Переменные состояния динамической системы

Изучите теоретический материал по учебной литературе: ; и ответьте на следующие вопросы:

1. Какие переменные в электрической цепи обычно принимают за переменные состояния?

2. Сколько систем уравнений составляют при решении задачи методом переменных состояния?

3. Какие зависимости устанавливаются в первой и во второй системах уравнений при решении задачи методом переменных состояния?

4. Какая из двух систем является системой дифференциальных уравнений, алгебраических?

5. Какие способы используются для получения уравнений состояния и уравнений выходных параметров?

При расчете переходного процесса методом переменных состояния рекомендуется следующий порядок:

1. Выбрать переменные состояния. В предложенных для расчета схемах это напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных катушках .

2. Составить систему дифференциальных уравнений для первых производных от переменных состояния.

Для этого описать послекоммутационную схему с помощью законов Кирхгофа и решить ее относительно первых производных от переменных состояния и в зависимости от переменных , и источников э.д.с. (в предлагаемых схемах источник э.д.с. – единственный).

В матричной форме эта система дифференциальных уравнений 1-го порядка будет иметь вид:

, (8.1)

где – столбец производных , ;

Х – вектор - столбец переменных состояния.

В цепях второго порядка:

– квадратная матрица порядка n , определяемая топологией электрической цепи и параметрами ее элементов. В цепях второго порядка эта матрица имеет порядок 2´2.

Матрица – прямоугольная матрица порядка , где n – порядок цепи.

Матрица – столбец – определяется источниками э.д.с. и источниками токов схемы и называется вектором входных величин .

3. Составить систему алгебраических уравнений для искомых переменных, которые называются выходными . Это токи в любых ветвях схемы (кроме тока ) и напряжения на любых элементах схемы (кроме напряжения ). Полученные алгебраические уравнения устанавливают связи между выходными переменными, с одной стороны, и переменными состояния и источниками напряжения и тока схемы – с другой. В матричной форме эта система алгебраических уравнений имеет вид

,

где – вектор выходных величин;

– матрицы, определяемые топологией электрической цепи, параметрами ее элементов и количеством искомых переменных.

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях методом переменных состояния

Это наиболее универсальный метод расчета цепей как них, так и нелинейных. Метод используется для расчета цепей высокого порядка, когда применение других методов расчета нецелесообразно или практически невозможно. Метод переменных состояния основан на решении уравнений состояния (первого порядка)записанных в форме Коши. Для решения системы уравнений первого порядка разработаны численные методы, позволяющие автоматизировать расчет переходных процессов с ЭВМ. Таким образом, метод переменных состояния - один из расчета переходных процессов, ориентированный прежде всего на применение ЭВМ.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выводами, заряд на обкладках, конденсатора и т. д. можно найти как решение дифференциального уравнения, составленного для этого тока, напряжения, заряда и т.д., исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа:

Введением переменных

уравнение (1.1) сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(1.2)

Здесь переменными, которые называются переменными состояния, служит переменная X и ее производные. При этом предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее

1. Формирование уравнений переменных состояния

Энергетическое состояние цепи, а следовательно, и переходный процесс в любой цепи определяется энергией магнитного поля, запасенной в индуктивностях, и энергией электрического поля, запасенной в емкостях. Запасы энергии в реактивных элементах определяют токи в индуктивностях и напряжения емкостей, т.е. они определяют энергетическое состояние цепи и поэтому принимаются в качестве независимых переменных состояния.

Любая система уравнений, определяющая состояние цепи, называется уравнениями состояния. Токи в индуктивных элементахи напряжения на емкостных элементах
представляют независимыеначальные условия
цепи и должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во времяпереходного процесса.

Действующие источники энергии принято называть входными величинами
,а искомые величины (токи и напряжения) - выходными величинами
.

Для цепи с n независимыми токами и напряжениями
должны быть заданы еще n независимых начальных условий. Для операций с большим числом переменных используют методы матричного исчисления.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния, описывающие цепь по законам Кирхгофа, записываются в матричной форме:

, (1.3)

где X - вектор-столбец (размером n х 1) произвольных переменных состояния; V - вектор-столбец (размером m х 1) внешних воздействий (ЭДС и токов источников); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица связи между входами цепи и переменными состояния (размера n х m). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи
,m - число входов, n - число переменных состояния.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивностях и напряжения на емкостных элементах) необходимо добавить еще уравнение в матричной форме:

(1.4)

где Y - вектор - столбец искомых токов и напряжений на выходе (размерен 1 х 1), 1 - число выходов; С - матрица связи переменных состояния с выходами цепи (п х 1); D - матрица непосредственной связи входов и выходов цепи (размером 1 х m). Элементы матриц зависят от топологии и значений параметров цепи
.

Систему матричных уравнений

;
(1.5)

можно представить в виде структурной схемы (рис.1.3).

1.1. Составление уравнений состояния цепи

методом наложения

Пусть дана схема цепи после коммутации

Будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь (рис.2) заменим после коммутации эквивалентной (рис.3), у которой заданный ток представлен источником тока,заданное напряжение
источником напряжения
.

Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения
и токи
(сначала учитываемдействие источника затем
и далее источников, действующих в цепи).

От действия :

;
;

от действия
:

;
;

от действия е:

;
,

а полный ток
и напряжение .

(1.6)

Учитывая, что
и
получим

т.е в матричном виде уравнение (1.7) запишемся

(1.8)

1.2. Составление уравнений состояния цепи с помощью

законов Кирхгофа

Уравнения (1.7) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений резистивных элементов. По законам Кирхгофа уравнения для цепи (см.рис. 2) запишем в виде

(1.9)

Разрешим первое уравнение системы относительно , атретье, учитывая, что
, относительно. Тогда

(1.10)

Переменные
иявляются переменными состояния длярассматриваемой цепи. В правой части системы (1.10) присутствует переменная , не являющаяся независимой переменной состояния. Для ее исключения перепишем второе уравнение системы (1.9) в виде

(1.11)

и подставим сюда
.

Полученное из (1.11) значение тока

(1.12)

подставим в систему (1.10).

Получим систему уравнений в переменных состояния
для исследуемой цепи

(1.13)

где X, X, V, А, В соответствуют системе уравнений (1.7).

Пусть в рассматриваемом примере требуется определить токи и . Следовательно и будут выходными величинами цепии их необходимо представить в виде
,
.Ток уже определен в требуемом виде (1.12), а ток
.Тогда вторая система уравнений в переменных состояния
примет вид

(1.14)

В матричной форме система уравнений (1.14) запишется в виде

(1.15)

В частном случае, если выходными переменными является переменные состояния
то матрица С принимает вид диагональной матрицы, а элементы матрицы D равны нулю.

Уравнения состояния решаются на компьютерах численными методами.

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Та же система уравнений в матричной форме:

или в обобщённой матричной форме:

Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

Значения производных на к-ом шаге:

Значения переменных на к-ом шаге:

Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1(0), x2(0)...xn(0).

Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ""лишние"" переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL(t) и uC(t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL(0) и uC(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL(0) и uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

3. Методом исключения ""лишних"" переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab(t).

1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).

2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Для этой цели из (1) выражаем

и делаем подстановку в (1) и (2), а из (4) делаем подстановку в (1). Тогда получим:

Введем обозначения.

Эта процедура описывает, как определить переменную пакета, в которой хранится информация состояния CDC.

Переменная состояния CDC загружается, инициализируется и обновляется с помощью задачи «Управление CDC» и используется компонентом потока данных «Источник CDC» в целях определения текущего диапазона обработки для записей с данными об изменениях. Переменная состояния CDC может быть определена в контейнере, который является общим для задачи «Управление CDC» и источника CDC. Такое определение может быть сделано на уровне пакета, а также в других контейнерах, таких как контейнер цикла.

Изменять вручную значение переменной состояния CDC не рекомендуется, но выполнение этой операции может оказаться полезным для ознакомления с содержимым переменной.

В следующей таблице приведено общее описание компонентов значения переменной состояния CDC.

Компонент	Description
	Это имя текущего состояния CDC.
CS	Это обозначает точку начала текущего диапазона обработки (Current Start).
	Это последний регистрационный номер транзакции в журнале, обработанный во время предыдущего запуска CDC.
CE	Это обозначает конечную точку текущего диапазона обработки (Current End). Наличие компонента CE в состоянии CDC указывает на то, что пакет CDC обрабатывается в данный момент или что произошел сбой пакета CDC до полного завершения обработки всего диапазона CDC.
	Это последний номер LSN, который должен быть обработан во время текущего выполнения CDC. Всегда предполагается, что последний последовательный номер, который должен быть обработан, является максимальным (0xFFF…).
IR	Это обозначает начальный диапазон обработки.
	Это номер LSN изменения прямо перед началом первоначальной загрузки.
	Это номер LSN изменения непосредственно после завершения первоначальной загрузки.
TS	Это обозначает отметку времени последнего обновления состояния CDC.
>	Это десятичное представление 64-разрядного свойства System.DateTime.UtcNow.
ER	Оно отображается в случае сбоя последней операции и содержит краткое описание причины ошибки. При наличии этого компонента он всегда отображается последним.
	Это краткое описание ошибки.

Номера LSN и последовательные номера кодируются в виде шестнадцатеричной строки длиной до 20 знаков, представляющей значение LSN Binary(10).

В следующей таблице описаны возможные значения состояния CDC.

Состояние	Description
(INITIAL)	Это исходное состояние до выполнения какого-либо пакета в текущей группе CDC. Это состояние также имеет место, если состояние CDC пусто.
ILSTART (запуск начальной загрузки)	Это состояние, когда запускается начальная загрузка пакета после вызова задачи «Управление CDC» операцией MarkInitialLoadStart .
ILEND (завершение начальной загрузки)	Это состояние, когда начальная загрузка пакета успешно завершается после вызова задачи «Управление CDC» операцией MarkInitialLoadEnd .
ILUPDATE (обновление начальной загрузки)	Это состояние после выполнения пакета обновления тонкого канала после начальной загрузки во время продолжения обработки диапазона начальной обработки. Это происходит после вызова задачи «Управление CDC» операцией GetProcessingRange .
TFEND (завершение обновления тонкого канала)	Это состояние, ожидаемое для регулярного выполнения CDC. Оно показывает, что предыдущее выполнение завершилось успешно и можно начинать новое выполнение с новым диапазоном обработки.
TFSTART	Это состояние, которое возникает при последующем выполнении пакета обновления тонкого канала после вызова задачи "Управление CDC" операцией GetProcessingRange . Оно показывает, что регулярное выполнение CDC начато, но еще не завершено или завершено неверно (MarkProcessedRange ).
TFREDO (повторная обработка обновления тонкого канала)	Это состояние операции GetProcessingRange , наступающее после TFSTART. Оно показывает, что предыдущее выполнение не завершилось успешно. Если используется столбец __$reprocessing, он получает значение 1, чтобы показать, что пакет может повторно обрабатывать строки, уже находящиеся в целевой базе данных.
ERROR	Группа CDC находится в состоянии ERROR.

Ниже приведены примеры значений переменной состояния CDC.

ILSTART/IR/0x0000162B158700000000//TS/2011-08-07T17:10:43.0031645/

TFEND/CS/0x0000025B000001BC0003/TS/2011-07-17T12:05:58.1001145/

TFSTART/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:43.9344900/

TFREDO/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:59.5544900/

Определение переменной состояния CDC

В SQL Server Data Toolsоткройте пакет SQL Server 2016 Integration Services (SSIS) , в котором имеется поток CDC, где необходимо определить переменную.

Щелкните вкладку Обозреватель пакетов и добавьте новую переменную.

Присвойте переменной имя, которое поможет обозначить ее как переменную состояния.

Назначьте переменной тип данных String .

Не присваивайте переменной значение в составе ее определения. Значение должно быть задано задачей «Управление CDC».

Если намечено использовать задачу «Управление CDC» с параметром Автоматическое сохранение состояния , то переменная состояния CDC будет считываться из указанной таблицы состояния в базе данных и после обновления снова записываться в ту же таблицу при изменении ее значения. Дополнительные сведения о таблице состояния см. в разделах и .

Если не используется задача «Управление CDC» с параметром автоматического сохранения состояния, то необходимо загружать значение переменной из постоянного хранилища, в котором это значение было сохранено в последний раз при прогоне пакета, а затем снова записывать его в постоянное хранилище после завершения работы с текущим диапазоном обработки.

Метод переменных состояния (называемый иначе методом пространства состояний) основывается на двух уравнениях, записываемых в матричной форме.

Структура первого уравнения определяется тем, что оно связывает матрицу первых производных по времени переменных состояния с матрицами самих переменных состояния и внешних воздействий и, в качестве которых рассматриваются э. д. с. и токи источников.

Второе уравнение по своей структуре является алгебраическим и связывает матрицу выходных величин у с матрицами переменных состояния и внешних воздействий и.

Определяя переменные состояния, отметим следующие их свойства

1. В качестве переменных состояния в электрических цепях следует выбирать токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, причем не во всех индуктивностях и не на всех емкостях, а только для независимых, т. е. таких, которые определяют общий порядок системы дифференциальных уравнений цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния записываются в канонической форме, т. е. представляются решенными относительно первых производных переменных состояния по времени.

Отметим, что только при выборе в качестве переменных состояния токов к в независимых индуктивностях и напряжений на независимых емкостях первое уравнение метода переменных состояния будет иметь указанную выше структуру.

Если в качестве переменных состояния выбрать токи в ветвях с емкостями или токи в ветвях с сопротивлениями, а также напряжения на индуктивностях или напряжения на сопротивлениях то первое уравнение метода переменных состояния также можно представить в канонической форме, т. е. решенным относительно первых производных по времени этих величин. Однако структура их правых частей не будет соответствовать данному выше определению, так как в них будет еще входить матрица первых производных от внешних воздействий

3. Число переменных состояния равно порядку системы дифференциальных уравнений исследуемой электрической цепи.

4. Выбор в качестве переменных состояния токов и напряжений удобен еще и потому, что именно эти величины согласно законам коммутации (§ 13-1) в момент коммутации не изменяются скачком, т. е. одинаковы для моментов времени

5. Переменные состояния потому так и называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выражений

6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно при их решении на аналоговых вычислительных машинах и для программирования при их решении на цифровых вычислительных машинах. Поэтому такое представление имеет очень важное значение при решении этих уравнений с помощью средств современной вычислительной техники.

Покажем на примере цепи рис. 14-14, как составляются уравнения по методу переменных состояния.

Сначала получим систему дифференциальных уравнений, соответствующую первому матричному уравнению метода, а затем запишем ее в матричной форме. Алгоритм составления этих уравнений для любой электрической цепи следующий. Сначала записываются урэвнения по законам Кирхгофа или по методу контурных токов; затем выбираются переменные состояния и путем дифференцирования исходных уравнений и исключения других переменных получаются

чаются уравнения метода переменных состояния. Этот алгоритм очень напоминает применяемый в классическом методе расчета пере ходных процессов для получения одного результирующего дифференциального уравнения относительно одного из переменных

В частных случаях, когда в цепи нет емкостных контуров т. е. контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов с присоединенными ветвями, в каждой из которых включены индуктивности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавливая на нем, отметим лишь, что он основан на замене емкостей источниками э. д. с., индуктивностей - источниками тока и применении метода наложения.

Для цепи рис. 14-14 по законам Кирхгофа

(14-36)

Определяя из первого уравнения, подставляя в третье, заменяя и представляя полученное дифференциальное уравнение в канонической форме относительно получаем:

Решая второе уравнение (14-36) относительно , заменяя согласно первому уравнению (14-36) и подставляя , получаем:

Складывая почленно (14-38) с умноженным на уравнением (14-37) и определяя из полученного результата , получаем:

Перепишем уравнения (14-39) и (14-37) в матричной форме:

(14-4°)

где для рассматриваемой цепи имеем:

(14-42а)

В общем случае первое уравнение метода переменных состояния в матричной форме запишется в виде

(14-43)

Матрицы А и В в линейных цепях зависят только от параметров цепи , т. е. являются постоянными величинами. При этом А - квадратная матрица порядка и называется основной матрицей цепи, матрица В - в общем случае прямоугольная, размера называется матрицей связи между входом цепи и переменными состояния, матрицы - матрицы столбцы или векторы переменных состояния (размера и внешних возмущений (размера )

В рассматриваемом примере матрица В получилась квадратной второго порядка, так как число переменных состояния равно числу внешних возмущении

Перейдем к составлению второго уравнения метода В качестве выходных можно выбрать любые из величин. Возьмем, например, в качестве выходных три величины

Значения их запишутся через переменные состояния и внешние возмущения непосредственно из уравнений (14 36)

(14-44)

или в матричнои форме

или сокращенно

(14-46)

где для рассматриваемой цепи

а в общем случае второе уравнение метода переменных состояния

Матрицы С и D зависят только от параметров цепи . В общем случае - это прямоугольные матрицы соответственно размеров , причем С называется матрицей связи переменных состояния с выходом цепи, матрицей непосредственной связи входа и выхода цепи (или системы).

Для ряда физических систем D является нулевой матрицей и второй член в (14-48) обращается в нуль, так как нет непосред. ственной связи между входом и выходом системы.

Если в качестве переменных состояния взять, например, ток i и напряжение и представить дифференциальные уравнения относительно них в канонической форме, то (опуская все промежуточные преобразования) первое из уравнений метода в матричной форме будет иметь вид:

Таким образом, действительно, первое уравнение метода переменных состояния будет в матричной форме иметь вид (14-43) только при выборе в качестве переменных состояния тока и напряжения

Переходя к решению матричного дифференциального уравнения (14-43), прежде всего отметим, что оно особенно упрощается, если квадратная основная матрица А порядка является диагональной. Тогда все линейных дифференциальных уравнений (14-43) развязаны, т. е. производные переменных состояния зависят каждая только от своей переменной состояния.

Рассмотрим сначала решение линейного неоднородного матричного дифференциального уравнения (14-43) операторным методом Для этого преобразуем его по Лапласу:

причем матрица-столбец начальных значений переменных состояния, т. е.

(14-53)

которые в момент коммутации не изменяются скачком, заданы и равны их значениям в момент

Перепишем (14-51):

где - единичная матрица порядка .

Для получения матрицы изображений переменных состояния умножим слева обе части (14-54) на обратную матрицу

Переходя обратно к оригиналам при помощи обратного преобразования Лапласа, получаем:

Из операторного метода известно, что

По аналогии, записывая обратное преобразование Лапласа в матричной форме, будем иметь:

где - переходная матрица состояния системы, называемая иначе фундаментальной.

Таким образом, находим оригинал первого слагаемого правой части (14-56)

Обратная матрица определяется делением присоединенной или взаимной матрицы на определитель основной матрицы:

где уравнение

(14-61)

представляет собой характеристическое уравнение исследуемой цепи.

Оригинал второго слагаемого правой части (14-56) находится при помощи теоремы свертки в матричной форме

если положить

Тогда на основании (14-62)-(14-64)

и общее решение дифференциального неоднородного матричного уравнения (14-43) на основании (14-56), (14-59) и (14-65) будет иметь вид:

(14-66)

Первое слагаемое правой части (14-66) представляет собой значения переменных состояния или реакцию цепи при нулевом входе, т. е. Иначе говоря, оно представляет первую составляющую свободных процессов в цепи обусловленную ненулевыми начальными значениями переменных состояния цепи, и поэтому является решением уравнения . Второе слагаемое представляет собой составляющую реакции цепи при т. е. при нулевом состоянии цепи.

Нулевым состоянием цепи назовем такое ее состояние, когда начальные значения всех переменных состояния равны нулю. Иначе говоря, второе слагаемое (14-66) представляет собой сумму при принужденной реакции цепи возникающей под влиянием внешних воздействий и второй составляющей свободных процессов

Равенство (14-66) означает, что реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и нулевом состоянии.

На основании (14-48) и (14-66) для выходных величин имеем.

Если состояние цепи задано не в момент , а в момент , то равенства (14-66) и (14-67) обобщаются:

(14-68)

Пример 14-5. Для разветвленной цепи второго порядка составлены уравнения состояния

при ненулевых начальных условиях и при единственном имеющем вней источнике э. д. с.

Найти переменные состояния .

Решение. Перепишем уравнения состояния в матричной форме

Найдем сначала первые свободные составляющие переменных состояния при нулевом входе Для этого составим матрицу

Для нахождения присоединенной или взаимной матрицы заменим в предыдущей матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением Получим матрицу

Транспонируем ее, найдя присоединенную или взаимную матрицу:

Найдем определитель матрицы

На основании (14-60) обратная матрица будет равна:

Подвергнем ее обратному преобразованию Лапласа с учетом того, что для этого нужно подвергнуть обратному преобразованию Лапласа каждый ее элемент. На основании (14-73) получим переходную матрицу состояния цепи

Например,

Для переходной матрицы состояния системы получим:

Для первых свободных составляющих переменных состояния будем иметь

Суммируя полученные результаты, находим искомые значения переменных состояния:

Так как решение уравнения (14-43) было получено выше и дано формулой (14-66), то для проверки правильности решения (14-66) и вычисления с его помощью матрицы переменных состояния можно сначала непосредственной подстановкой (14-66) в (14-43) убедиться, что последнее при этом обращается в тождество. Для этого нужно только сначала вычислить дифференцируя (14-66). При этом получаем:

Теперь нетрудно непосредственно убедиться, что (14-66) действительно является решенпем матричного дифференциального уравненения

Отметим, что переходная матрица состояния системы ем позволяет найти в пространстве состояний, т. е. в пространстве, число измерений которого равно числу компонент вектора переменных состояния перемещение, начинающееся из некоторого начального положения (при или при ) причем вектор содержит значительную информацию, так как одновременно описывает все переменные состояния, т. е. функции времени .