Модели криптографических систем

Шифротекст - результат операции шифрования. Часто также используется вместо термина «криптограмма», хотя последний подчёркивает сам факт передачи сообщения, а не шифрования.

Процесс применения операции шифрования к шифротексту называется перешифровкой.

Свойства шифротекста

При рассмотрении шифротекста как случайной величины , зависящей от соответствующих случайных величин открытого текста X и ключа шифрования Z, можно определить следующие свойства шифротекста:

· Свойство однозначности шифрования:

· Из цепных равенств следует

(из свойства однозначности расшифрования)

(из принципа независимости открытого текста от ключа и свойства однозначности шифрования)тогда

это равенство используется для вывода формулы расстояния единственности.

· Для абсолютно надёжной криптосистемы

То есть

Использование для криптоанализа

Шеннон в статье 1949 года «Теория связи в секретных системах» показал, что для некоторого случайного шифра теоретически возможно (используя неограниченные ресурсы) найти исходный открытый текст, если известно букв шифротекста, где - энтропия ключа шифра, r - избыточность открытого текста (в том числе с учётом контрольных сумм и т. д.), N - объём используемого алфавита.

Шифрование - обратимое преобразование информации в целях сокрытия от неавторизованных лиц, с предоставлением, в это же время, авторизованным пользователям доступа к ней. Главным образом, шифрование служит задачей соблюдения конфиденциальности передаваемой информации. Важной особенностью любого алгоритма шифрования является использование ключа, который утверждает выбор конкретного преобразования из совокупности возможных для данного алгоритма.

В целом, шифрование состоит из двух составляющих - зашифрование и расшифрование.

С помощью шифрования обеспечиваются три состояния безопасности информации:

· Конфиденциальность: шифрование используется для скрытия информации от неавторизованных пользователей при передаче или при хранении.

· Целостность: шифрование используется для предотвращения изменения информации при передаче или хранении.

· Идентифицируемость: шифрование используется для аутентификации источника информации и предотвращения отказа отправителя информации от того факта, что данные были отправлены именно им.

Зашифрование и расшифрование

Как было сказано, шифрование состоит из двух взаимно обратных процессов: зашифрование и расшифрование. Оба этих процесса на абстрактном уровне представимы математическими функциями, к которым предъявляются определенные требования. Математически данные, используемые в шифровании, представимы в виде множеств, над которыми построены данные функции. Иными словами, пусть существуют два множества, представляющее данные - M и C; и каждая из двух функций(шифрующая и расшифровывающая) является отображением одного из этих множеств в другое.

· Шифрующая функция:

· Расшифровывающая функция:

Элементы этих множеств - ~m и ~c являются аргументами соответствующих функций. Так же в эти функции уже включено понятие ключа. То есть тот необходимый ключ для шифрования или расшифрования является частью функции. Это позволяет рассматривать процессы шифрования абстрактно, вне зависимости от структуры используемых ключей. Хотя, в общем случае, для каждой из этих функций аргументами являются данные и вводимый ключ.

Если для шифрования и расшифрования используется один и тот же ключ , то такой алгоритм относят к симметричным. Если же из ключа шифрования алгоритмически сложно получить ключ расшифрования, то алгоритм относят к асимметричным, то есть к алгоритмам с открытым ключом.

· Для применения в целях шифрования эти функции, в первую очередь, должны быть взаимно обратными.

· Важной характеристикой шифрующей функции E является ее криптостойкость . Косвенной оценкой криптостойкости является оценка взаимной информации между открытым текстом и шифротекстом, которая должна стремиться к нулю.

Криптостойкость шифра

Криптографическая стойкость - свойство криптографического шифра противостоять криптоанализу, то есть анализу, направленному на изучение шифра с целью его дешифрования. Для изучения криптоустойчивости различных алгоритмов была создана специальная теория, рассматривающая типы шифров и их ключи, а также их стойкость. Основателем этой теории является Клод Шеннон. Криптостойкость шифра есть его важнейшая характеристика, которая отражает, насколько успешно алгоритм решает задачу шифрования.

Любая система шифрования, кроме абсолютно криптостойких, может быть взломана простым перебором всех возможных в данном случае ключей. Но перебирать придется до тех пор, пока не отыщется тот единственный ключ, который и поможет расшифровать шифротекст.

Абсолютно стойкие системы

Оценка криптоустойчивости шифра, проведенная Шенноном определяет фундаментальное требование к шифрующей функции E. Для наиболее криптоустойчивого шифра неопределенности (условная и безусловная), при перехвате сообщений, должны быть равны для сколь угодно большого числа перехваченных шифротекстов.

Таким образом, злоумышленник не сможет извлечь никакой полезной информации об открытом тексте из перехваченного шифротекста. Шифр, обладающий таким свойством, называется абсолютно стойким.

Требования к абсолютно стойким системам шифрования:

· Ключ генерируется для каждого сообщения (каждый ключ используется один раз).

· Ключ статистически надёжен (то есть вероятности появления каждого из возможных символов равны, символы в ключевой последовательности независимы и случайны).

· Длина ключа равна или больше длины сообщения.

Стойкость таких систем не зависит от того, какими возможностями обладает криптоаналитик. Однако практическое применение абсолютно стойких криптосистем ограничено соображениями стоимости таких систем и их удобства. Идеальные секретные системы обладают следующими недостатками:

· Шифрующая система должна создаваться с исключительно глубоким знанием структуры используемого языка передачи сообщений

· Сложная структура естественных языков крайне сложна и для устранения избыточности передаваемой информации может потребоваться крайне сложное устройство.

· Если в передаваемом сообщений возникает ошибка, то эта ошибка сильно разрастается на этапе кодирования и передачи, в связи со сложностью используемых устройств и алгоритмов.

Криптографическая система с открытым ключом (или асимметричное шифрование, асимметричный шифр) - система шифрования и/или электронной подписи (ЭП), при которой открытый ключ передаётся по открытому (то есть незащищённому, доступному для наблюдения) каналу и используется для проверки ЭП и для шифрования сообщения. Для генерации ЭП и для расшифровки сообщения используется закрытый ключ. Криптографические системы с открытым ключом в настоящее время широко применяются в различных сетевых протоколах, в частности, в протоколах TLS и его предшественнике SSL (лежащих в основе HTTPS), в SSH. Также используется в PGP, S/MIME.

Симметричные криптосистемы (также симметричное шифрование, симметричные шифры) - способ шифрования, в котором для шифрования и расшифровывания применяется один и тот же криптографический ключ. До изобретения схемы асимметричного шифрования единственным существовавшим способом являлось симметричное шифрование. Ключ алгоритма должен сохраняться в секрете обеими сторонами. Алгоритм шифрования выбирается сторонами до начала обмена сообщениями.

В предыдущих выпусках мы с вами выяснили, что криптография - это дисциплина, изучающая способы защиты процессов информационного взаимодействия от целенаправленных попыток отклонить их от условий нормального протекания, основанные на криптографических преобразованиях, то есть преобразованиях данных по секретным алгоритмам. С давних времен вплоть до настоящего время важнейшей задачей криптографии является защита передаваемых по каналам связи или хранящихся в системах обработки информации данных от несанкционированного ознакомления с ними и от преднамеренного их искажения. Криптография решает указанную задачу посредством шифрования защищаемых данных, что предполагает использование двух следующих взаимно обратных преобразований:

Перед отправлением данных по линии связи или перед помещением на хранение они подвергаются зашифрованию;
- для восстановления исходных данных из зашифрованных к ним применяется процедура расшифрования.

На следующем ниже рисунке 1 приведена схема преобразования данных при шифровании:

Рис.1. Схема преобразования данных при шифровании.

Шифром называется пара алгоритмов, реализующих каждое из указанных преобразований. Секретность второго из них делает данные недоступными для несанкционированного ознакомления, а секретность первого делает невозможным навязывание ложных данных. Получение открытых данных по зашифрованным без знания алгоритма расшифрования называется дешифрованием . Изначально шифрование использовалось для защиты передаваемых сообщений от обеих указанных угроз, однако позднее было показано, что оно может защитить данные от несанкционированной модификации только если выполнены определенные условия, а именно:

Шифруемое сообщение содержит большую избыточность;
- процесс шифрования хорошо "перемешивает" структурные единицы сообщения (биты, символы и т.д.).

Так как эти условия выполняются далеко не всегда, то в общем случае шифрование не является средством имитозащиты - защиты от навязывания ложных данных. Этой проблеме будет посвящено один или несколько будущих выпусков, а пока мы про нее на время "забудем".

Каким же условиям должен удовлетворять шифр? Ну прежде всего, процедура расшифрования должна всегда восстанавливать открытое сообщение в его исходном виде. Иными словами, для каждого допустимого сообщения T преобразования за- и расшифрования должны удовлетворять следующему свойству:

T = D(E(T))

Второе условие, которому должен удовлетворять шифр, следующее: он должен... шифровать данные, то есть делать их непонятными для непосвященного.

Другими словами, не должно существовать легко прослеживаемых связей между исходными и зашифрованными данными. Кроме того, шифр должен быть криптостойким , то есть устойчивым к попыткам дешифрования сообщений. Понятно, что вопрос стойкости шифров является главным в этой отрасли криптографии, и его рассмотрение мы начнем с выяснения того, что же может служить мерой стойкости.

Отправленное сообщение до поступления к получателю является для него и, естественно, для злоумышленника неопределенным - если это было бы не так, тогда не было бы вообще никакого смысла его посылать. Пусть возможна отправка сообщений T1,T2,...,Tn с вероятностью p1, p2,..., pn соответственно. Тогда мерой неопределенности сообщения для всех, кто обладает этой априорной информацией, может служить величина математического ожидания логарифма вероятности одного сообщения, взятая со знаком "минус"; по некоторым соображениям в качестве основания логарифма удобно выбрать 2:

Эта величина имеет вполне понятный физический смысл: количество битов информации, которое необходимо в среднем передать, чтобы полностью устранить неопределенность. Если никакой априорной информации о сообщении нет кроме его размера в N бит, то все возможные из 2 N вариантов считаются равновероятными и тогда неопределенность сообщения равна его размеру:

H(T ) = -2 N ·2 -N ·log 2 (2 -N ) = N = | T |,

где через | X | обозначен размер блока данных X в битах. А если об исходном тексте неизвестно вообще ничего, даже его размер? В этом случае все равно необходимо принять за основу какую-либо модель распределения. Как правило, в реальности подобных трудностей не возникает, поскольку многие весьма стойкие шифры <не считают нужным> скрывать размер шифруемого сообщения, так как в этом действительно почти никогда нет особой необходимости, и эта характеристика априорно считается известной злоумышленнику. Там же, где этот размер все же реально необходимо скрыть, все сообщения перед зашифрованием преобразуются в массивы данных одной и той же длины, и мы опять получаем рассмотренную выше ситуацию.

После перехвата шифротекста эта величина, естественно, может измениться, теперь она становится апостериорной ("после-опытной") условной неопределенностью - условием здесь является перехваченное шифрованное сообщение T" . Теперь она задается следующей формулой:

,

где через p (T i | T") обозначена вероятность того, что исходное сообщение есть T i при условии, что результат его зашифрования есть T" .

Одной из важнейших характеристик качества шифра служит количество информации об исходном тексте, которое злоумышленник может извлечь из перехваченного шифротекста - оно находится как разность между априорной и апостериорной неопределенностью исходного сообщения:

I = H (T ) - H (T | T " ).

Эта величина всегда неотрицательна. Показателем здесь является то, насколько уменьшится - понятно, что увеличиться она не может - неопределенность исходного текста при получении соответствующего шифротекста по сравнению с априорной неопределенностью, и не станет ли она меньше минимально допустимой величины.

В наилучшем для разработчиков шифра случае обе эти неопределенности равны:

H(T | T " ) = H (T ),

то есть злоумышленник не может извлечь никакой полезной для себя информации об открытом тексте из перехваченного шифротекста: I = 0. Иными словами, знание шифротекста не позволяет уменьшить неопределенность соответствующего открытого текста, улучшить его оценку и увеличить вероятность его правильного определения. Шифры, удовлетворяющие данному условию, называются абсолютно стойкими или совершенными шифрами , так как зашифрованные с их применением сообщения не только не могут быть дешифрованы в принципе, но злоумышленник даже не сможет приблизиться к успешному определению исходного текста, то есть увеличить вероятность его правильного дешифрования.

Естественно, основной вопрос, который интересовал криптографов, это существуют ли на практике абсолютно стойкие шифры. Специалистам было интуитивно понятно, что они существуют, и пример подобного шифра привел Вернам более чем за два десятилетия до того, как один из основоположников теории информации К.Шеннон формально доказал их существование. В этом доказательстве Шеннон также получил и необходимое условие абсолютной стойкости шифра:

Для того, чтобы шифр был абсолютно стойким, необходимо, чтобы неопределенность алгоритма шифрования была не меньше неопределенности шифруемого сообщения:

Неопределенность алгоритма шифрования определяется точно так же, как и неопределенность сообщения - математическое ожидание двоичного логарифма вероятности использования алгоритма со знаком минус, - и имеет смысл только в том случае, если определено множество возможных алгоритмов и задана вероятность использования каждого из них. Стойкость шифров основана на секретности, то есть на неопределенности для злоумышленника алгоритма расшифрования - если бы это было не так, любой бы мог расшифровать зашифрованные данные. Чем меньше знает злоумышленник о шифре, тем менее вероятно успешное дешифрование сообщения. Поясним сказанное на примере: пусть перехвачена короткая 12-битовая шифровка, имеющая следующее содержание:

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1

Для простоты предположим, что исходное сообщение имеет ту же длину. Если у злоумышленника нет никаких априорных сведений о зашифрованном сообщении, для него каждый из 2 12 исходных вариантов равновероятен, и, таким образом, вероятность правильно определить исходное сообщение простым угадыванием равна 2 -12 . Предположим теперь, что злоумышленнику априорно известно, что зашифрование является наложением одной и той же 4-битовой маски на каждую 4-битовую группу сообщения с помощью операции побитового исключающего или. Очевидно, возможно 16 = 2 4 различных вариантов битовой маски, соответственно, возможно 16 различных значений исходного текста:

маска исходный текст 0000 100101110101 0001 100001100100 0010 101101010110 ..... 1111 011010001010

Таким образом, теперь вероятность правильно угадать исходный текст равна 1/16 - знание особенности использованного способа шифрования повысило ее в 256 раз. Отсюда следует интересный вывод: чем больше неопределенность в шифрующем преобразовании для постороннего лица, тем дальше оно стоит от разгадки шифра, тем шифр надежнее. Шифр, полностью неопределенный для злоумышленника

является нераскрываемым для него, то есть абсолютно стойким! Получается, что надежность шифра зависит исключительно от его секретности и не зависит от прочих его свойств.

Самое интересное, что это верно, и никакого парадокса здесь нет. Однако, на практике бывает сложно сохранить полную неопределенность относительно шифра у злоумышленника - он может получить информацию о шифре следующими способами:

Анализировать перехваченное шифрованное сообщение - практически всегда в его распоряжении имеется определенный набор шифротекстов, для некоторых из них могут иметься и соответствующие открытые тексты, или даже возможность получить шифротекст для любого наперед заданного открытого текста;

Злоумышленник может располагать априорными сведениями о шифре, полученными из различных источников - например, раньше это могла бы быть инструкция по шифрованию или черновик с промежуточными результатами для конкретного текста, в настоящее время - фрагмент компьютерного кода или микросхема, реализующая шифрование аппаратно.

Первая возможность есть у злоумышленника всегда, вторая также очень вероятна - трудно удержать в секрете от посторонних активно "работающий" алгоритм. Исходя из сказанного выше, можно перечислить несколько качеств, которым должен удовлетворять шифр, претендующий на то, чтобы считаться хорошим.

1. Анализ зашифрованных данных не должен давать злоумышленнику никаких сведений о внутреннем устройстве шифра. В шифротексте не должно прослеживаться никаких статистических закономерностей - например, статистические тесты не должны выявлять в зашифрованных данных никаких зависимостей и отклонений от равновероятного распределения битов (символов) шифротекста.

2. Алгоритм должен быть перенастраиваемым. В распоряжении злоумышленника рано или поздно может оказаться описание алгоритма, его программная или аппаратная реализация. Для того, чтобы в этом случае не пришлось заменять алгоритм полностью на всех узлах шифрования, где он используется, он должен содержать легко сменяемую часть.

Второе условие приводит нас к принципу Кирхгофа (в переводах с английского его иногда "обзывают" Керкхоффом, что не вполне верно, так как он голландец, а не англичанин, и транскрипция его фамилии должна быть немецкой, а не английской), безоговорочно принятому сейчас в искусстве построения надежных шифров. Этот принцип заключается в следующем: шифр определяется как параметризованный алгоритм, состоящий из процедурной части, то есть описания того, какие именно операции и в какой последовательности выполняются над шифруемыми данными, и параметров - различных элементов данных, используемых в преобразованиях. Раскрытие только процедурной части не должно приводить к увеличению вероятности успешного дешифрования сообщения злоумышленником выше допустимого предела. По этой причине, а также в силу того, что рассекречивание этой части достаточно вероятно само по себе, особого смысла хранить ее в секрете нет. В секрете держится некоторая часть параметров алгоритма, которая называется ключом шифра :

T" = E (T ) = E K (T ),

здесь K - ключ шифра.

Использование принципа Кирхгофа позволяет получить следующие преимущества в построении шифров:

Разглашение конкретного шифра (алгоритма и ключа) не приводит к необходимости полной замены реализации всего алгоритма, достаточно заменить только скомпрометированный ключ;

Ключи можно отчуждать от остальных компонентов системы шифрования - хранить отдельно от реализации алгоритма в более надежном месте и загружать их в шифрователь только по мере необходимости и только на время выполнения шифрования - это значительно повышает надежность системы в целом;

Появляется возможность для точной оценки "степени неопределенности" алгоритма шифрования - она просто равна неопределенности используемого ключа:

H (E K ) = H (K ).

Соответственно, становится возможным оценить вероятность и трудоемкость успешного дешифрования, то есть количество вычислительной работы, которую необходимо выполнить злоумышленнику для этого.

Вернемся к необходимому условию абсолютной стойкости шифра для шифров, построенных в соответствии с принципом Кирхгофа. В предположении, что никаких априорных данных о шифруемом тексте кроме его длины нет, получаем, что неопределенность исходного текста равна его длине, выраженной в битах:

H(T ) = | T |.

Максимально возможная неопределенность блока данных фиксированного размера достигается, когда все возможные значения этого блока равновероятны - в этом случае она равна размеру блока в битах. Таким образом, неопределенность ключа K не превышает его длины:

С учетом сказанного выше получаем необходимое условие абсолютной стойкости для шифров, удовлетворяющих принципу Кирхгофа:

Для того, чтобы шифр, построенный по принципу Кирхгофа, был абсолютно стойким, необходимо, чтобы размер использованного для шифрования ключа был не меньше размера шифруемых данных,

Точное равенство возможно только в том случае, если все возможные значения ключа равновероятны, что эквивалентно условию, что биты ключа равновероятны и статистически независимы друг от друга.

Примером абсолютно стойкого шифра может служить одноразовая гамма Вернама - наложение на открытые данные ( T ) ключа (K ) такого же размера, составленного из статистически независимых битов, принимающих возможные значения с одинаковой вероятностью, с помощью некоторой бинарной операции °:

Используемая для наложения гаммы операция должна удовлетворять некоторым условиям, которые можно суммировать следующим образом: уравнение зашифрования должно быть однозначно разрешимо относительно открытых данных при известных зашифрованных и ключе, и однозначно разрешимо относительно ключа при известных открытых и зашифрованных данных. Если операция удовлетворяет этому свойству, она подходит. Среди подходящих операций нет подходящих лучше и подходящих хуже, с точки зрения стойкости шифра они все одинаковы - понятие "совершенство" не знает сравнительных степеней, оно либо есть, либо его нет. По указанной причине для практического использования обычно выбирают наиболее удобную в реализации операцию - побитовое суммирование по модулю 2 или побитовое исключающее ИЛИ , так как она:

Требует для своей реализации минимальной по сложности логики из всех возможных операций;

Обратна самой себе, поэтому для за- и расшифрования применяется одна и та же процедура.

Вернемся к вопросу об абсолютной стойкости шифров: как было отмечено ранее, абсолютно стойкие шифры требуют использования ключа, по размеру не меньшего шифруемых данных. Этот ключ должен быть и у отправителя, и у получателя, то есть его необходимо предварительно доставить им, а для этого необходим защищенный канал. Таким образом, наряду с потенциально незащищенным каналом для передачи зашифрованных данных необходимо существование защищенного канала для передачи такого же по размеру ключа. Это не всегда приемлемо по экономическим соображениям, поэтому подобные системы применяются лишь в исключительных случаях для защиты сведений, представляющих особую ценность. В подавляющем большинстве реальных систем шифрованной связи используются алгоритмы, не обладающие абсолютной стойкостью и поэтому называемые несовершенными шифрами .

Естественно, для таких шифров актуален вопрос надежной оценки их стойкости. Для них знание шифротекста позволяет снизить неопределенность соответствующего открытого текста, повысив тем самым вероятность успешного дешифрования. Однако, вопреки распространенному заблуждению, из этого вовсе не следует, что такое дешифрование возможно всегда.

Мнение о том, что сообщение, зашифрованное несовершенным шифром всегда можно однозначно дешифровать, если криптоаналитик располагает достаточным по объемы шифротекстом и неограниченными вычислительными возможностями, является чрезмерно грубым упрощением и в общем случае неверно.

Все дело в том, что несколько повысить вероятность успешного дешифрования и сделать ее равной единице - не одно и то же. Данную мысль легко проиллюстрировать на примере: пусть зашифрованию подвергается некий массив битов, ключ имеет размер один бит и шифрование осуществляется по следующим правилам:

Если ключ равен 0, инвертируются нечетные по номеру биты исходного текста, нумерация слева направо;

Если ключ равен 1, инвертируются четные по номеру биты исходного текста;

Таким образом, E 0 (01) = 11, E 1 (01) = 00. Очевидно, что наш шифр не обладает абсолютной стойкостью. Предположим, что перехвачена шифровка "10". Каков исходный текст? Понятно, что он может быть как 00 так и 11 в зависимости от значения ключа, и однозначно определить это невозможно, что и требовалось доказать. Для более серьезных шифров у криптоаналитика будет просто больше "вариантов выбора" открытого текста, и никаких указаний на то, какой из них предпочесть.

Таким образом, вопрос о возможности однозначного дешифрования сообщения, зашифрованного несовершенным шифром, остается открытым. Когда же такое дешифрование возможно? Шеннон в своих работах подробно исследовал этот вопрос. Для анализа он ввел в рассмотрение следующие характеристики шифра, в целях упрощения изложения здесь они приведены для варианта битового представления данных:

1. Функция ненадежности ключа - неопределенность ключа при известных n битах шифротекста:

f (n ) = H (K | T " ), где | T " | = n .

Понятно, что f (n) может быть определена не для всех n .

2. Расстояние единственности шифра - такое значение n , при котором функция ненадежности, то есть неопределенность ключа становится близкой к 0 .

U(E) = n , где n -минимальное из тех, для которых

Шеннон показал, что обе определенные выше величины зависят от избыточности открытого текста, причем расстояние единственности прямо пропорционально размеру ключа и обратно пропорционально избыточности:

,

где избыточность исходного текста R определяется следующим соотношением:

Сказанное означает, что полностью устранив избыточность открытого текста, мы сделаем невозможным его однозначное дешифрование на основе знания только соответствующего шифротекста, даже если в распоряжении криптоаналитика имеются неограниченные вычислительные возможности. При этом неопределенность исходного текста будет равной неопределенности, и, следовательно, размеру ключа:

H(T ) = H (K ) = | K |

Полное отсутствие избыточности в исходном тексте означает, что какой бы мы не взяли ключ, после расшифрования мы получим "корректные" исходные данные, и оснований предпочесть один вариант другому просто не будет. Из этого, в частности, следует, что в реальной практике перед зашифрованием данные весьма полезно "ужать" каким-либо архиватором. Конечно, полная безизбыточность исходного текста при этом недостижима, однако такое "ужатие" очень сильно затруднит криптоанализ на основе только шифротекста.

Аналогичные числовые характеристики стойкости шифра можно получить и для ситуации, когда в распоряжении криптоаналитика есть не только шифротекст, но и соответствующий открытый текст. Понятно, что они уже не будут зависеть от избыточности исходных сообщений. В этом случае расстояние единственности шифра имеет порядок размера его ключа, то есть весьма мало. В силу указанных причин такой шифр легко вскрывается при неограниченных вычислительных ресурсах аналитика, и при проектировании стойких шифров на первый план выступают уже совершенно другие принципы. Но речь об этом пойдет уже в следующем выпуске.

(Продолжение следует )

Сергей Панасенко ,
начальник отдела разработки программного обеспечения фирмы «Анкад»,
[email protected]

Основные понятия

Процесс преобразования открытых данных в зашифрованные и наоборот принято называть шифрованием, причем две составляющие этого процесса называют соответственно зашифрованием и расшифрованием. Математически данное преобразование представляется следующими зависимостями, описывающими действия с исходной информацией:

С = Ek1(M)

M" = Dk2(C),

где M (message) - открытая информация (в литературе по защите информации часто носит название "исходный текст");
C (cipher text) - полученный в результате зашифрования шифртекст (или криптограмма);
E (encryption) - функция зашифрования, выполняющая криптографические преобразования над исходным текстом;
k1 (key) - параметр функции E, называемый ключом зашифрования;
M" - информация, полученная в результате расшифрования;
D (decryption) - функция расшифрования, выполняющая обратные зашифрованию криптографические преобразования над шифртекстом;
k2 - ключ, с помощью которого выполняется расшифрование информации.

Понятие "ключ" в стандарте ГОСТ 28147-89 (алгоритм симметричного шифрования) определено следующим образом: "конкретное секретное состояние некоторых параметров алгоритма криптографического преобразования, обеспечивающее выбор одного преобразования из совокупности всевозможных для данного алгоритма преобразований". Иными словами, ключ представляет собой уникальный элемент, с помощью которого можно изменять результаты работы алгоритма шифрования: один и тот же исходный текст при использовании различных ключей будет зашифрован по-разному.

Для того, чтобы результат расшифрования совпал с исходным сообщением (т. е. чтобы M" = M), необходимо одновременное выполнение двух условий. Во-первых, функция расшифрования D должна соответствовать функции зашифрования E. Во-вторых, ключ расшифрования k2 должен соответствовать ключу зашифрования k1.

Если для зашифрования использовался криптостойкий алгоритм шифрования, то при отсутствии правильного ключа k2 получить M" = M невозможно. Криптостойкость - основная характеристика алгоритмов шифрования и указывает прежде всего на степень сложности получения исходного текста из зашифрованного без ключа k2.

Алгоритмы шифрования можно разделить на две категории: симметричного и асимметричного шифрования. Для первых соотношение ключей зашифрования и расшифрования определяется как k1 = k2 = k (т. е. функции E и D используют один и тот же ключ шифрования). При асимметричном шифровании ключ зашифрования k1 вычисляется по ключу k2 таким образом, что обратное преобразование невозможно, например, по формуле k1 = ak2 mod p (a и p - параметры используемого алгоритма).

Симметричное шифрование

Свою историю алгоритмы симметричного шифрования ведут с древности: именно этим способом сокрытия информации пользовался римский император Гай Юлий Цезарь в I веке до н. э., а изобретенный им алгоритм известен как "криптосистема Цезаря".

В настоящее время наиболее известен алгоритм симметричного шифрования DES (Data Encryption Standard), разработанный в 1977 г. До недавнего времени он был "стандартом США", поскольку правительство этой страны рекомендовало применять его для реализации различных систем шифрования данных. Несмотря на то, что изначально DES планировалось использовать не более 10-15 лет, попытки его замены начались только в 1997 г.

Мы не будем рассматривать DES подробно (почти во всех книгах из списка дополнительных материалов есть его подробнейшее описание), а обратимся к более современным алгоритмам шифрования. Стоит только отметить, что основная причина изменения стандарта шифрования - его относительно слабая криптостойкость, причина которой в том, что длина ключа DES составляет всего 56 значащих бит. Известно, что любой криптостойкий алгоритм можно взломать, перебрав все возможные варианты ключей шифрования (так называемый метод грубой силы - brute force attack). Легко подсчитать, что кластер из 1 млн процессоров, каждый из которых вычисляет 1 млн ключей в секунду, проверит 256 вариантов ключей DES почти за 20 ч. А поскольку по нынешним меркам такие вычислительные мощности вполне реальны, ясно, что 56-бит ключ слишком короток и алгоритм DES необходимо заменить на более "сильный".

Сегодня все шире используются два современных криптостойких алгоритма шифрования: отечественный стандарт ГОСТ 28147-89 и новый криптостандарт США - AES (Advanced Encryption Standard).

Стандарт ГОСТ 28147-89

Алгоритм, определяемый ГОСТ 28147-89 (рис. 1), имеет длину ключа шифрования 256 бит. Он шифрует информацию блоками по 64 бит (такие алгоритмы называются блочными), которые затем разбиваются на два субблока по 32 бит (N1 и N2). Субблок N1 обрабатывается определенным образом, после чего его значение складывается со значением субблока N2 (сложение выполняется по модулю 2, т. е. применяется логическая операция XOR - "исключающее или"), а затем субблоки меняются местами. Данное преобразование выполняется определенное число раз ("раундов"): 16 или 32 в зависимости от режима работы алгоритма. В каждом раунде выполняются две операции.

Первая - наложение ключа. Содержимое субблока N1 складывается по модулю 2 с 32-бит частью ключа Kx. Полный ключ шифрования представляется в виде конкатенации 32-бит подключей: K0, K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7. В процессе шифрования используется один из этих подключей - в зависимости от номера раунда и режима работы алгоритма.

Вторая операция - табличная замена. После наложения ключа субблок N1 разбивается на 8 частей по 4 бит, значение каждой из которых заменяется в соответствии с таблицей замены для данной части субблока. Затем выполняется побитовый циклический сдвиг субблока влево на 11 бит.

Табличные замены (Substitution box - S-box) часто используются в современных алгоритмах шифрования, поэтому стоит пояснить, как организуется подобная операция. В таблицу записываются выходные значения блоков. Блок данных определенной размерности (в нашем случае - 4-бит) имеет свое числовое представление, которое определяет номер выходного значения. Например, если S-box имеет вид 4, 11, 2, 14, 15, 0, 8, 13, 3, 12, 9, 7, 5, 10, 6, 1 и на вход пришел 4-бит блок "0100" (значение 4), то, согласно таблице, выходное значение будет равно 15, т. е. "1111" (0 а 4, 1 а 11, 2 а 2 ...).

Алгоритм, определяемый ГОСТ 28147-89, предусматривает четыре режима работы: простой замены, гаммирования, гаммирования с обратной связью и генерации имитоприставок. В них используется одно и то же описанное выше шифрующее преобразование, но, поскольку назначение режимов различно, осуществляется это преобразование в каждом из них по-разному.

В режиме простой замены для зашифрования каждого 64-бит блока информации выполняются 32 описанных выше раунда. При этом 32-бит подключи используются в следующей последовательности:

K0, K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K0, K1 и т. д. - в раундах с 1-го по 24-й;

K7, K6, K5, K4, K3, K2, K1, K0 - в раундах с 25-го по 32-й.

Расшифрование в данном режиме проводится точно так же, но с несколько другой последовательностью применения подключей:

K0, K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7 - в раундах с 1-го по 8-й;

K7, K6, K5, K4, K3, K2, K1, K0, K7, K6 и т. д. - в раундах с 9-го по 32-й.

Все блоки шифруются независимо друг от друга, т. е. результат зашифрования каждого блока зависит только от его содержимого (соответствующего блока исходного текста). При наличии нескольких одинаковых блоков исходного (открытого) текста соответствующие им блоки шифртекста тоже будут одинаковы, что дает дополнительную полезную информацию для пытающегося вскрыть шифр криптоаналитика. Поэтому данный режим применяется в основном для шифрования самих ключей шифрования (очень часто реализуются многоключевые схемы, в которых по ряду соображений ключи шифруются друг на друге). Для шифрования собственно информации предназначены два других режима работы - гаммирования и гаммирования с обратной связью.

В режиме гаммирования каждый блок открытого текста побитно складывается по модулю 2 с блоком гаммы шифра размером 64 бит. Гамма шифра - это специальная последовательность, которая получается в результате определенных операций с регистрами N1 и N2 (см. рис. 1).

1. В регистры N1 и N2 записывается их начальное заполнение - 64-бит величина, называемая синхропосылкой.

2. Выполняется зашифрование содержимого регистров N1 и N2 (в данном случае - синхропосылки) в режиме простой замены.

3. Содержимое регистра N1 складывается по модулю (232 - 1) с константой C1 = 224 + 216 + 28 + 24, а результат сложения записывается в регистр N1.

4. Содержимое регистра N2 складывается по модулю 232 с константой C2 = 224 + 216 + 28 + 1, а результат сложения записывается в регистр N2.

5. Содержимое регистров N1 и N2 подается на выход в качестве 64-бит блока гаммы шифра (в данном случае N1 и N2 образуют первый блок гаммы).

Если необходим следующий блок гаммы (т. е. необходимо продолжить зашифрование или расшифрование), выполняется возврат к операции 2.

Для расшифрования гамма вырабатывается аналогичным образом, а затем к битам зашифрованного текста и гаммы снова применяется операция XOR. Поскольку эта операция обратима, в случае правильно выработанной гаммы получается исходный текст (таблица).

Зашифрование и расшифрование в режиме гаммирования

Для выработки нужной для расшифровки гаммы шифра у пользователя, расшифровывающего криптограмму, должен быть тот же ключ и то же значение синхропосылки, которые применялись при зашифровании информации. В противном случае получить исходный текст из зашифрованного не удастся.

В большинстве реализаций алгоритма ГОСТ 28147-89 синхропосылка не секретна, однако есть системы, где синхропосылка - такой же секретный элемент, как и ключ шифрования. Для таких систем эффективная длина ключа алгоритма (256 бит) увеличивается еще на 64 бит секретной синхропосылки, которую также можно рассматривать как ключевой элемент.

В режиме гаммирования с обратной связью для заполнения регистров N1 и N2, начиная со 2-го блока, используется не предыдущий блок гаммы, а результат зашифрования предыдущего блока открытого текста (рис. 2). Первый же блок в данном режиме генерируется полностью аналогично предыдущему.

Рис. 2. Выработка гаммы шифра в режиме гаммирования с обратной связью.

Рассматривая режим генерации имитоприставок , следует определить понятие предмета генерации. Имитоприставка - это криптографическая контрольная сумма, вычисляемая с использованием ключа шифрования и предназначенная для проверки целостности сообщений. При генерации имитоприставки выполняются следующие операции: первый 64-бит блок массива информации, для которого вычисляется имитоприставка, записывается в регистры N1 и N2 и зашифровывается в сокращенном режиме простой замены (выполняются первые 16 раундов из 32). Полученный результат суммируется по модулю 2 со следующим блоком информации с сохранением результата в N1 и N2.

Цикл повторяется до последнего блока информации. Получившееся в результате этих преобразований 64-бит содержимое регистров N1 и N2 или его часть и называется имитоприставкой. Размер имитоприставки выбирается, исходя из требуемой достоверности сообщений: при длине имитоприставки r бит вероятность, что изменение сообщения останется незамеченным, равна 2-r.Чаще всего используется 32-бит имитоприставка, т. е. половина содержимого регистров. Этого достаточно, поскольку, как любая контрольная сумма, имитоприставка предназначена прежде всего для защиты от случайных искажений информации. Для защиты же от преднамеренной модификации данных применяются другие криптографические методы - в первую очередь электронная цифровая подпись.

При обмене информацией имитоприставка служит своего рода дополнительным средством контроля. Она вычисляется для открытого текста при зашифровании какой-либо информации и посылается вместе с шифртекстом. После расшифрования вычисляется новое значение имитоприставки, которое сравнивается с присланной. Если значения не совпадают - значит, шифртекст был искажен при передаче или при расшифровании использовались неверные ключи. Особенно полезна имитоприставка для проверки правильности расшифрования ключевой информации при использовании многоключевых схем.

Алгоритм ГОСТ 28147-89 считается очень сильным алгоритмом - в настоящее время для его раскрытия не предложено более эффективных методов, чем упомянутый выше метод "грубой силы". Его высокая стойкость достигается в первую очередь за счет большой длины ключа - 256 бит. При использовании секретной синхропосылки эффективная длина ключа увеличивается до 320 бит, а засекречивание таблицы замен прибавляет дополнительные биты. Кроме того, криптостойкость зависит от количества раундов преобразований, которых по ГОСТ 28147-89 должно быть 32 (полный эффект рассеивания входных данных достигается уже после 8 раундов).

Стандарт AES

В отличие от алгоритма ГОСТ 28147-89, который долгое время оставался секретным, американский стандарт шифрования AES, призванный заменить DES, выбирался на открытом конкурсе, где все заинтересованные организации и частные лица могли изучать и комментировать алгоритмы-претенденты.

Конкурс на замену DES был объявлен в 1997 г. Национальным институтом стандартов и технологий США (NIST - National Institute of Standards and Technology). На конкурс было представлено 15 алгоритмов-претендентов, разработанных как известными в области криптографии организациями (RSA Security, Counterpane и т. д.), так и частными лицами. Итоги конкурса были подведены в октябре 2000 г.: победителем был объявлен алгоритм Rijndael, разработанный двумя криптографами из Бельгии, Винсентом Риджменом (Vincent Rijmen) и Джоан Даймен (Joan Daemen).

Алгоритм Rijndael не похож на большинство известных алгоритмов симметричного шифрования, структура которых носит название "сеть Фейстеля" и аналогична российскому ГОСТ 28147-89. Особенность сети Фейстеля состоит в том, что входное значение разбивается на два и более субблоков, часть из которых в каждом раунде обрабатывается по определенному закону, после чего накладывается на необрабатываемые субблоки (см. рис. 1).

В отличие от отечественного стандарта шифрования, алгоритм Rijndael представляет блок данных в виде двухмерного байтового массива размером 4X4, 4X6 или 4X8 (допускается использование нескольких фиксированных размеров шифруемого блока информации). Все операции выполняются с отдельными байтами массива, а также с независимыми столбцами и строками.

Алгоритм Rijndael выполняет четыре преобразования: BS (ByteSub) - табличная замена каждого байта массива (рис. 3); SR (ShiftRow) - сдвиг строк массива (рис. 4). При этой операции первая строка остается без изменений, а остальные циклически побайтно сдвигаются влево на фиксированное число байт, зависящее от размера массива. Например, для массива размером 4X4 строки 2, 3 и 4 сдвигаются соответственно на 1, 2 и 3 байта. Далее идет MC (MixColumn) - операция над независимыми столбцами массива (рис. 5), когда каждый столбец по определенному правилу умножается на фиксированную матрицу c(x). И, наконец, AK (AddRoundKey) - добавление ключа. Каждый бит массива складывается по модулю 2 с соответствующим битом ключа раунда, который, в свою очередь, определенным образом вычисляется из ключа шифрования (рис. 6).

Рис. 3. Операция BS.

Рис. 4. Операция SR.

Рис. 5. Операция MC.

Количество раундов шифрования (R) в алгоритме Rijndael переменное (10, 12 или 14 раундов) и зависит от размеров блока и ключа шифрования (для ключа также предусмотрено несколько фиксированных размеров).

Расшифрование выполняется с помощью следующих обратных операций. Выполняется обращение таблицы и табличная замена на инверсной таблице (относительно применяемой при зашифровании). Обратная операция к SR - это циклический сдвиг строк вправо, а не влево. Обратная операция для MC - умножение по тем же правилам на другую матрицу d(x), удовлетворяющую условию: c(x) * d(x) = 1. Добавление ключа AK является обратным самому себе, поскольку в нем используется только операция XOR. Эти обратные операции применяются при расшифровании в последовательности, обратной той, что использовалась при зашифровании.

Rijndael стал новым стандартом шифрования данных благодаря целому ряду преимуществ перед другими алгоритмами. Прежде всего он обеспечивает высокую скорость шифрования на всех платформах: как при программной, так и при аппаратной реализации. Его отличают несравнимо лучшие возможности распараллеливания вычислений по сравнению с другими алгоритмами, представленными на конкурс. Кроме того, требования к ресурсам для его работы минимальны, что важно при его использовании в устройствах, обладающих ограниченными вычислительными возможностями.

Недостатком же алгоритма можно считать лишь свойственную ему нетрадиционную схему. Дело в том, что свойства алгоритмов, основанных на сети Фейстеля, хорошо исследованы, а Rijndael, в отличие от них, может содержать скрытые уязвимости, которые могут обнаружиться только по прошествии какого-то времени с момента начала его широкого распространения.

Асимметричное шифрование

Алгоритмы асимметричного шифрования, как уже отмечалось, используют два ключа: k1 - ключ зашифрования, или открытый, и k2 - ключ расшифрования, или секретный. Открытый ключ вычисляется из секретного: k1 = f(k2).

Асимметричные алгоритмы шифрования основаны на применении однонаправленных функций. Согласно определению, функция y = f(x) является однонаправленной, если: ее легко вычислить для всех возможных вариантов x и для большинства возможных значений y достаточно сложно вычислить такое значение x, при котором y = f(x).

Примером однонаправленной функции может служить умножение двух больших чисел: N = P*Q. Само по себе такое умножение - простая операция. Однако обратная функция (разложение N на два больших множителя), называемая факторизацией, по современным временным оценкам представляет собой достаточно сложную математическую задачу. Например, разложение на множители N размерностью 664 бит при P ? Q потребует выполнения примерно 1023 операций, а для обратного вычисления х для модульной экспоненты y = ax mod p при известных a, p и y (при такой же размерности a и p) нужно выполнить примерно 1026 операций. Последний из приведенных примеров носит название - "Проблема дискретного логарифма" (DLP - Discrete Logarithm Problem), и такого рода функции часто используются в алгоритмах асимметричного шифрования, а также в алгоритмах, используемых для создания электронной цифровой подписи.

Еще один важный класс функций, используемых в асимметричном шифровании, - однонаправленные функции с потайным ходом. Их определение гласит, что функция является однонаправленной с потайным ходом, если она является однонаправленной и существует возможность эффективного вычисления обратной функции x = f-1(y), т. е. если известен "потайной ход" (некое секретное число, в применении к алгоритмам асимметричного шифрования - значение секретного ключа).

Однонаправленные функции с потайным ходом используются в широко распространенном алгоритме асимметричного шифрования RSA.

Алгоритм RSA

Разработанный в 1978 г. тремя авторами (Rivest, Shamir, Adleman), он получил свое название по первым буквам фамилий разработчиков. Надежность алгоритма основывается на сложности факторизации больших чисел и вычисления дискретных логарифмов. Основной параметр алгоритма RSA - модуль системы N, по которому проводятся все вычисления в системе, а N = P*Q (P и Q - секретные случайные простые большие числа, обычно одинаковой размерности).

Секретный ключ k2 выбирается случайным образом и должен соответствовать следующим условиям:

1

где НОД - наибольший общий делитель, т. е. k1 должен быть взаимно простым со значением функции Эйлера F(N), причем последнее равно количеству положительных целых чисел в диапазоне от 1 до N, взаимно простых с N, и вычисляется как F(N) = (P - 1)*(Q - 1) .

Открытый ключ k1 вычисляется из соотношения (k2*k1) = 1 mod F(N) , и для этого используется обобщенный алгоритм Евклида (алгоритм вычисления наибольшего общего делителя). Зашифрование блока данных M по алгоритму RSA выполняется следующим образом: C = M[в степени k1] mod N . Заметим, что, поскольку в реальной криптосистеме с использованием RSA число k1 весьма велико (в настоящее время его размерность может доходить до 2048 бит), прямое вычисление M[в степени k1] нереально. Для его получения применяется комбинация многократного возведения M в квадрат с перемножением результатов.

Обращение данной функции при больших размерностях неосуществимо; иными словами, невозможно найти M по известным C, N и k1. Однако, имея секретный ключ k2, при помощи несложных преобразований можно вычислить M = Ck2 mod N. Очевидно, что, помимо собственно секретного ключа, необходимо обеспечивать секретность параметров P и Q. Если злоумышленник добудет их значения, то сможет вычислить и секретный ключ k2.

Какое шифрование лучше?

Основной недостаток симметричного шифрования - необходимость передачи ключей "из рук в руки". Недостаток этот весьма серьезен, поскольку делает невозможным использование симметричного шифрования в системах с неограниченным числом участников. Однако в остальном симметричное шифрование имеет одни достоинства, которые хорошо видны на фоне серьезных недостатков шифрования асимметричного.

Первый из них - низкая скорость выполнения операций зашифрования и расшифрования, обусловленная наличием ресурсоемких операций. Другой недостаток "теоретический" - математически криптостойкость алгоритмов асимметричного шифрования не доказана. Это связано прежде всего с задачей дискретного логарифма - пока не удалось доказать, что ее решение за приемлемое время невозможно. Излишние трудности создает и необходимость защиты открытых ключей от подмены - подменив открытый ключ легального пользователя, злоумышленник сможет обеспечить зашифрование важного сообщения на своем открытом ключе и впоследствии легко расшифровать его своим секретным ключом.

Тем не менее эти недостатки не препятствуют широкому применению алгоритмов асимметричного шифрования. Сегодня существуют криптосистемы, поддерживающие сертификацию открытых ключей, а также сочетающие алгоритмы симметричного и асимметричного шифрования. Но это уже тема для отдельной статьи.

Дополнительные источники информации Тем читателям, которые непраздно интересуются шифрованием, автор рекомендует расширить свой кругозор с помощью следующих книг. Брассар Ж. "Современная криптология". Петров А. А. "Компьютерная безопасность: криптографические методы защиты". Романец Ю. В., Тимофеев П. А., Шаньгин В. Ф. "Защита информации в современных компьютерных системах". Соколов А. В., Шаньгин В. Ф. "Защита информации в распределенных корпоративных сетях и системах". Полное описание алгоритмов шифрования можно найти в следующих документах: ГОСТ 28147-89. Система обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования. - М.: Госстандарт СССР, 1989. Алгоритм AES: http://www.nist.gov/ae . Алгоритм RSA: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/pkcs/pkcs-1 .

Криптографические системы с открытыми ключами шифрования позволяют пользователям осуществлять безопасную передачу данных по незащищенному каналу без какой-либо предварительной подготовки. Такие криптосистемы должны быть асимметричными в том смысле, что отправитель и получатель имеют различные ключи, причем ни один из них не может быть выведен из другого с помощью вычислений. В этих системах фазы шифрования и дешифрования отделены и защита сообщения обеспечивается без засекречивания ключа шифрования, поскольку он не используется при дешифровании.

С помощью открытого ключа шифрования пользователь i шифрует сообщение М и посылает пользователю j по незащищенному каналу передачи данных. Только пользователь j может выполнить дешифрование, чтобы восстановить M, поскольку только он знает секретный ключ дешифрования.

Среди асимметричных (открытых) криптосистем наиболее широкое распространение получила криптографическая система RSA. В этой системе получатель сообщения выбирает два больших простых числа p и q так, чтобы произведение n = pq находилось за пределами вычислительных возможностей. Исходное сообщение М может иметь произвольную длину в диапазоне 1

Исходный текст М восстанавливается из шифрованного C обратным преобразованием

Получатель выбирает e и d так, чтобы выполнялись условия:

где - функция Эйлера, равная (p - 1)(q - 1);

(a, b) - наибольший общий делитель двух чисел.

То есть e и d являются в мультипликативной группе обратными величинами в арифметике вычетов по mod .

Очевидно, что главной целью криптографического раскрытия является определение секретного ключа (показателя степени при C - значения d).

Известны три способа, которыми мог бы воспользоваться криптоаналитик, для раскрытия величины d по открытой информации о паре {e, n}.

Факторизация n

Разложение величины n на простые множители позволяет вычислить функцию и, следовательно, скрытое значение d, используя уравнение

Различные алгоритмы такого разложения изложены в . Наиболее быстрый алгоритм, известный в настоящее время, может выполнить факторизацию n за число шагов порядка

Анализ этого выражения показывает, что число n, имеющее 200 десятичных цифр, будет хорошо защищено от известных методов раскрытия.

Прямое вычисление

Другой возможный способ криптоанализа связан с непосредственным вычислением функции Эйлера без факторизации n. Прямое вычисление нисколько не проще факторизации n, поскольку позволяет после этого легко факторизовать n. Это можно видеть из следующего примера. Пусть

x = p + q = n + 1 - ,

y = (p - q) 2 = x 2 - 4n.

Зная, можно определить x и, следовательно, y, зная x и y, простые p и q можно определить из следующих соотношений:

Прямая оценка d

Третий способ криптоанализа состоит в непосредственном вычислении величины d. Аргументация этого способа основана на том, что, если d выбрано достаточно большим, чтобы простой перебор был неприемлем, вычисление d не проще факторизации n, поскольку, если d известно, то n легко факторизуется. Это можно показать следующим образом. Если d известно, то можно вычислить величину, кратную функции Эйлера, используя условие

где k - произвольное целое число.

Факторизацию n можно выполнить, используя любое значение, кратное . Дешифровщик, с другой стороны, может попытаться найти некоторую величину d", которая была бы эквивалентна скрытой величине d, использованной при разработке шифра. Если существует много таких d", то можно попытаться использовать прямой перебор, чтобы раскрыть шифр. Но все d" различаются множителем, равным и если этот множитель вычислен, то n можно факторизовать. Таким образом, нахождение d столь же сложно, что и факторизация n.

Таким образом, основная задача криптоанализа асимметричных систем шифрования сводится, в основном, к задаче разложения на множители (факторизация). Эта задача является одной из основных в теории чисел и формулируется следующим образом:

пусть нам дано целое число n>0, и требуется, если это возможно, найти два числа a и b, таких, что ab = n. На самом деле имеются две различные задачи: первая, называемая тестом на простоту - это проверка того, существуют ли такие a и b; вторая, называемая разложением - это задача их нахождения. Рассмотрим обе эти задачи.

Первый детерминистический тест.

Этот тест основан на малой теореме Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, то a p-1 1 (mod p) для всех a, 1

Таким образом, тест состоит в выборе числа а, меньшего b и проверке

b на принадлежность классу простых чисел согласно условию a b-1 1 (mod b) в соответствии с приведенным выражением. Практически требуется проверить только несколько значений a. Выбор а, равным 3, позволяет выявить все составные числа. Тем не менее известно, что этот тест пропускает составные числа Кармайкла (например число 561 =3 х 11 х 17).

Второй детерминистический тест.

Разделим число “b” последовательно на 2, 3, ..., . Если при каком-нибудь делении мы получим нулевой остаток, то число “b” составное, а делитель и частное являются его сомножителями; в противном случае b - простое.

Поскольку необходимо выполнить делений, то время проверки простоты числа “b” равно O().

Этот очень медленный экспоненциальный тест не только определяет является ли число простым, но и находит сомножители составного числа.

Третий детерминистический тест.

Число “b” просто тогда и только тогда, когда b | {(b-1)! + 1}. Факториал (b-1)! и проверка делимости (b-1)!+1 для больших “b” уничтожает всякий интерес к этому тесту. Если `b" имеет 100 десятичных цифр, то (b-1)! состоит примерно из 100 102 цифр.

Все приведенные выше тесты были детерминистическими. Это означает, что для заданного числа “b” мы всегда получаем ответ, является ли оно простым или составным. Если заменить слово «всегда» на «с некоторой вероятностью», то оказывается возможным построить вероятностные тесты, которые называют также тестами псевдопростоты.

Первый вероятностный тест.

Этот тест позволяет выявить все составные числа Кармайкла. Выбирается случайное число a в диапазоне от 1 до b-1 и проверяется выполнение условий.

(a, b) = 1, J(a, b) a (b-1)/2 (mod b),

где J(a, b) символ Якоби.

Символ Якоби определяется следующими соотношениями:

J(a, p) = 1, если x 2 a (mod p) имеет решения в Z p ,

J(a, p) = -1, если x 2 a (mod p) не имеет решения в Z p ,

где Z p - кольцо вычетов по модулю p.

Если b - простое число, условия приведенные выше, всегда выполняются, а если b - составное, то они не выполняются с вероятностью. Поэтому выполнение k тестов гарантирует, что ответ неправилен с вероятностью 2 -k .

Второй вероятностный тест.

Поскольку число b, которое должно быть простым, всегда нечетное, то его можно представить в виде

где s - четное число. Затем в тесте выбирается случайным образом число a в диапазоне от 1 до b-1 и проверяется выполнение условий

1 (mod b) для 0 < j

Оба теста используются для проверки числа на принадлежность классу простых и требуют порядка О(log 2 b) операций над большими числами.

Третий вероятностный тест.

Для заданного b выбираем случайным образом m, 1

Вероятность того, что выдается ответ “b - составное число”, равна вероятности того, что m | b. Если d(b) число делителей b и m - случайно выбрано в пределах 1

Это очень слабый тест.

Четвертый вероятностный тест.

Для заданного “b” выбираем случайным образом m, 1

Если b составное число, то количество чисел m

Пятый вероятностный тест.

Это тест сильной псевдопростоты. Пусть заданы b и m. Пусть

где t - нечетное число и рассмотрим числа для (x r - наименьший по абсолютной величине остаток по модулю b).

Если либо x 0 = 1, либо найдется индекс i, i

Докажем это от противного. Предположим, что b - нечетное простое число. Покажем по индукции, что 1 (mod b) для, что будет противоречить условию теоремы.

Очевидно, что это справедливо для r = S по теореме Ферма. Предполагая справедливость утверждения для i, нетрудно видеть, что оно справедливо для i-1, потому что равенство

влечет за собой, что возводимое в квадрат число равно ±1. Но -1 не подходит по условию (иначе бы тест выдал ответ "не удалось определить").

Доказано, что если b - составное число, то вероятность того, что тест выдаст ответ "b - составное число" не меньше .

Разложение на множители больших целых чисел.

С задачей о нахождении делителей больших простых чисел дело обстоит гораздо хуже, чем с проверкой простоты. Ниже приводится метод, который является наиболее сильным из известных.

Метод основывается на идее Лежандра, если U 2 V 2 (mod b) 0

Пусть мы хотим разложить на множители число b. Пусть n = - максимальное число, не превосходящее, и вычислим числа a k = (n + k) 2 - b для небольших k (числа k могут быть и отрицательными).

Пусть {q i , i = 1, 2, …, j} - множество небольших простых чисел, которые могут делить выражение вида x 2 - b (т.е. b является квадратом по модулю q i). Такое множество обычно называется мультипликативной базой В. Запомним все числа a k , которые могут быть разложены по мультипликативной базе, т.е. записаны в виде

Такие ak называются В-числами. С каждым В-числом ak связывается вектор показателей

Если мы найдем достаточно много В-чисел, чтобы множество соответствующих векторов показателей было линейно зависимо по модулю 2

(любое множество из j+2 В-чисел обладает этим свойством), то можно будет представить нулевой вектор в виде суммы векторов показателей некоторого множества S, скажем

Определим целые числа

i = 0, 1, …, j,

Из сказанного выше следует, что U 2 V 2 (mod b) и (U-V, b) может быть нетривиальным делителем b.

Дешифрование итерациями выполняется следующим образом. Противник подбирает число j, для которого выполняется следующее соотношение:

Т. е. противник просто проводит j раз зашифрование на открытом ключе перехваченного шифротекста. Это выглядит следующим образом: (С e) e) e ..) e (mod n)=С e j(mod n)). Найдя такое j, противник вычисляет C e (j-1)(mod n) (т.е. j-1 раз повторяет операцию зашифрования) - это значение и есть открытый текст M. Это следует из того, что С e j(mod n)=(C e (j-1)(mod n))e=C. Т. е. некоторое число C e (j-1)(mod n) в степени e дает шифротекст С. А это открытый текст M.

Пример. p=983, q=563, e=49, M=123456.

C=M 49 (mod n)=1603, C497(mod n)=85978, C498(mod n)=123456, C499(mod n)=1603.