Самой короткой системой счисления является двоичная. Она полностью основана на позиционной форме записи числа. Основной характеристикой считается принцип удвоения цифры при выполнении перехода от определённой позиции к последующей. Из одной системы счисления в другую можно осуществить перевод как при помощи специальной программы, так и вручную.

Вконтакте

Историческое признание

Появление двоичной СС в истории связано с учёным математиком В.Г. Лейбницем. Именно он впервые заговорил о правилах выполнения операций с числовыми значениями данного рода. Но первоначально этот принцип остался невостребованным . Мировое признание и применение алгоритм получил на заре возникновения вычислительных машин.

Удобство и несложность выполнения операций привели к необходимости более детального изучения данного подраздела арифметики, который стал незаменимым при развитии компьютерной технологии с программным обеспечением. Впервые такие механизмы появились на немецком и французском рынках.

Внимание! Конкретную точку над превосходством двоичной системы по отношению десятичной, именно в данной отрасли, было поставлено в 1946 году и обосновано в статье А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж.Фон Неймана.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Особенности двоичной арифметики

Вся двоичная СС основана на применении только двух символов , которые очень точно совпадают с особенностями цифровой схемы. Каждый из символов отвечает за определённое действие, которое зачастую подразумевает два состояния:

• наличие отверстия или его отсутствие, к примеру, перфокарты или перфоленты;
• на магнитных носителях отвечает за состояние намагничивания или размагничивания;
• по уровню сигнала, высокий или низкий.

В науке, в которой применяется СС, введена определённая терминология, суть ее состоит в следующем:

• Бит – двоичный разряд , который состоит из двух составляющих, несущих в себе определённый смысл. Размещённый слева, определяется как старший и является приоритетным, а справа – младшим, являющийся менее весомым.
• Байт – это единица, которая состоит из восьми битов .

Многие модули воспринимают и обрабатывают информацию порциями или словами . Каждое слово имеет разный вес и может состоять из 8-ми, 16-ти или 32-х битов .

Правила переводов из одной системы в другую

Одним из важнейших факторов арифметики машин является перевод из одной СС в другую . Поэтому обратим внимание на основные алгоритмы выполнения процесса, который покажет, как перевести число в двоичную систему.

Переводим десятичную систему в двоичную

Первоначально обратимся к вопросу, как осуществить перевод системы из десятичной в двоичную систему счисления. Для этого существует правило перевода из десятичных чисел в двоичный код, которое подразумевает математические действия .

Необходимо число, записанное в десятичном виде разделить на 2 . Деление выполнять до тех пор, пока в частном не останется единица . Если необходима двоичная система счисления перевод осуществляется так:

186:2=93 (ост. 0)

93:2=46 (ост. 1)

46:2=23 (ост. 0)

23:2=11 (ост. 1)

11:2=5 (ост. 1)

5:2=2 (ост.1)

После того, как процесс деления закончен, то единицу в частном и все остатки записываем последовательно в обратном делению порядке . То есть, 18610=1111010. Правило перевода десятичных чисел в СС надо соблюдать всегда.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную.

Перевод из десятичной СС в восьмеричную

Аналогичный процесс проводится при переводе из десятичной СС в восьмеричную. Его ещё называют «правилом замещения ». Если в предыдущем примере деление данных осуществлялось на 2, то здесь необходимо делить на 8. Алгоритм перевода числа X10 в восьмеричную состоит из следующих шагов:

1. Число X10 начинают делить на 8. Полученное частное берём для следующего деления, а остаток записывается, как бит младшего порядка .
2. Продолжаем деление до тех пор, пока не получим в результат частного равного нулю или остаток, который по своему значению меньше восьми . При этом все остатки записываем, как младшие порядки бита .

К примеру, необходимо перевести число 160110 в восьмеричное.

1601:8=200 (ост. 1)

200:8=25 (ост. 0)

25:8=3 (ост.1)

Итак, получим: 161010=31018.

Перевод из десятичной системы в восьмеричную.

Записываем десятичное число шестнадцатеричным

Перевод из десятичной в шестнадцатиричную СС осуществляется аналогично с использованием системы замещения. Но кроме цифр применяют ещё и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. Где A обозначает остаток 10, а F остаток 15. Десятичное число делят на 16. К примеру, переводим 10710 в шестнадцатеричную:

107:16=6 (ост. 11 – заменяем В)

6 – меньше, чем шестнадцать. Деление прекращаем и записываем 10710=6В16.

Переходим из другой системы в двоичную

Следующий вопрос, как преобразовать из восьмеричной в двоичную запись числа. Перевод чисел из любой системы в двоичную выполняется достаточно просто. Помощником в этом деле выступает таблица для систем счисления .

| 6 классы | Планирование уроков на учебный год | Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления

Урок 5
Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления
Работа с приложением Калькулятор

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код

Способ 1

Попробуем представить число 1409 в виде суммы членов второго ряда.

Воспользуемся методом разностей. Возьмем ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:

1409 - 1024 = 385.

Возьмем ближайший к полученной разности, но не превосходящий ее член второго ряда и составим разность:

385 - 256 = 129.

Аналогично составим разность: 129 - 128 = 1.

В итоге получим:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в нее только один раз.

Числа 1 и 0, на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число 1409, но в его другой, двоичной записи: 10110000001.

Результат записывают так:

1409 10 = 10110000001 2 .

Исходное число мы записали с помощью 0 и 1, другими словами, получили двоичный код этого числа, или представили число в двоичной системе счисления.

Способ 2

Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.

Пример:

В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую - результат целочисленного деления предыдущего числа на 2.

В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на 2.

Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 1409 10 = 10110000001 2 .

Первые 20 членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,1111, 10000. 10001. 10010. 10011. 10100. 

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Способ 1

Пусть имеется число 111101 2 . Его можно представить так:

Способ 2

Возьмем то же число 111101 2 . Переведем единицу 6-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы 5-го разряда, для чего 1 умножим на 2, ибо единица 6-го разряда в двоичной системе содержит 2 единицы 5-го разряда.

К полученным 2 единицам 5-го разряда прибавим имеющуюся единицу 5-го разряда. Переведем эти 3 единицы 5-го разряда в 4-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 4-го разряда: 3 2 + 1 = 7.

Переведем 7 единиц 4-го разряда в 3-й разряд и прибавим имеющуюся единицу 3-го разряда: 7 2 + 1 = 15.

Переведем 15 единиц 3-го разряда во 2-й разряд: 15 2 = 30. В исходном числе во 2-м разряде единиц нет.

Переведем 30 единиц 2-го разряда в 1-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу: 30 2 + 1 = 61. Мы получили, что исходное число содержит 61 единицу 1-го разряда.

Письменные вычисления удобно располагать так:

Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор .

Проведем небольшой эксперимент .

1. Запустите приложение Калькулятор и выполните команду [Вид-Инженерный] . Обратите внимание на группу переключателей, определяющих систему счисления :

2. Убедитесь, что Калькулятор настроен на работу в десятичной системе счисления. С помощью клавиатуры или мыши введите в поле ввода произвольное двузначное число. Активизируйте переключатель Bin и проследите за изменениями в окне ввода. Вернитесь в десятичную систему счисления. Очистите поле ввода.

3. Повторите пункт 2 несколько раз для других десятичных чисел.

4. Настройте Калькулятор на работу в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, какие кнопки Калькулятора и цифровые клавиши клавиатуры вам доступны. Поочередно введите двоичные коды 5-го, 10-го и 15-го членов натурального ряда и с помощью переключателя Dec переведите их в десятичную систему счисления.

Инструкция

Видео по теме

В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.

Вам понадобится

• - листок бумаги;
• - карандаш или ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.

Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Обратная задача - десятичного числа систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.

Чтобы число из шестнадцатеричной системы , нужно каждую его цифру умножить на соответствующую степень шестнадцати и сложить результаты. Например, число #11A в десятичной записи равняется 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Обратный перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Переводить числа из шестнадцатеричной системы в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа в десятичной записи равны 8062.

Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа равны 12713.

Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисления

Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.

Инструкция

Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Широким распространением среди позиционных систем пользуются также восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная системы . И если для первых двух более применим второй метод, то для перевода из применимы оба.

Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в

Для микросхем компьютера важно лишь одно. Либо сигнал есть (1), либо его нет (0). Но записывать программы в двоичном коде - дело нелегкое. На бумаге получаются очень длинные комбинации из нулей и единиц. Человеку их тяжело.

Использование привычной всем десятичной системы в компьютерной документации и программировании очень неудобно. Преобразования из двоичной в десятичную системы и обратно - весьма трудоемкие процессы.

Происхождение восьмеричной системы, так же как и десятичной, связывают со счетом на пальцах. Но считать нужно не пальцы, а промежутки между ними. Их как раз восемь.

Решением проблемы стала восьмеричная . По крайней мере на заре компьютерной техники. Когда разрядность процессоров была невелика. Восьмеричная система позволила с легкостью переводить как двоичные числа в восьмеричные, так и наоборот.

Восьмеричная система счисления - система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Преобразование

Для того чтобы перевести число в двоичное, необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на тройку из двоичных цифр. Важно лишь запомнить, какая двоичная комбинация соответствует цифрам числа. Их совсем немного. Всего восемь!

Во всех системах счисления, кроме десятичной, знаки читаются по одному. Например, в восьмеричной системе число 610 произносится «шесть, один, ноль».

Видео по теме

У компонентов электронных машин, к которым относятся и компьютеры, есть только два различимых состояния: есть ток и нет тока. Их обозначают "1" и "0" соответственно. Поскольку таких состояний только два, многие процессы и операции в электронике можно описать с помощью двоичных чисел.

Инструкция

Делим десятичное число на два до тех пор, пока не получим неделимый на два остаток. На шаге получим остаток 1 (если число было нечетным) или 0 (если делимое делится на два без остатка). Все эти остатки обязательно должны быть учтены. Последнее частное, полученное в результате такого пошагового деления, всегда будет единицей.
Записываем последнюю единицу в старший разряд искомого двоичного , а полученные в процессе остатки записываем за этой единицей в обратном порядке. Здесь надо быть внимательным и не пропускать нули.
Таким образом, числу 235 в двоичном коде будет соответствовать число 11101011.

Теперь переведем в двоичную систему счисления дробную часть десятичного числа. Для этого последовательно умножаем дробную часть числа на 2 и фиксируем целые полученных . Эти целые части дописываем к полученному в предыдущем шаге числу после двоичной в прямом порядке.
Тогда десятичному дробному числу 235.62 соответствует двоичное дробное 11101011.100111.

Видео по теме

Обратите внимание

Двоичная дробная часть числа будет конечной, только если дробная часть исходного числа конечна и заканчивается на 5. Простейший случай: 0.5 х 2 = 1, следовательно 0.5 в десятичной системе - это 0.1 в двоичной.

Источники:

• Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления в 2019

Совет 4: Как перевести в десятичную систему двоичные числа

Двоичная или бинарная система счисления применяется для отображения электронной информации. Любое число можно записать в двоичном виде. Двоичная система используется во всех вычислительных машинах. Каждая запись в них кодируется по определенным правилам с помощью набора двух символов: 0 и 1. Перевести двоичное число в его десятичное представление, более удобное пользователю, можно с помощью разработанного алгоритма.

Инструкция

Представьте число в виде записи степеней по 2. Для этого все восемь цифр последовательно умножаем на число 2, возведенное в . Степень должна соответствовать разряду цифры. Разряд считается от нуля, начиная с младшего, самого правого символа двоичного числа . Все восемь составленных произведений запишите в .

Совет 5: Как записывать десятичное число в двоичной системе счисления

Десятичная система счисления – одна из самых распространенных в математической теории. Однако с появлением информационных технологий, двоичная система получила не менее широкое распространение, поскольку она является основным способом представления информации в компьютерной памяти.

Инструкция

Преобразование из десятичной системы в двоичную реализуется как для целых чисел, так и для дробных. Перевод целого десятичного числа производится методом последовательного деления его на 2. При этом количество итераций (действий) увеличивается до тех пор, пока частное не станет равно нулю, а итоговое двоичное число записывается в виде полученных остатков справа налево.

Например, преобразования числа 19 выглядит так:19/2 = 18/2 + 1 = 9, в остатке – 1, пишем 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, в остатке – 1, пишем 1;4/2 = 2, остаток отсутствует, пишем 0;2/2 = 1, остаток отсутствует, пишем 0;1/2 = 0 + 1, в остатке – 1, пишем 1.Итак, после метода последовательного деления к числу 19 получилось двоичное число 10011.

Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно хорошо знать числа "2 в степени". Например, 2 10 =1024 и т.д. Это позволит решать некоторые примеры на перевод буквально за секунды. Одной из таких задач является задача A1 из демо ЕГЭ 2012 года . Можно, конечно, долго и нудно делить число на "2". Но лучше решать по-другому, экономя драгоценное время на экзамене.

Метод очень простой. Суть его такая: если число, которое нужно перевести из десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1".

• Переведем число 2 из десятичной системы. 2=2 1 . Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль . Впереди ставим "1" и получаем 10 2 .
• Переведем 4 из десятичной системы. 4=2 2 . Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 100 2.
• Переведем 8 из десятичной системы. 8=2 3 . Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 1000 2.

Аналогично и для других чисел "2 в степени".

Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.

• Переведем 3 из десятичной системы. 3=2 2 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы . Получаем 11 2.
• Переведем 7 из десятичной системы. 7=2 3 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы . Получаем 111 2.

На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.

Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".

Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.

Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода.

Если число больше , то решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.

Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:

Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.

Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех , то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.

Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Теперь сложим столбиком: