Вынесение общего знаменателя за скобки. " вынесение общего множителя за скобки"

§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.

Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить выражение на множители:

3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .

Р а з в’ я з а н н я.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Общим множителем является переменная а, поэтому

at + 7ap = a(t + 7p).

3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,

15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).

Пример 2. Разложить па множители:

1) 2m(b - с) + 3р(b - с);

2) х(у - t) + c(t - в).

Р а з в ’ я з а н н я.

1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.

Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).

2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).

Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.

Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.

Ответ: 0; 1,4.

Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

(Устно) Найдите общий множитель в выражении:

(Устно) Разложите на множители:

Вынесите за скобки общий множитель:

(Устно) правильно выполнило разложения на множители:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2а - 2 = 2(а - 1);

4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

Запишите сумму в виде произведения:

Разложите на множители:

Разложите на множители:

4) 7а + 21ау;

5) 9х 2 - 27х;

6) 3а - 9а 2 ;

8) 12ах - 4а 2 ;

9) -18ху + 24в 2 ;

10) а 2 b - ab 2 ;

11) рм - р 2 m;

12) -х 2 y 2 - ху.

Вынесите за скобки общий множитель:

4) 15ху + 5х;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6х 2 ;

9) -p 2 q - рq 2 .

Разложите на множители:

5) 3b 2 - 9b 3 ;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

Разложите на множители:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
Вынесите за скобки общий множитель:

1) а 4 + а 3 - а 2 ;

2) m 9 - m 2 + m 7 ;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) -в 7 - в 12 - в 3 .

Представьте в виде произведения:

1) р 7 + р 3 - р 4 ;

2) а 10 - a 5 + а 8 ;

3) b 7 - b 5 - b 2 ;

4) -m 8 - m 2 - m 4 .

Вычислите удобным способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

Решите уравнение:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4х = 0.

Найдите корни уравнения:

1) х 2 + 3x = 0;

2) х 2 -7х = 0.

1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .

Вынесите за скобки общий множитель:

1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

Вынесите за скобки общий множитель:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;

3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .

Разложите многочлен на множители:

1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;

2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;

3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

Вычислите удобным способом:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

Найдите значение выражения:

1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;

2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;

3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;

4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.

Найдите значение выражения:

1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;

2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .

Разложите многочлен на множители:

1) 2р(х - у) + q(x - у);

2) а(х + у) - (х + у);

3) (а - 7) - b(а - 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;

5) (х + 2) 2 - х(х + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

Представьте выражение в виде произведения:

1) а(х - у) + b(у - х);

2) г(b - 5) - n(5 - b);

3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);

4) (х - y) 2 - а(у - х);

5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);

6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).

Разложите на множители:

1) 3х(b - 2) + у(b - 2);

2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);

3) а(b - 9) + с(9 - b);

4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;

5) (с - m) 2 - 5(m - с);

6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .

Найдите корни уравнения:

1) 4x 2 - х = 0;

2) 7х 2 + 28х = 0;

3) х 2 + х = 0;

4)х 2 - х = 0.

Решите уравнение:

1) 12х 2 + х = 0;

2) 0,2 x 2 - 2х = 0;

3) х 2 - х = 0;

4) 1 - х 2 + - х = 0.

Решите уравнение:

1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.

Решите уравнение:

1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.

1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;

2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.

Докажите, что значение выражения:

1) 39 9 - 39 8 делится на 38;

2) 49 5 - 7 8 делится на 48.

Вынесите за скобки общий множитель:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18а + 27b) 2 .

Найдите корни уравнения:

1) х(х - 3) = 7х - 21;

2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.

Решите уравнение:

1) х(х - 2) = 4х - 8;

2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.

Докажите, что число:

1) 10 4 + 5 3 делится на 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;

4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.

Упражнения для повторения

Упростите выражение и найдите его значение:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.

Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.

Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.

Интересные задачи для учеников ленивых

Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?

>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:

4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).

д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание . В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:

Пример 2. Разложить на множители:

Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .

Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).

Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .

Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок алгебры в 7 классе.

Тема « Вынесение общего множителя за скобки».

Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

Цели урока:

Образовательная –

выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;

формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;

применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.

Развивающая –

способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.

Воспитательная -

воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.

Тип урока: комбинированный.

Основные результаты обучения:

уметь выносить общий множитель за скобки;

уметь применять данный способ при решении упражнений.

Ход урока.

1 модуль (30 мин).

1. Организационный момент.

приветствие;

подготовка обучающихся к работе.

2. Проверка домашнего задания.

Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.

3 . Актуализация опорных знаний.

Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).

Что такое НОД?

Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?

Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?

Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями

Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме

а (в + с)= ав + ас

* - знак умножения

Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).

1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5

2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)

3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)

На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.

Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:

2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!

Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.

На доске появляется запись:

Я могу написать это свойство в виде:

В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.

а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Остальные устно, проверить ответы:

е) 55*682 – 45*682 = 6820

ж) 7300*3 + 730*70 = 73000

з) 500*38 – 50*80 = 15000

Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)

Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.

4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.

Работа в парах.

Карточки для пар.

Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.

Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.

2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Наибольший общий делитель коэффициентов.

Одинаковые буквенные переменные.

Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.

Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.

5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.

№657 (1 столбик)

2 модуль (30 мин).

1. Итог первой 30-минутки.

А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?

Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?

В) Как выносится общий множитель за скобки?

2. Первичное закрепление.

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).

2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).

3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

5) 4 -2а = – 2 (2 – а).

3. Первичная проверка понимания.

Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне

Вынесите общий множитель за скобки:

Устно сделать проверку умножением.

4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.

Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).

Разложите на множители многочлен .

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:

Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством . Два раза меняем знак! Разложите на множители многочлен

Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.

Чичаева Дарина 8в класс

В работе ученица 8 класса расписала правило разложения многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки с подробным ходом решения множества примеровм по данной теме. На каждый разобранный пример предложено по 2 примера для самостоятельного решения, к которым есть ответы. Работа поможет изучить данную тему тем ученикам, которые по каким-то причинам её не усвоил при прохождении программного материала 7 класса и (или) при повторении курса алгебры в 8 классе после летних каникул.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32

«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»

г. Волжского Волгоградской области

Работу выполнила:

Ученица 8В класса

Чичаева Дарина

г. Волжский

2014

Вынесение общего множителя за скобки

- Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
- При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство ;
- Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .

При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.

Рассмотрим многочлен 6a 2 b+15b 2 . Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →из этого мы получим: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b , а другой – сумма 2а 2 и 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким образом, мы разложили многочлен: 6a 2 b+15b 2 на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a 2 +5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.

Примеры:

Разложите на множители:

А) kx-px.

Множитель х х выносим за скобки.

kx:x=k; px:x=p.

Получим: kx-px=x*(k-p).

б) 4a-4b.

Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.

4а:4=а; 4b:4=b.

Получим: 4a-4b=4*(a-b).

в) -9m-27n.

9m и -27n делятся на -9 . Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Имеем: -9m-27n=-9*(m+3n).

г) 5y 2 -15y.

5 и 15 делятся на 5; y 2 и у делятся на у.

Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у .

5y 2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.

Итак: 5y 2 -15y=5у*(у-3).

Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.

д) 16у 3 +12у 2 .

16 и 12 делятся на 4; y 3 и y 2 делятся на y 2 .

Значит, общий множитель 4y 2 .

16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

В результате мы получим: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4у+3).

е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

ж) a(b-c)+d(c-b).

Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-»:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Примеры для самостоятельного решения:

mx+my;
ах+ау;
5x+5y ;
12x+48y;
7ax+7bx;
14x+21y;
–ma-a ;
8mn-4m 2 ;
-12y 4 -16y;
15y 3 -30y 2 ;
5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
8m(a-3)+n(a-3);
x(y-5)-y(5-y);
3a(2x-7)+5b(7-2x);

Ответы.

1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5с+у 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

В ходе различных математических операций при работе с уравнениями и равенствами часто появляется возможность значительно упростить все действия путем вынесения некоего общего множителя за пределы самого выражения. Это позволяет не только сократить большие группы многочлена, но и упростить сам процесс решения.

Вынесение множителя позволяет также избавиться от лишних действий и оптимизировать процесс вычислений. В данном видеоуроке мы подробно изучим возможности процедуры вынесения. Например, рассмотрим выражение следующего вида:

Нам необходимо его преобразовать так, чтобы при известных значениях всех переменных было легко вычислить значение всего полинома. Положим, а=1, с=2, х=5. Обратим внимание, что у обоих членов многочлена есть общая часть - множитель-переменная х. Она легко выносится за скобки, согласно распределительному закону умножения:

ах + сх = х(а + с)

Для нахождения правой части данного равенства необходимо поделить каждый одночлен исходного полинома на утвержденный общий множитель (в этом случае - х), частное записать алгебраической суммой в скобках, а сам множитель поставить перед ними. Руководствуясь заданными значениями переменных, получаем:

ах + сх = х(а + с) = 5(1 + 2) = 15

В видеоуроке сделан акцент, что вынесение множителя за скобки в представленном примере, сократило количество действий по расчету с трех до двух. В более сложных упражнениях эффект упрощения может быть ещё более значителен. А многие уравнения без применения метода вынесения множителя вообще очень сложно решить.

В общем, вынесение общего множителя за скобки в полиномах именуется процессом разложения многочлена на отдельные множители. При этом используется следующий алгоритм для обработки данных:

Выделяется рабочая группа выражения (многочлен);
Осуществляется поиск подходящего множителя, на который можно было бы поделить каждый одночлен;
Производится деление мономов на выделенный множитель, при этом результаты записываются вместо одночленов, как алгебраическая сумма;
Получившийся многочлен заключается в скобки, общий множитель ставится перед ними.

При выборе множителя часто возникают проблемы. Во-первых, он должен отвечать максимальному количеству мономов, в идеале - делить все одночлены. Во-вторых, в комплексных задачах необходимо подбирать такой множитель, чтобы он позволял провести решение всего упражнения дальше, облегчая всю процедуру. Как правило, если нет строгого условия извне (в уравнениях, к примеру), то множитель подбирается по принципам: подходящий всем мономам и являющийся наибольшим по степени и коэффициенту при переменной. Иначе говоря, множитель должен включать все переменные, наибольшую возможную степень, а также наибольший кратный числовой коэффициент. Рассмотрим пример:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2

Вполне очевидно, что в этом выражении для всех одночленов наиболее приемлемым множителем будет переменная х, взятая во второй степени (максимально допустимой) и с числовым коэффициентом, равным 2, т.е. 2х 2:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2 = 2х 2 (у - 4у + 2ху 2) = 2х 2 (2ху 2 - 3у)

Производим действия в скобках, получаем итоговый ответ, представляющий собой произведение многочлена на одночлен-множитель.

Рассмотрим ещё один пример. Необходимо преобразовать выражение вида:

2х(4-у) + х(у-4)

С первого взгляда, тут трудно что-либо вынести за скобки, кроме переменной х, вынесение которой создаст двойные скобки и лишь усложнит многочлен, поэтому данный шаг нецелесообразен. Однако следуя стандартной логике и базовым правилам математического сложения, можно уверенно записать, что:

(у-4) = -(4-у)

Если минус у правого выражения внести внутрь, то все внутренние знаки сменятся на противоположные, образуя выражение, полностью идентичное левой части. Поэтому, корректно будет записать:

2х(4-у) + х(у-4) = 2х(4-у) - х(4- у)

Теперь же оба члена многочлена содержат общий множитель (4- у), который легко вынести за скобки, продолжив дальнейшие вычисления:

2х(4-у) - х(4- у) = (4- у)(2х - х) = (4- у)х = 4х - ух

Последние два этапа расчетов не относятся к общей процедуре вынесения множителя, и являются индивидуальным решением данного примера. Сам процесс вынесения дает нам произведение двух элементарных биномов.