Шифры простой перестановки. Перестановочные шифры

Простая перестановка без ключа - один из самых простых методов шифрования. Буквы перемешиваются по каким-либо правилам, но эти правила могут быть разными - и простыми и сложными.

Транспозиция

Допустим, у нас есть фраза: «МОЖНО, НО НЕЛЬЗЯ» . И мы хотим её зашифровать. Самый простой способ - это записать всю фразу задом наперёд: «ЯЗЬЛЕН ОН, ОНЖОМ» . Можно порядок слов в предложении оставить исходным, но каждое слово записать задом наперёд: «ОНЖОМ, ОН ЯЗЬЛЕН» . А можно менять местами каждые две буквы: «ОМНЖ,ООНЕНЬЛЯЗ» . Это называется «транспозиция» или простая перестановка в чистом виде.

Транспонирование

В этом шифре используется таблица. Сообщение записывается в таблицу по строкам, а для образования шифрованного текста считывается по столбцам. Ну или наоборот - записывается на столбцам, а считывается по строкам. Мы как бы переворачиваем таблицу относительно её диагонали, проходящей через верхний левый и нижний правый углы. Математики называют такой способ переворота таблицы транспонированием.

Для шифрования нужно нарисовать подходящего размера таблицу, вписать туда построчно шифруемый текст, а затем выписать его по столбцам в одну строку. Для расшифровки нужно лишь будет сообщить ключ шифра в виде размера таблицы. На рисунке ниже из ABCDEFGHIJKL получается ADGJBEHKCFIL . Согласитесь, понять без картинки, что это был алфавит, уже практически невозможно.

Итак, например, нам нужно зашифровать текст «Я памятник себе воздвиг нерукотворный, к нему не зарастёт народная тропа» . В нём 72 символа. 72 - удобное число, оно делится без остатка на 2,4,6,8,12,18,24,36, поэтому можно использовать таблицы 2х36, 3х24, 4х18, 6х12, 8х9, 9х8, 12х6, 18х4, 24х3, 36х2:). Определяемся с ключом (размером таблицы), вписываем текст по строкам, а затем переписываем его по столбцам.

На рисунке выше показаны варианты с таблицами 9×8, 8×9, 4×18 и 18×4. Для третьего варианта (таблица 4×18) получится вот такой текст:

«Ямиеввнкой у атрар якбоиеор,н зс ояопт езгртн енатнд панс д увыкмерёанта (4:18) »

В данном случае я взял текст «как есть», то есть с пропусками между словами и со знаками препинания. Но если текст осмысленный, то знаки препинания и пропуски между словами можно и не использовать.

Штакетник

Упрощённый вариант транспонирования (с двухстрочной таблицей) - «штакетник». Напоминает «по конструкции» забор-шахматку.

Это очень простой способ шифровки, часто применяемый школьниками. Фраза записывается в две строки: в верхней пишутся нечётные буквы, в нижней - чётные. Затем нужно выписать подряд сначала верхнюю строку, затем нижнюю. Такое шифрование легко проделать и в уме, не выписывая сначала две строки.

«Я памятник себе воздвиг нерукотворный» превращается в «ЯАЯНКЕЕОДИНРКТОНЙ ПМТИСБВЗВГЕУОВРЫ».

Скитала

Известно, что в V веке до нашей эры правители Спарты, наиболее воинственного из греческих государств, имели хорошо отработанную систему секретной военной связи и шифровали свои послания с помощью «скиталы», первого простейшего криптографического устройства, реализующего метод простой перестановки.

Шифрование выполнялось следующим образом. На стержень цилиндрической формы, который и назывался «скитала», наматывали спиралью (виток к витку) полоску пергамента и писали на ней вдоль стержня несколько строк текста сообщения. Затем снимали со стержня полоску пергамента с написанным текстом. Буквы на этой полоске оказывались расположенными хаотично. Для восстановления текста требовалась скитала такого же диаметра.

По сути скитала - это наша обычная плоская таблица, обёрнутая вокруг цилиндра.

Считается, что автором способа взлома шифра скиталы является Аристотель, который наматывал ленту на конусообразную палку до тех пор, пока не появлялись читаемые куски текста. Изначально древний аппарат использовался в качестве сохранения секретных рецептов. Сейчас вместо узкой полоски пергамента можно использовать серпантин, а роль скиталы выполнит карандаш.

Сдвиг

Похожий результат можно получить, если буквы сообщения писать через определенное число позиций до тех пор, пока не будет исчерпан весь текст. Ниже пример готовой головоломки, составленной по таким правилам. «Три дробь четыре» - это подсказка, что зашифровано три слова, читать надо каждую четвёртую букву (4-8-12-16-..), по достижению конца переходить снова к началу со сдвигом на 1 букву влево (3-7-11-15-..) и т.д. На рисунке ниже зашифровано «Идите назначенным маршрутом».

Одиночная перестановка по ключу

Более практический метод шифрования, называемый одиночной перестановкой по ключу, очень похож на предыдущий. Он отличается лишь тем, что колонки таблицы не сдвигаются, а переставляются по ключевому слову, фразе или набору чисел длиной в строку таблицы. Кодируемая фраза записывается в подходящую таблицу построчно. Затем над таблицей вставляется пустая строка и в неё вписывается ключевое слово/фраза/последовательность чисел. Затем это ключевое слово/фраза/последовательность сортируется по алфавиту/значению, вместе с ней сортируются столбцы, тем самым перемешивая всю таблицу. Затем зашифрованная фраза выписывается построчно из этой перемешанной таблицы.

Например, можно сделать головоломку на основе судоку. Разгадывающему даётся текст «-УРОМКУЛО ЬУЁЗЕБЯДЛ НЗЯАТЛЫЙА ЦЬБАДНЕПУ ЕММДНИТОЁ ИЧТЮКЬНОО УНЁЙВЫЧЁС ХИЕПОТОДЦ ПРМГОУИК-» и предлагается решить судоку, в которой одна из строк помечена.

Решать эту головоломку придётся так: сначала нужно записать текст в таблицу 9×9, затем разгадать судоку, нарисовать пустую таблицу 9×9, надписать над ней ключевую строку из помеченной строки, и затем в таблицу под номерами вписать столбцы согласно их порядковым номерам в исходной таблице.

Для детей можно использовать этот же метод, но попроще, даже без цифр, а сразу нарисовав порядок перестановки в виде путей.

Двойная перестановка

Для дополнительной скрытности можно повторно шифровать сообщение, которое уже было зашифровано. Этот способ известен под названием «двойная перестановка». Для этого размер второй таблицы подбирают так, чтобы длины её строк и столбцов были не такие, как в первой таблице. Лучше всего, если они будут взаимно простыми. Кроме того, в первой таблице можно переставлять столбцы, а во второй строки.

Маршрутная перестановка

Обычное транспонирование таблицы (заполняем по строкам, читаем по столбцам) можно усложнить и считывать не по столбцам, а змейкой, зигзагом, по спирали или каким-то другим способом, т.е. задавать маршрут обхода таблицы. Такие способы заполнения таблицы если и не усиливают стойкость шифра, то делают процесс шифрования гораздо более занимательным. Правда, процесс расшифровки при этом усложняется, особенно, если маршрут неизвестен, и его ещё надо узнать.

На рисунке сверху последовательность символов «АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ.,?» вписана построчно в таблицу 6×6, а затем считана по маршруту, указанному линиями. Получаются следующие шифровки:

АЁЛСЧЭБЖМТШЮВЗНУЩЯГИОФЪ.ДЙПХЫ,ЕКРЦЬ?

АЁЛСЧЭЮЯ.,?ЬЦРКЕДГВБЖМТШЩЪЫХПЙИЗНУФО

АБЁЛЖВГЗМСЧТНИДЕЙОУШЭЮЩФПКРХЪЯ.ЫЦЬ,?

АЁЛСЧЭЮШТМЖБВЗНУЩЯ.ЪФОИГДЙПХЫ,?ЬЦРКЕ

НЗВБАЁЖМЛСТШЧЭЮЯЩУФЪ.,?ЬЫХЦРПЙКЕДГИО

А здесь нужно обходить таблицу «ходом коня», причём маршрут уже нарисован, так что это совсем для маленьких:)

Но если подать эту головоломку так, как показано ниже, то будет уже совсем не просто, так как вариантов обхода ходом коня может быть много, и нужно будет найти из всех этих вариантов единственный правильный.

Зашифровано «Пушкин. Медный всадник».

Перестановка "Волшебный квадрат"

Волшебными (или магическими) квадратами называются квадратные таблицы со вписанными в их клетки последовательными натуральными числами от 1 до n 2 (где n - размерность квадрата), которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и каждой диагонали одно и то же число.

В известном ещё в Древнем Китае квадрате Ло-Шу третьего порядка (3×3) константа квадрата 15 повторяется 8 раз:

по трём горизонталям: 2+9+4 = 7+5+3 = 6+1+8 = 15

по трём вертикалям: 2+7+6 = 9+5+1 = 4+3+8 = 15

по двум диагоналям: 2+5+8 = 4+5+6 = 15

Кстати, константу нечетного квадрата легко посчитать, умножив среднее число ряда, из которого составлен квадрат, на порядок квадрата. Для квадрата 3-го порядка (3×3) константа равна 1234 5 6789 *3=15.

Далее, чтобы зашифровать какое-то послание, нужно сначала подобрать или составить подходящий по размеру волшебный квадрат, затем нарисовать пустую таблицу такого же размера, и вписать буквы текста по очереди в таблицу в соответствии с номерами в волшебном квадрате. Затем просто выписываем построчно буквы из таблицы в одну длинную строку. Порядок квадрата должен быть равен округлённому в большую сторону корню из длины шифруемой строки, чтобы строка полностью вошла в квадрат. Если строка короче, то остаток можно заполнить произвольными буквами или цифрами.

На первый взгляд кажется, будто магических квадратов очень мало. Тем не менее, их число очень быстро возрастает с увеличением размера квадрата. Так, существует лишь один магический квадрат размером 3х3, если не принимать во внимание его повороты и отражения. Счёт волшебным квадратам 4-го порядка уже идёт на сотни, 5-го - на сотни тысяч. Поэтому магические квадраты больших размеров могли быть хорошей основой для надежной системы шифрования того времени, так как ручной перебор всех вариантов ключа для этого шифра был немыслим.

Есть очень простой метод составления нечётных волшебных квадратов, т.е. размером 3×3, 5×5, 7×7 и т.д. Это метод «террас» или «пирамидок».

Рисуется квадрат нужного размера и к нему пририсовываются ступенчатые «террасы» (обозначены пунктиром). Далее по диагоналям сверху вниз направо квадрат заполняется последовательными числами. После этого «террасы» переносятся внутрь квадрата: правые - налево, левые - направо, верхние - вниз, а нижние - наверх. Получается волшебный квадрат!

На базе этого метода можно составлять разные головоломки. Если использовать метод напрямую, то получится вот такая головоломка:

Чтобы решить эту головоломку, нужно буквы из «террас» перенести в квадрат, тогда в квадрате прочитается полное сообщение. Здесь зашифрована фраза «За мостом засада, пройти нельзя, переходите речку в брод.»

А если использовать метод наоборот, то получится головоломка типа такой.

Чтобы её решить, надо вытащить соответствующие буквы из квадрата в «террасы».

Для квадратов 4×4, 6×6 и т.д. таких простых способов их составления не существует, поэтому проще использовать готовые. Например, квадрат Дюрера.

Шифр, преобразования из которого изменяют только порядок следования символов исходного текста, но не изменяют их самих, называется шифром перестановки

Рассмотрим преобразование из ШП, предназначенное для зашифрования сообщения длиной символов. Его можно представить с помощью таблицы

где номер места шифртекста, на которое попадает первая буква исходного сообщения при выбранном преобразовании, номер места для второй буквы и т. д. В верхней строке таблицы выписаны по порядку числа от 1 до а в нижней - те же числа, но в произвольном порядке. Такая таблица называется подстановкой степени

Зная подстановку, задающую преобразование, можно осуществить как зашифрование, так и расшифрование текста. Например, если для преобразования используется подстановка

и в соответствии с ней зашифровывается слово то получится Попробуйте расшифровать сообщение полученное в результате преобразования с помощью указанной выше подстановки.

В качестве упражнения читателю предлагается самостоятельно выписать подстановки, задающие преобразования в описанных ниже трех

примерах шифров перестановки. Ответы помещены в конце раздела.

Читатель, знакомый с методом математической индукции, может легко убедиться в том, что существует (обозначается читается факториал») вариантов заполнения нижней строки таблицы (6). Таким образом, число различных преобразований шифра перестановки, предназначенного для зашифрования сообщений длины меньше либо равно (заметим, что в это число входит и вариант преобразования, оставляющий все символы на своих местах!).

С увеличением числа значение растет очень быстро. Приведем таблицу значений для первых 10 натуральных чисел:

(см. скан)

При больших для приближенного вычисления можно пользоваться известной формулой Стирлинга

Примером ШП, предназначенного для зашифрования сообщений длины является шифр, в котором в качестве множества ключей взято множество всех подстановок степени а соответствующие им преобразования шифра задаются, как было описано выше. Число ключей такого шифра равно

Для использования на практике такой шифр не удобен, так как при больших значениях приходится работать с длинными таблицами.

Широкое распространение получили шифры перестановки, использующие некоторую геометрическую фигуру. Преобразования из этого шифра состоят в том, что в фигуру исходный текст вписывается по ходу одного «маршрута», а затем по ходу другого выписывается с нее. Такой шифр называют маршрутной перестановкой. Например, можно вписывать исходное сообщение в прямоугольную таблицу, выбрав такой маршрут: по горизонтали, начиная с левого верхнего угла поочередно слева направо и справа налево. Выписывать же сообщение будем по другому маршруту: по вертикали, начиная с верхнего правого угла и двигаясь поочередно сверху вниз и снизу вверх.

Зашифруем, например, указанным способом фразу:

используя прямоугольник размера

(см. скан)

Зашифрованная фраза выглядит так:

Теоретически маршруты могут быть значительно более изощренными, однако запутанность маршрутов усложняет использование таких шифров.

Ниже приводятся описания трех разновидностей шифров перестановки, встречавшихся в задачах олимпиад.

Шифр «Сцитала». Одним из самых первых шифровальных приспособлений был жезл («Сцитала»), применявшийся еще во времена войны Спарты против Афин в V веке до н. э. Это был цилиндр, на который виток к витку наматывалась узкая папирусная лента (без просветов и нахлестов), а затем на этой ленте вдоль его оси записывался необходимый для передачи текст. Лента сматывалась с цилиндра и отправлялась адресату, который, имея цилиндр точно такого же диаметра, наматывал ленту на него и прочитывал сообщение. Ясно, что такой способ шифрования осуществляет перестановку местами букв сообщения.

Шифр «Сцитала», как видно из решения задачи 2.1, реализует не более перестановок по прежнему, - длина сообщения). Действительно, этот шифр, как нетрудно видеть, эквивалентен следующему шифру маршрутной перестановки: в таблицу, состоящую из столбцов, построчно записывают сообщение, после чего выписывают буквы по столбцам. Число задействованных столбцов таблицы не может превосходить длины сообщения.

Имеются еще и чисто физические ограничения, накладываемые реализацией шифра «Сцитала». Естественно предположить, что диаметр жезла не должен превосходить 10 сантиметров. При высоте строки в 1 сантиметр на одном витке такого жезла уместится не более 32 букв Таким образом, число перестановок, реализуемых «Сцита-лой», вряд ли превосходит 32.

Шифр «Поворотная решетка». Для использования шифра, называемого поворотной решеткой, изготавливается трафарет из прямоугольного листа клетчатой бумаги размера клеток. В трафарете вырезано тк клеток так, что при наложении его на чистый лист бумаги того же размера четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа.

Буквы сообщения последовательно вписываются в вырезы трафарета (по строкам, в каждой строке слева направо) при каждом из четырех его возможных положений в заранее установленном порядке.

Поясним процесс шифрования на примере. Пусть в качестве ключа используется решетка приведенная на рис. 1.

Зашифруем с ее помощью текст

Наложив решетку на лист бумаги, вписываем первые 15 (по числу

вырезов) букв сообщения: Сняв решетку, мы увидим текст, представленный на рис. 2. Поворачиваем решетку на 180°. В окошечках появятся новые, еще не заполненные клетки. Вписываем в них следующие 15 букв. Получится запись, приведенная на рис. 3. Затем переворачиваем решетку на другую сторону и зашифровываем остаток текста аналогичным образом (рис. 4, 5).

Получатель сообщения, имеющий точно такую же решетку, без труда прочтет исходный текст, наложив решетку на шифртекст по порядку четырьмя способами.

Можно доказать, что число возможных трафаретов, то есть количество ключей шифра «решетка», составляет (см. задачу 1.1). Этот шифр предназначен для сообщений длины Число всех перестановок в тексте такой длины составит что во много раз

больше числа Однако, уже при размере трафарета число возможных решеток превосходит 4 миллиарда.

Широко распространена разновидность шифра маршрутной перестановки, называемая «шифром вертикальной перестановки» (ШВП). В нем снова используется прямоугольник, в который сообщение вписывается обычным способом (по строкам слева направо). Выписываются буквы по вертикали, а столбцы при этом берутся в порядке, определяемом ключом. Пусть, например, этот ключ таков: (5,4,1,7,2,6,3), и с его помощью надо зашифровать сообщение:

Впишем сообщение в прямоугольник, столбцы которого пронумерованы в соответствии с ключом:

(см. скан)

Теперь, выбирая столбцы в порядке, заданном ключом, и выписывая последовательно буквы каждого из них сверху вниз, получаем такую криптограмму:

Число ключей ШВП не более где число столбцов таблицы. Как правило, гораздо меньше, чем длина текста (сообщение укладывается в несколько строк по букв), а, значит, и много меньше

Пользуясь приведенной выше формулой Стирлинга при больших попытайтесь оценить, во сколько раз число возможных перестановок столбцами меньше числа всех перестановок на тексте длины кратном

В случае, когда ключ ШВП не рекомендуется записывать, его можно извлекать из какого-то легко запоминающегося слова или предложения. Для этого существует много способов. Наиболее распространенный состоит в том, чтобы приписывать буквам числа в соответствии с обычным алфавитным порядком букв. Например, пусть ключевым словом будет Присутствующая в нем буква А получает номер 1. Если какая-то буква входит несколько раз, то ее появления нумеруются последовательно слева направо. Поэтому второе вхождение буквы А получает номер 2. Поскольку буквы в этом слове нет, то буква В получает номер 3 и так далее. Процесс продолжается до тех

пор, пока все буквы не получат номера. Таким образом, мы получаем следующий ключ:

Перейдем к вопросу о методах вскрытия шифров перестановки. Проблема, возникающая при восстановлении сообщения, зашифрованного ШП, состоит не только в том, что число возможных ключей велико даже при небольших длинах текста. Если и удастся перебрать все допустимые варианты перестановок, не всегда ясно, какой из этих вариантов истинный. Например, пусть требуется восстановить исходный текст по криптограмме и нам ничего не известно, кроме того, что применялся шифр перестановки. Какой вариант «осмысленного» исходного текста признать истинным: или А может быть Приведем пример еще более запутанной ситуации. Пусть требуется восстановить сообщение по криптограмме

полученной шифром перестановки. Возможны, как минимум, два варианта исходного сообщения:

Эти варианты имеют прямо противоположный смысл и в имеющихся условиях у нас нет возможности определить, какой из вариантов истинный.

Иногда, за счет особенностей реализации шифра, удается получить информацию об использованном преобразовании (перестановке). Рассмотрим шифр «Сцитала» из задачи 2.1. Выше уже рассматривался вопрос о количестве перестановок, реализуемых «Сциталой». Их оказалось не более 32. Это число невелико, поэтому можно осуществить перебор всех вариантов. При достаточной длине сообщения, мы, скорее всего, получим единственный читаемый вариант текста. Однако, используя информацию о расположении линий, оставленных шифровальщиком, удается определить диаметр стержня, а значит, и возникающую перестановку букв (см. задачу 2.1).

В рассмотренном примере шифровальщик по неосторожности оставил на папирусе следы, позволяющие нам легко прочитать сообщение. Возможны и другие ситуации, когда не очень «грамотное» использование шифра облегчает вскрытие переписки.

В задаче 5.2 содержится пример текста, зашифрованного ШВП. По условию пробелы между словами при записи текста в таблицу опускались. Поэтому заключаем, что все столбцы, содержащие пробел в последней строке, должны стоять в конце текста. Таким образом, возникает разбиение столбцов на две группы (содержащие 6 букв, и

Аналогичная ситуация возникает и при «неполном» использовании шифра «решетка» (см. задачу 4.1). Пусть имеется решетка размера и зашифрованное с ее помощью сообщение длины к, не содержащее пробелов. Незаполненные к мест в решетке при условии, что к соответствуют вырезам в четвертом положении решетки. На основе такой информации, происходит резкое уменьшение числа допустимых решеток (их будет Читателю предлагается самостоятельно подсчитать число допустимых решеток при

На примере решения задачи 5.2 продемонстрируем еще один подход к вскрытию шифров вертикальной перестановки - лингвистический. Он основан на том, что в естественных языках некоторые комбинации букв встречаются очень часто, другие - гораздо реже, а многие вообще не встречаются (например -

Будем подбирать порядок следования столбцов друг за другом так, чтобы во всех строках этих столбцов получались «читаемые» отрезки текста. В приведенном решении задачи восстановление текста начинается с подбора цепочки из трех столбцов первой группы, содержащей в последней строке сочетание так как естественно предположить, что сообщение заканчивается точкой. Далее подбираются столбцы, продолжающие участки текста в других строках, и т. д.

Сочетание лингвистического метода с учетом дополнительной информации довольно быстро может привести к вскрытию сообщения.

В заключение рассказа о шифрах перестановки приведем историю с зашифрованным автографом А. С. Пушкина, описанную в романе В. Каверина «Исполнение желаний».

Главный герой романа - студент-историк Трубачевский, - занимавшийся работой в архиве своего учителя - академика Бауэра С. И., - нашел в одном из секретных ящиков пушкинского бюро фрагмент недописанной X главы «Евгения Онегина». Это был перегнутый вдвое полулист плотной голубоватой бумаги с водяным знаком 1829 года. На листе было написано следующее.

(см. скан)

(см. скан)

Без особых усилий Трубачевский прочитал рукопись, и ничего не понял. Он переписал ее, получилась бессвязная чепуха, в которой одна строка, едва начавшая мысль, перебивается другой, а та - третьей, еще более бессмысленной и бессвязной. Он попробовал разбить рукопись на строфы, - опять не получилось. Стал искать рифмы, - как будто и рифм не было, хотя на белый стих все это мало похоже. Просчитал строку - четырехстопный ямб, размер, которым написан «Евгений Онегин».

Трубачевский с азартом взялся за рукопись, пытался читать ее, пропуская по одной строке, потом по две, по три, надеясь случайно угадать тайную последовательность, в которой были записаны строки. У него ничего не получалось. Тогда он стал читать третью строку вслед за первой, пятую за третьей, восьмую за пятой, предположив, что пропуски должны увеличиваться в арифметической прогрессии. Все то же! Отчаявшись, он бросил эту затею. Однако, она не давала ему покоя ни на лекции, ни в трамвае... Как шахматист, играющий в уме, он не только знал наизусть каждую строчку, он видел ее в десяти комбинациях сразу.

Прошло время. Однажды, когда он смотрел на светлые пятна окон подходящего к перрону поезда, каким-то внутренним зрением он

увидел перед собой всю рукопись - и с такой необыкновенной отчетливостью, как это бывает только во сне.

(см. также )

Большое влияние на развитие криптографии оказали появившиеся в середине XX века работы американского математика Клода Шеннона. В этих работах были заложены основы теории информации, а также был разработан математический аппарат для исследований во многих областях науки, связанных с информацией. Более того, принято считать, что теория информации как наука родилась в 1948 году после публикации работы К. Шеннона "Математическая теория связи".

В своей работе "Теория связи в секретных системах" Клод Шеннон обобщил накопленный до него опыт разработки шифров. Оказалось, что даже в очень сложных шифрах в качестве типичных компонентов можно выделить такие простые шифры как шифры замены, шифры перестановки или их сочетания .

В качестве первичного признака, по которому проводится классификация шифров, используется тип преобразования, осуществляемого с открытым текстом при шифровании. Если фрагменты открытого текста (отдельные буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в шифртексте, то соответствующий шифр относится к классу шифров замены . Если буквы открытого текста при шифровании лишь меняются местами друг с другом, то мы имеем дело с шифром перестановки . С целью повышения надежности шифрования шифрованный текст, полученный применением некоторого шифра, может быть еще раз зашифрован с помощью другого шифра.

Рис. 6.1.

Всевозможные такие композиции различных шифров приводят к третьему классу шифров, которые обычно называют композиционными шифрами . Заметим, что композиционный шифр может не входить ни в класс шифров замены, ни в класс шифров перестановки ( рис. 6.1).

6.3 Шифры перестановки

Шифр перестановки, как видно из названия, осуществляет преобразование перестановки букв в открытом тексте. Типичным примером шифра перестановки является шифр "Сцитала". Обычно открытый текст разбивается на отрезки равной длины и каждый отрезок шифруется независимо. Пусть, например, длина отрезков равна и - взаимнооднозначное отображение множества в себя. Тогда шифр перестановки действует так: отрезок открытого текста преобразуется в отрезок шифрованного текста.

Классическим примером такого шифра является система, использующая карточку с отверстиями - решетку , которая при наложении на лист бумаги оставляет открытыми лишь некоторые его части. При зашифровке буквы сообщения вписываются в эти отверстия. При расшифровке сообщение вписывается в диаграмму нужных размеров, затем накладывается решетка, после чего на виду оказываются только буквы открытого текста.

Также возможны и другие варианты шифра перестановки, например, шифры столбцовой и двойной перестановки.

6.3.1 Шифр столбцовой перестановки

При расшифровывании буквы шифртекста записываются по столбцам в соответствии с последовательностью чисел ключа, после чего исходный текст считывается по строкам. Для удобства запоминания ключа применяют перестановку столбцов таблицы по ключевому слову или фразе, всем символам которых ставятся в соответствие номера, определяемые порядком соответствующих букв в алфавите.

При решении заданий на криптоанализ шифров перестановки необходимо восстановить начальный порядок следования букв текста. Для этого используется анализ совместимости символов, в чем может помочь таблица сочетаемости (см. ).

Таблица 6.1. Сочетаемость букв русского языка

Г	С	Слева		Справа	Г	С
3	97	л, д, к, т, в, р, н	А	л, н, с, т, р, в, к, м	12	88
80	20	я, е, у, и, а, о	Б	о, ы, е, а, р, у	81	19
68	32	я, т, а, е, и, о	В	о, а, и, ы, с, н, л, р	60	40
78	22	р, у, а, и, е, о	Г	о, а, р, л, и, в	69	31
72	28	р, я, у, а, и, е, о	Д	е, а, и, о, н, у, р, в	68	32
19	81	м, и, л, д, т, р, н	Е	н, т, р, с, л, в, м, и	12	88
83	17	р, е, и, а, у, о	Ж	е, и, д, а, н	71	29
89	11	о, е, а, и	3	а, н, в, о, м, д	51	49
27	73	р, т, м, и, о, л, н	И	с, н, в, и, е, м, к, з	25	75
55	45	ь, в, е, о, а, и, с	К	о, а, и, р, у, т, л, е	73	27
77	23	г, в, ы, и, е, о, а	Л	и, е, о, а, ь, я, ю, у	75	25
80	20	я, ы, а, и, е, о	М	и, е, о, у, а, н, п, ы	73	27
55	45	д, ь, н, о, а, и, е	Н	о, а, и, е, ы, н, у	80	20
11	89	р, п, к, в, т, н	О	в, с, т, р, и, д, н, м	15	85
65	35	в, с, у, а, и, е, о	П	о, р, е, а, у, и, л	68	32
55	45	и, к, т, а, п, о, е	Р	а, е, о, и, у, я,ы, н	80	20
69	31	с, т, в, а, е, и, о	С	т, к, о, я, е, ь, с, н	32	68
57	43	ч, у, и, а, е, о, с	Т	о, а, е, и, ь, в, р, с	63	37
15	85	п, т, к, д, н, м, р	У	т, п, с, д, н, ю, ж	16	84
70	30	н, а, е, о, и	Ф	и, е, о, а, е, о, а	81	19
90	10	у, е, о, а, ы, и	X	о, и, с, н, в, п, р	43	57
69	31	е, ю, н, а, и	Ц	и, е, а, ы	93	7
82	18	е, а, у, и, о	Ч	е, и, т, н	66	34
67	33	ь, у, ы, е, о, а, и, в	Ш	е, и, н, а, о, л	68	32
84	16	е, б, а, я, ю	Щ	е, и, а	97	3
0	100	м, р, т, с, б, в, н	Ы	Л, х, е, м, и, в, с, н	56	44
0	100	н, с, т, л	Ь	н, к, в, п, с, е, о, и	24	76
14	86	с, ы, м, л, д, т, р, н	Э	н, т, р, с, к	0	100
58	42	ь, о, а, и, л, у	Ю	д, т, щ, ц, н, п	11	89
43	57	о, н, р, л, а, и, с	Я	в, с, т, п, д, к, м, л	16	84

При анализе сочетаемости букв друг с другом следует иметь в виду зависимость появления букв в открытом тексте от значительного числа предшествующих букв. Для анализа этих закономерностей используют понятие условной вероятности.

Систематически вопрос о зависимости букв алфавита в открытом тексте от предыдущих букв исследовался известным русским математиком А.А. Марковым (1856-1922). Он доказал, что появления букв в открытом тексте нельзя считать независимыми друг от друга. В связи с этим А.А. Марковым отмечена еще одна устойчивая закономерность открытых текстов, связанная с чередованием гласных и согласных букв. Им были подсчитаны частоты встречаемости биграмм вида гласная-гласная (г, г ), гласная-согласная (г, с ), согласная-гласная (с, г ), согласная-согласная (с, с ) в русском тексте длиной в знаков. Результаты подсчета отражены в следующей таблице:

Таблица 6.2. Чередование гласных и согласных

	Г	С	Всего
Г	6588	38310	44898
С	38296	16806	55102

Пример 6.2 Открытый текст, сохраняя пробелы между словами, записали в таблицу. Начало было в первой строке, текст записывали слева направо, переходя со строки на следующую, шифрование заключалось в перестановке столбцов. Найдите открытый текст.

Шифрованный текст:

Д	В			Ы	Т
	Г	О	Е	Р	О
У	Ь	Д		У	Б
М	М	Я	Ы	Р	П

Решение. Присвоим столбцам номера в порядке их следования. Наша задача - найти такой порядок столбцов, при котором текст будет осмысленным.

Составим таблицу:

	1	2	3	4	5	6
1	Х
2		Х
3			Х
4				Х
5					Х
6						Х

Клетка (, ) в этой таблице означает, что столбец с номером следует за столбцом с номером . Знаком "Х" отметим невозможные случаи.

Сочетания столбцов 1, 2 и 5, 2 невозможны, так как гласная не может находиться перед мягким знаком. Невозможны и следования столбцов 2, 1 и 2, 5. Теперь из третьей строки следует, что 1, 5 и 5, 1 невозможны, так как УУ - нехарактерная для русского языка биграмма. Далее, два пробела подряд не могут быть в тексте, значит, ставим "Х" в клетках 3, 4 и 4, 3. Снова обратимся к третьей строке. Если бы столбец 2 следовал за столбцом 4, то слово начиналось бы с мягкого знака. Ставим "Х" в клетке 4, 2. Из первой строки: невозможна комбинация 4, 5, невозможна и 3, 5. Итог наших рассуждений представлен в таблице:

	1	2	3	4	5	6
1	Х	Х			Х
2	Х	Х			Х
3			Х	Х	Х
4		Х	Х	Х	Х
5	Х	Х			Х
6						Х

Итак, после столбца 6 обязательно следует столбец 5. Но тогда поставим "Х" в клетке 6, 2 и получим: столбец 2 следует за столбцом 3. Далее, мы вычеркнули 5, 1 и 2, 1, следовательно, надо проверить варианты: ...6532... и...65432... . Но (4, 3) вычеркнуто ранее. Итак, остались варианты расположения столбцов:

• 1, 6, 5, 3, 2, 4
• 6, 5, 3, 2, 4, 1
• 4, 1, 6, 5, 3, 2
• 1, 4, 6, 5, 3, 2

Запишем 6, 5, 3, 2 столбцы подряд:

6	5	3	2
т	ы	-	в
о	р	о	г
б	у	д	ь
п	р	я	м

Попытка поставить столбец 1 перед столбцом 6 приведет к биграмме МП в последней строке и сочетанию ДТЫ в первой. Остались варианты: 653241, 146532.

Ответ: 653241 - ключ, открытый текст: ты\_в\_дороге\_будь\_упрямым (строка из популярной в 1970-е годы песни).

Приведем еще один пример криптоанализа шифра столбцовой перестановки.

Пример 6.3 Расшифровать: СВПООЗЛУЙЬСТЬ\_ЕДПСОКОКАЙЗО

Решение. Текст содержит 25 символов, что позволяет записать его в квадратную матрицу 5х5. Известно, что шифрование производилось по столбцам, следовательно, расшифровывание следует проводить, меняя порядок столбцов.

Широкое применение получили так называемые мар­шрутные перестановки, основанные на некоторой геометри­ческой фигуре. Отрезок открытого текста записывается в та­кую фигуру по некоторой траектории. Шифрованным текстом является последовательность, полученная при выписывании текста по другой траектории. Например, можно записывать сообщение в прямоугольную таблицу, выбрав такой маршрут: будем двигаться по горизонтали, начиная с левого верхнего угла, поочередно слева направо и справа налево. Списывать же сообщение будем по другому маршруту: по вертикалям, начиная с верхнего правого угла и двигаясь поочередно свер­ху вниз и снизу вверх.

Пример (маршрутной перестановки)

Зашифруем указанным выше способом фразу пример маршрутной перестановки, используя прямоугольную табли­цу размером 4х7:

п	р	и	м	е	р	м
н	т	у	р	ш	р	а
о	й	п	е	р	е	с
и	к	в	о	н	а	т

Зашифрованная фраза выглядит следующим образом:

мастаеррешрноермиупвкйтрпнои

Обращение описанных шагов при расшифровании не представляет труда.

Широкое распространение получила разновидность мар­шрутной перестановки, называемая вертикальной переста­новкой. В этой системе также используется прямоугольная таблица, в которую сообщение записывается обычным обра­зом (по строкам слева направо). Выписывается же сообщение по вертикалям (сверху вниз), при этом столбцы выбираются в порядке, определяемом числовым ключом.

Пример (вертикальной перестановки)

Зашифруем фразу вот пример шифра вертикальной пере­становки, используя прямоугольник размером 6 х 7 и число­вой ключ (5,1,4,7,2,6,3).

Отметим, что нецелесообразно заполнять последнюю строку прямоугольника "нерабочими" буквами, так как это дало бы противнику, получившему в свое распоряжение дан­ную криптограмму, сведения о длине числового ключа. В са­мом деле, в этом случае длину ключа следовало бы искать среди делителей длины сообщения.

Теперь, выписывая буквы по столбцам в порядке, указан­ном числовым ключом, получим такую криптограмму:

ореьекрфийамааеотшрнсивевлрвиркпнпитот

При расшифровании, в первую очередь, надо определить число длинных столбцов, то есть число букв в последней строке прямоугольника. Для этого нужно разделить число букв в сообщении на длину числового ключа. Ясно, что оста­ток от деления и будет искомым числом. Когда это число оп­ределено, буквы криптограммы можно водворить на их соб­ственные места, и сообщение будет прочитано естественным образом.

В нашем примере 38=7×5+3, поэтому в заполненной таблице имеется 3 длинных и 4 коротких столбца.

Более сложные маршрутные перестановки могут исполь­зовать другие геометрические фигуры и более "хитрые" мар­шруты, как, например, при обходе шахматной доски "ходом коня", пути в некотором лабиринте и т.п. Возможные вариан­ты зависят от фантазии составителя системы и, конечно, есте­ственного требования простоты ее использования.

Блочные шифры

В связи с тем, что открытый текст сообщения обычно имеет произвольную длину, иногда достаточно большую, то он разбивается на более мелкие блоки фиксированной длины. Тексты этих блоков шифруются отдельно и независи­мо друг от друга.

Одноключевые блочные шифры подразделяются на 3 группы:

Шифры перестановки

Шифры замены (подстановки)

Составные шифры.

При использовании шифров перестановки, которые предназначены для ус­транения смысла сообщения путем изменения порядка чередования его сим­волов, знаки открытого текста переставляются по некоторому правилу (клю­чу) в пределах заданного блока. В результате этого нарушается нормальный порядок их следования и сам смысл информационного сообщения. При этом различают шифры простой и сложной перестановки.

Шифр простой перестановки переупорядочивает группу букв текста регу­лярным образом в соответствии с выбранным ключом (правилом) переста­новки. Из истории известно множество примеров использования таких шиф­ров для ручного шифрования. При этом часто использовались специальные таблицы, которые давали простые шифрующие процедуры (ключи), согласно которым производились перестановки букв в сообщении. Ключом у таких таб­лиц служили размеры таблицы, фраза, задающая перестановку или другие специальные особенности таблицы.

Пример простейшего шифра перестановки представлен на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Простейший шифр перестановки.

Как видно из рис. 5.5, для того чтобы зашифровать сообщение «ЮСТАС АЛЕКСУ ВСТРЕЧАЙТЕ СВЯЗНОГО», последнее необходимо записать в виде таблицы, состоящей, например, их 5 строк и 6 столбцов. Текст сообщения записы­вается по столбцам, исключая пробелы. Если последний стол­бец оказывается неполным, он заполняется произвольно лю­быми буквами. Для получения зашифрованного сообщения ис­ходный текст считывается по­строчно (слева направо) и за­писывается группами, напри­мер, по 5 цифр. Последняя

процедура не относится к процессу шифрования и делается только для того, чтобы было удобнее записывать текст, лишенный всякого смысла. Для рас­шифрования такого текста необходимо знать ключ, а именно количество строк и столбцов в таблице или иными словами, ее размер.

Более практический метод шифрования, очень похожий на предыдущий, опи­сывается ниже. Он отличается лишь тем, что колонки таблицы переставляются по ключевому слову, фразе или набору чисел длиной в строку таблицы.

При шифровании простой перестановкой шифруемый текст последова­тельными строками записывается под символами ключевого слова, кото­рые не должны повторяться Для упрощения запоминания ключа использу­ют ключевое слово, буквы которого, пронумерованные в порядке их рас­положения в алфавите, задают правило перестановки. Зашифрованный текст выписывается колонками в той последовательности, в которой располага­ются в алфавите буквы ключа или в порядке следования цифр в натураль­ном ряду, если ключ цифровой. Наглядно процесс шифрования с использо­ванием шифра простой перестановки представлен на рис. 5.6. Предполо­жим, что необходимо зашифровать информационное сообщение

«ЗАСЕДАНИЕ СОСТОИТСЯ ЗАВТРА ЮСТАС».

Для шифрования этого открытого текста запишем его без пробелов (уча­стие последних в процедуре шифрования, из-за их высокой частоты повто­рения, значительно ослабляет криптостойкость шифра) и выберем ключ шифрования, например, 245 136. Согласно этому ключу, состоящему из 6 цифр, поделим все информационное сообщение на блоки, каждый из кото­рых будет содержать по 6 букв текста. После деления на блоки у нас полу­чилось 4 блока, содержащих по 6 букв в каждом, и 1 блок - по 5 букв. В таких случаях последняя группа букв исходного сообщения произвольно дополняется различными символами до получения полного блока. В на­шем случае не достает только одной буквы, поэтому выбираем любую букву, например Ъ, и добавляем ее в конце пятого блока.

Рис. 5.6. Шифр простой перестановки

Далее, используя ключ 245 136, производится перестановка букв исходно­го открытого текста. Например, первая цифра ключа - 2, указывает на то, что в новом блоке первой буквой зашифрованного текста будет вторая буква бло­ка открытого текста, вторая цифра ключа - 4, показывает, что вторая буква шифротекста - это четвертая буква в блоке открытого текста и т. д.

В конечном итоге, после проведения перестановок во всех блоках, по­лучаем зашифрованный текст. Прочитав его, мы видим, что он полностью лишен какого-либо смыслового содержания.

Для упрощения запоминания ключа обычно используется ключевое слово. В данном случае - это слово «КОРЕНЬ». В нем цифре 1 ключа соответ­ствует буква Е, так как она первой из всех букв этого слова встречается в нашем алфавите, цифре 2 - буква К (по той же причине) и т. д.

То же сообщение можно зашифровать с использованием таблицы, состоя­щей, например, из 5 строк и 6 столбцов (по длине ключевого слова). Исход­ный текст записывается по столбцам и образует таблицу (рис. 5.7). Ключевое слово задает правило перестановки столбцов. Если в ключевом слове встре­чаются одинаковые буквы, то они нумеруются по порядку слева направо. По­лученный второй шифротекст, как это видно из рис. 5.7, совершенно не похож на первый.

Рис. 5.7. Шифрование с помощью таблицы

Основным недостатком данного шифра является его невысокая криптостойкость. Разложив зашифрованный текст на множители (не так уж мно­го получается вариантов), можно легко определить вероятную длину кодо­вого слова, которое использовалось при шифровании.

Для повышения криптостойкости полученного выше шифрованного тек­ста можно попробовать зашифровать его еще раз. Этот способ шифрования известен под названием двойная перестановка. Суть этого способа заключа­ется в следующем. Полученный после первого шифрования текст шифрует­ся вторично с использованием таблицы с другой размерностью (длины строк и столбцов подбираются другими). Кроме того, в одной таблице можно пе­реставлять строки, а в другой столбцы. Заполнять таблицу исходным тек­стом можно разными способами: зигзагом, змейкой, по спирали и т. п.

Шифр простой перестановки с использованием свойств таблиц, назы­ваемых магическими квадратами (рис. 5.8), использовался еще в средние века. Магическими квадратами называются равносторонние таблицы, все клетки которых заполнены натуральными числами, начиная от 1. При­чем эти числа в сумме дают по каждому столбцу, по каждой строке и по диагоналям магического квадрата одно и тоже число (в нашем случае - это число 34). Исходный текст - ЖДУ ВСТРЕЧИ ЮСТАС, при заполне­нии магического квадрата, вписывается по порядку следования натураль­ных чисел, например, число 1 заменялось 1 буквой исходного текста (Ж), число 12 - 12 буквой сообщения (С) и т.п. После записи открытого тек­ста содержимое таблицы считывается по строкам в результате чего и получался шифротскст с перестановкой букв.

Рис. 5.8. Магический квадрат