = X t G A * Y. Поэтому равны и левые (Aa , b ) = (a , Bb ). Поэтому оператор B - сопряженный для оператора A .

2. Самосопряженные операторы.

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется самосопряженным или симметричным , если A = A * , т.е. для любых векторов двух a , b ÎE выполняется условие:

(Aa , b ) = (a , Ab ). (1)

Теорема 1 . Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т. е . A = A * .

Занятие 13 (Фдз 14).

Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.

Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.

13.1. Ортогональный оператор и его свойства.

13.2. Сопряженный линейный оператор

13.3. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор. Существование и нахождение ортонормированного собственного базиса симметричного линейного оператора.

13.1. Линейный оператор , заданный в евклидовом пространстве со скалярным произведением , называется ортогональным оператором , если , где .

Ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е.

В произвольном базисе пространства

, (1)

где - матрица ортогонального оператора, - матрица Грама, - координаты векторов в базисе . В случае ортонормированного базиса , и равенство (1) заменяется равенством

Следовательно, в любом ортонормированном базисе пространства ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу .

Пример 1 . Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - линейный оператор поворота векторов вокруг начала координат на заданный угол . Доказать, что - ортогональный оператор.

С геометрической точки зрения ортогональность заданного оператора очевидна.

Проведем строгое доказательство.

- единичные векторы осей . Эти векторы образуют стандартный ортонормированный базис пространства , с которым связано стандартное скалярное произведение.

Рассмотрим два произвольных вектора .

Т.к. , делаем вывод: - ортогональный оператор.

В дополнение к проведенному доказательству проверим ортогональность матрицы оператора в ортонормированном базисе . Из формул (3), (2) находим

, - ортогональная матрица.

Пример 2 . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.

Проверим выполнение равенства .

- матрица Грама в базисе .

Не является ортогональным оператором.

13.2. Пусть даны два линейных оператора и в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется сопряженным оператором оператору , если , где .

Если и матрицы оператора и сопряженного ему оператора в базисе

Указанная связь между матрицами и позволяет найти матрицу , если известна матрица , и наоборот, найти матрицу , если известна матрица .

В ортонормированном базисе, где , равенство (4) заменится равенством .

Следует отметить, что сопряженный оператор оператору совпадает с оператором . Поэтому, операторы и называются взаимно сопряженными .

Пример 3 . Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Потребуем найти матрицу сопряженного оператора в данном базисе. Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .

- матрица Грама в базисе .

Из матричного равенства (5) выводим: .

Займемся теперь поиском матрицы оператора . Согласно формуле (5) выводим:

13.3. Пусть - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется самосопряженным или симметричным , если , где .

Если - матрица оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то

В ортонормированном базисе (в котором ) это равенство заменится равенством

Следовательно, в ортонормированном базисе симметричный оператор имеет симметрическую матрицу.

Важные свойства симметричного оператора фиксирует следующая теорема .

Все собственные значения симметричного оператора действительны, и собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны .

Из собственных векторов симметричного оператора можно не только образовать собственный базис, но и даже ортонормированный собственный базис. Поэтому, любой симметричный оператор является оператором простого типа (см. занятие 7).

Пример 4 . Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

1. Из характеристического уравнения найдем собственные значения оператора .

2. Теперь найдем собственные векторы.

Собственный вектор с собственным значением .

В ортонормированном базисе скалярное произведение задается формулой

, где - координаты векторов в этом базисе.

Ортогональные векторы (что согласуется с выводами теоремы, приведенной выше) - линейно независимая система. Т.к. евклидово пространство двумерно, приходим к выводу: - ортогональный собственный базис.

Чтобы получить ортонормированный собственный базис нужно пронормировать векторы .

Итак, - собственный базис симметричного оператора .

Пример 5 . Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу

Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

Собственный вектор с собственным значением .

Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, - ортогональная система векторов и одновременно является собственным ортогональным базисом оператора . Чтобы получить собственный ортонормированный базис , пронормируем векторы .

Пример 6 . Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

Т.к. , а тройка векторов в базисе

Пусть линейный оператор А действует в евклидовом пространстве E n и преобразует это пространство само в себя.

Введем определение : оператор А * назовем сопряженным оператору А , если для любых двух векторов x,y из Е n выполняется равенство скалярный произведений вида:

(Ax,y ) = (x,A * y )

Еще определение : линейный оператор называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному оператору, т. е. справедливо равенство:

(Ax,y ) = (x,Ay )

или, в частности (Ax,x ) = (x,Ax ).

Самосопряженный оператор обладает некоторыми свойствами. Упомянем некоторые из них:

Собственные числа самосопряженного оператора - вещественны (без доказательства);

Собственные векторы самосопряженного оператора ортогональны. Действительно, если x 1 и x 2 – собственные векторы, а  1 и  2 – их собственные числа, то: Ax 1 =  1 x ; Ax 2 =  2 x ; (Ax 1 ,x 2 ) = (x 1 ,Ax 2 ), или  1 (x 1 ,x 2 ) =  2 (x 1 ,x 2 ). Поскольку  1 и  2 различны, то отсюда (x 1 ,x 2 ) = 0, что и требовалось доказать.

В евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора А . Т. е. матрицу самосопряженного оператора всегда можно привести к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов самосопряженного оператора.

Еще одно определение : назовем самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве симметричным оператором. Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

(Ax,y ) = (x,Ay )

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y ) = X T Y = Y T X и имеем (Ax,y ) = (AX) T Y = X T A T Y

(x,Ay ) = X T (AY) = X T AY,

т.е. X T A T Y = X T AY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при А Т = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось е 1 в базисе е 1 , е 2 , е 3 . Матрица линейного оператора – это матрица, в столбцах которой должны стоять образы базисных векторов е 1 = (1,0,0), е 2 = (0,1,0), е 3 = (0,0,1). Эти образы, очевидно, есть: Ае 1 = (1,0,0)

Ае 2 = (0,0,0)

Ае 3 = (0,0,0)

Следовательно, в базисе е 1 , е 2 , е 3 матрица искомого линейного оператора будет иметь вид:

Найдем ядро этого оператора. Согласно определению ядро – это множество векторов х , для которых АХ = 0. Или

Т. е. ядро оператора составляет множество векторов, лежащих в плоскости е 1 , е 2 . Размерность ядра равна n – rangA = 2.

Множество образов этого оператора – это, очевидно, множество векторов, коллинеарных е 1 . Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1 , что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример : найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V 3 (базис i , j , k ) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

Имеем: Ai = -i

Т. е. искомая матрица

Рассмотрим линейное преобразование – симметрию относительно плоскости y = x .

Aj = i (1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Матрица оператора будет:

Еще пример – уже знакомая матрица, связывающая координаты вектора при повороте осей координат. Назовем оператор, осуществляющий поворот осей координат, - оператор поворота. Допустим, осуществляется поворот на угол :

Ai ’ = cosi + sinj

Aj ’ = -sini + cosj

Матрица оператора поворота:

Ai ‘ Aj ‘

Вспомним формулы преобразования координат точки при смене базиса – замена координат на плоскости при смене базиса:

Эти формулы можно рассматривать двояко. Ранее мы рассматривали эти формулы так, что точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М * в положение М. Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с координатами (a,b) на некоторый угол . Поворот координат описывается формулами:

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY: (x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

Действительно:

А матрица поворота:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1 й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, -b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2 й шаг: поворот на угол :

3 й шаг: параллельный перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение:

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

(**)

ЛЕКЦИЯ 9

Операторы в евклидовых пространствах

Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают рядом специальных свойств, которые весьма важны для приложений линейной алгебры в различных предметных областях. Мы остановимся только на основных вопросах этой теории, в частности, будем изучать теорию линейных операторов исключительно в вещественных пространствах с ортонормированными базисами, а именно в пространстве . Причём операторы будем считать преобразованиями, то есть будем изучать операторы
.

Сопряжённый оператор . Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого к оператору , действующему в евклидовом пространстве
.

Определение 9.1. Пусть
– некоторый линейный оператор. Оператор
называется сопряжённым к оператору , если
выполняется условие

. (9.1)

Теорема 9.1. Для любого линейного оператора
существует единственный сопряжённый оператор
, который также является линейным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть оператор существует, докажем его единственность. Для этого предположим, что этот оператор не единственный, то есть существуют, например, два оператораи, удовлетворяющих определению 9.1. Тогда по формуле (9.1) имеем:

,
, (9.2)

откуда получаем

В силу того, что в определении 9.1 (в формуле (9.1)) вектор
произволен, положим в равенстве (9.3)

Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем

откуда в силу произвольности вектора следует, что
и единственность сопряжённого оператора доказана.

2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:

,
и

а)
;

Из сравнения формул а) и б) следует линейность сопряжённого оператора , а именно:

3) Докажем теперь существование сопряжённого оператора. Зафиксируем в пространстве
канонический базис
, и запишем векторы
и
в виде их разложений по каноническому базису:

;
. (9.4)

Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):

;

Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:

. (9.5)

Итак, если матрица оператора имеет вид

то матрица сопряжённого оператора имеет вид

. (9.6)

Из (9.6) следует, что матрица сопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе
находится путем транспонирования матрицы оператора, что и доказывает существование сопряжённого оператора.

Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.

Теорема 9.2. Справедливы следующие свойства сопряжённого оператора :
и

1)
; 2)
;

3)
; 4)
; (9.7)

5)
.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое соотношение. Пусть – произвольный линейный оператор. Для сопряжённого операторасопряжённым будет оператор. Тогда:

Последнее равенство выполняется при любом векторе , то есть,

откуда следует доказательство первого свойства.

Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:

Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Самосопряжённые операторы . В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы .

Определение 9.2. Линейный оператор
называется самосопряжённым , если
.

Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение

. (9.9)

Так как матрица сопряжённого оператора равна транспонированной матрице оператора, то у самосопряжённого оператора элементы матрицы удовлетворяют равенству
, то естьэлементы матрицы самосопряжённого оператора, симметричные относительно главной диагонали, равны . Такая матрица называется симметрической . По этой причине самосопряжённые операторы
часто называютсясимметрическими .

Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.

1. Единичный оператор является самосопряжённым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если
и
, то

3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.

Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если

где – нулевой оператор. Если
,
, то

что равно в том и только в том случае, если операторы коммутативны.

4. Оператор , обратный к невырожденному самосопряжённому оператору
также самосопряжённый оператор.

Д о к а з а т е л ь с т во. Действительно, если
, то

5. Если – самосопряжённый оператор, то произведение этого оператора на некоторое вещественное число
является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:

Теорема 9.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора , действующего в пространстве
, соответствующие попарно различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

:
и
, причём
. Так как оператор самосопряжённый, то
. Поэтому в левой и правой частях, соответственно, имеем:

;

Откуда в силу
получаем:
.

Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.

Теорема 9.4. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора
вещественные и различные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В общем случае доказательство теоремы достаточно громоздкое. По этой причине приведём доказательство для случая оператора
. Итак, пусть дан некоторый линейный оператор
с матрицей. Тогда характеристическое уравнение этого оператора имеет вид:

Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:

Решение этого уравнения находим по известной формуле:

Дискриминант имеет вид:

Первое слагаемое, очевидно, всегда положительно, а второе положительно, так как
. Поэтому корни характеристического уравнения вещественные и различные.

Теорема 9.5. Пусть
– самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве
можно выбрать ортонормированный базис

так, чтобы матрица оператора в этом базисе была диагональной .

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.4 все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные, а следовательно, по теореме 9.3 собственные векторы самосопряжённого оператора взаимно ортогональны. Систему собственных векторов, очевидно, можно нормировать. Но тогда эти векторы образуют базис пространства
, в котором оператор является оператором простой структуры, то есть имеет диагональную матрицу.

Ортогональные операторы и их свойства, геометрическая интерпретация . Рассмотрим определение и свойства важного класса операторов, действующих в пространстве
.

Определение 9.3. Оператор , действующий в пространстве
, называется ортогональным , если он сохраняет скалярное произведение, то есть

.(9.10)

Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними .

Лемма 9.1. Оператор

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

откуда имеем:
. Полагая
, получаем:

Пусть
. Тогда имеем:

Очевидно, что ортогональный оператор невырожден , то есть, его матрица имеет обратную матрицу.

Теорема 9.6 (о свойствах ортогональных операторов). Ортогональные операторы
обладают следующими свойствами:

1) единичный оператор является ортогональным;

2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;

3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;

4) если
– ортогональный оператор, то оператор
является ортогональным в том и только в том случае, если
.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Доказательство этого свойства почти очевидно:

2. Пусть
и
– ортогональные операторы. Тогда:

3. Пусть ортогональный оператор. Рассмотрим
:

4. Пусть – ортогональный оператор. Тогда

Теорема 9.7 (критерий ортогональности оператора). Оператор , действующий в пространстве
, является ортогональным в том и только в том случае, если он переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
– ортогональный оператор. Тогда он, сохраняя скалярное произведение, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Пусть теперь оператор
переводит ортонормированный базис

в новый ортонормированный базис

Тогда

Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.

Теорема 9.8. Система векторов-столбцов (строк) матрицы ортогонального оператора
в любом ортонормированном базисе

является ортонормированной .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
– некоторый ортогональный оператор и
– некоторый ортонормированный базис. По теореме 9.9 система образов базисных векторов сама является ортонормированной, то есть
. Поэтому для столбцов матрицы оператора