Энтропия источника дискретных сообщений. Взаимосвязь энтропии и информации

Аннотация: Вводится понятие энтропии. На нескольких примерах показывается, как вычисляется энтропия дискретной случайной величины. Вводится понятие префиксного кодирования. Задачи на самостоятельную работу улучшают восприятие материала. Также много различных математических исследований

Энтропия д.с.в. - это минимум среднего количества бит , которое нужно передавать по каналу связи о текущем значении данной д.с.в.

Рассмотрим пример (скачки). В заезде участвуют 4 лошади с равными шансами на победу, т.е. вероятность победы каждой лошади равна 1/4. Введем д.с.в. , равную номеру победившей лошади. Здесь . После каждого заезда по каналам связи достаточно будет передавать два бита информации о номере победившей лошади. Кодируем номер лошади следующим образом: 1-00, 2-01, 3-10, 4-11. Если ввести функцию , которая возвращает длину сообщения, кодирующего заданное значение , то м. о. - это средняя длина сообщения, кодирующего . Можно формально определить через две функции , где каждому значению ставит в соответствие некоторый битовый код, причем, взаимно однозначно, а возвращает длину в битах для любого конкретного кода. В этом примере .

Пусть теперь д.с.в. имеет следующее распределение

Т.е. лошадь с номером 1 - это фаворит. Тогда

Закодируем номера лошадей: 1-0, 2-10, 3-110, 4-111, - т.е. так, чтобы каждый код не был префиксом другого кода (подобное кодирование называют префиксным ). В среднем в 16 заездах 1-я лошадь должна победить в 12 из них, 2-я - в 2-х, 3-я - в 1-м и 4-я - в 1-м. Таким образом, средняя длина сообщения о победителе равна бит /сим или м. о. . Действительно, сейчас задается следующим распределением вероятностей: , , . Следовательно,

Итак, .

Можно доказать, что более эффективного кодирования для двух рассмотренных случаев не существует.

То, что энтропия Шеннона соответствует интуитивному представлению о мере информации, может быть продемонстрировано в опыте по определению среднего времени психических реакций. Опыт заключается в том, что перед испытуемым человеком зажигается одна из лампочек, которую он должен указать. Проводится большая серия испытаний, в которых каждая лампочка зажигается с определенной вероятностью , где - это номер лампочки. Оказывается, среднее время, необходимое для правильного ответа испытуемого, пропорционально величине энтропии , а не числу лампочек , как можно было бы подумать. В этом опыте предполагается, что чем больше информации будет получено человеком, тем дольше будет время ее обработки и, соответственно, реакции на нее.

Упражнение 13 Найти энтропию д.с.в. и среднюю длину каждого из приведенных кодов для этой д.с.в.

Упражнение 14 д.с.в. равна количеству "гербов", выпавших на двух идеальных монетках. Найти энтропию . Придумать минимальный код для , вычислить его среднюю длину и обосновать его минимальность.

Упражнение 15 д.с.в. задана распределением , Найти энтропию этой д.с.в. Придумать минимальный код для , вычислить его среднюю длину и обосновать его минимальность.

Упражнение 16 Про д.с.в. известно, что ее значениями являются буквы кириллицы. Произведен ряд последовательных измерений , результат которых - "ТЕОРИЯИНФОРМАЦИИ". Составить на основании этого результата приблизительный закон распределения вероятностей этой д.с.в. и оценить минимальную среднюю длину кодов для .

Семантическая информация

В 50-х годах XX века появились первые попытки определения абсолютного информационного содержания предложений естественного языка. Стоит отметить, что сам Шеннон однажды заметил, что смысл сообщений не имеет никакого отношения к его теории информации, целиком построенной на положениях теории вероятностей. Но его способ точного измерения информации наводил на мысль о возможности существования способов точного измерения информации более общего вида, например, информации из предложений естественного языка. Примером одной из таких мер является функция , где - это предложение, смысловое содержание которого измеряется, -

Человечество в прошлом не испытывало потребностей в количественном измерении информации. Такая потребность возникла в связи с развитием средств коммуникаций, измерительной техники, компьютерных систем.

Первую количественную метрику предложил Хартли в 1928 году и назвал её информационной емкостью.

Рассмотрим некоторую ячейку из n реле. Считая, что каждое реле может хранить два состояния m = 2, вся ячейка может содержать N = 2 n состояний. Хартли ввел двоичную логарифмическую меру, позволяющую измерять информацию в двоичных единицах – битах. Один бит – это количество информации, которое может храниться в элементарной ячейке на два состояния: . В ячейке на состояний хранится . Основание логарифма определяет размерность единиц измерения информации. Поскольку используют двоичные единицы – биты, основание логарифма опускают. Двоичная единица информации «бит» произошла от «сжатия» английских слов binary digit – двоичная единица.

Такая мера является аддитивной , она позволяет осуществлятьсложение информации в разных ячейках при объединении их в одну.

Мера Хартли (структурная метрика информации) не отражала вероятностного характера информации и не могла быть использована для оценки информационных свойств источников сообщений. В 1948 году Шенноном была предложена статистическая, т.е. вероятностная мера.

Пусть дискретный источник выдает сообщение а , принадлежащее некоторому конечному ансамблю А (). Определим количество информации, содержащееся в этом сообщении, используя три исходных естественных (очевидных) требования:

1) количество информации должно быть аддитивной величиной, т. е. в двух независимых сообщениях количество информации определяется как сумма количеств информации в каждом из них;

2) количество информации в сообщении о достоверном событии равно 0;

3) количество информации не должно зависеть от качественного содержания сообщения (степени важности, возможных последствий его передачи, эмоциональной окраски и т. п.).

В общем случае сообщение а из ансамбля А характеризуется вероятностью , что источник формирует или посылает это сообщение, т. е. количество информации I (a ), содержащейся в сообщении а , должно быть функцией от вероятности .

,

где – вероятности формирования сообщения а 1 и а 2 соответственно.

Общее количество информации I (a 1 , а 2), содержащейся в этих двух сообщениях, согласно условию аддитивности определяется как сумма количеств информации в каждом из них:

Таким образом, надо найти функцию от вероятности такую, чтобы при перемножении двух аргументов значения функции складывались. Этому условию удовлетворяет только логарифмическая функция

,

где k – произвольный коэффициент.

Логарифм, вообще говоря, может быть взят по любому основанию. Эта формула может быть использована для определения количества информации, содержащейся в сообщении а i . Эта формула удовлетворяет и требованию 2): в случае достоверного события вероятность сообщения = 1. Тогда количество информации согласно полученной формуле:

Поскольку < 1, и следовательно, log ≤ 0, то, чтобы измерять количество информации неотрицательными числами, выбираем значение коэффициента k = –1:

.

Основание логарифма чаще всего в формуле для определения количества информации выбирают равным двум. Получаемая при этом единица информации носит название двоичная единица, или бит.

Такая единица наиболее удобна потому, что в современной вычислительной технике, технике связи широко используются двоичные коды, двоичные дискретные устройства.

Пусть дискретный источник сообщений вырабатывает полный ансамбль сообщений , где – вероятность -го сообщения. Этот источник может быть охарактеризован средним количеством информации, приходящимся на одно сообщение:

.

Эту величину Шеннон назвал энтропией источника . Понятие энтропии (от греческого «эн-тропе» – обращение) существовало и до Шеннона и распространилось на ряд областей знания. В термодинамике энтропия означает вероятность теплового состояния вещества, в математике – степень неопределенности ситуации или задачи, в информатике она характеризует способность источника отдавать информацию . Количество информации, которое переносится одним сообщением источника . Эта мера вытекает из меры Хартли: и является ее обобщением на случай неравновероятности сообщений. Видно, что чем меньше вероятность сообщения, тем большее количество информации оно несет. Мера Шеннона также аддитивна.

И количество информации I в сообщении и энтропия источника H измеряются в одних единицах – в битах, но эти величины различны. Энтропия H источника определяет способность источника производить информацию; при наличии достаточной статистики она может быть вычислена априори, до получения сообщений. Получение информации I снимает часть неопределенности источника, уменьшает его энтропию. Это уменьшение энтропии происходит после (апостериори) получения сообщения, т.е. I определяется апостериорно. Таким образом, количество информации может рассматриваться как противоположность энтропии , в этом проявляется диалектический закон единства и борьбы противоположностей.

Энтропия источника дискретных сообщений обладает следующими свойствами:

1. Энтропия положительна.

2. Энтропия детерминированных сообщений равна нулю. Если одно из сообщений источника достоверно, т.е. его вероятность равна 1, то вероятности других сообщений равны нулю.

3. Энтропия максимальна, если сообщения источника равновероятны.

.

4. В случае равновероятных сообщений энтропия возрастает с увеличением числа сообщений.

5. Энтропия источника бинарных (двоичных) сообщений изменяется от нуля до единицы в зависимости от вероятности сообщений и имеет максимум при . В этом случае мера Шеннона совпадает с мерой Хартли. Источник с энтропией в 1 бит полностью согласован с каналом, например, реле, имеющим информационную емкость в 1 бит. При неравновероятности сообщений канал будет недогружен. Зависимость энтропии от вероятности для бинарного источника иногда называют функцией Шеннона (рис. 40). При большом числе сообщений источника и при равновероятности сообщений они могут быть переданы с помощью равномерного двоичного кода. Так, восемь сообщений кодируются: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Энтропия источника равна трем: это совпадает со средним числом символов на сообщение. Иногда используется понятие удельной энтропии , это – энтропия, приходящаяся на один символ. Данный источник имеет энтропию 3 бита на сообщение, можно также сказать, что его энтропия 1 бит/символ. Такая оценка удобна при сравнении различных источников.

Рассмотрим, как можно использовать введенные понятия при вскрытии неопределенности источника.

Пример 1. Пусть, надо отгадать задуманное число от 1 до 32, задавая источнику двоичные вопросы. Так как задуманное число с равной вероятностью может быть любым, энтропия источника Н = log 32 = 5 бит/число. Задаем первый вопрос: Число в нижней половине? Ответ: да. Количество полученной от источника информации I = 1 бит. Энтропия источника уменьшилась и стала Н = 4 бит/число. Задавая подобный вопрос еще раз и получая любой ответ, мы сужаем диапазон поиска вдвое и уменьшаем неопределенность источника на один бит. Таких вопросов и ответов будет ровно пять, после чего энтропия источника будет равна нулю.

Пример 2. Предположим, среди 25 монет одна фальшивая, более легкая. Какое минимальное число взвешиваний на рычажных весах необходимо сделать для нахождения фальшивой монеты?

Прежде всего определяем энтропию источника. Так как весы могут быть в трех состояниях, каждое взвешивание уменьшает энтропию источника на одну троичную единицу информации. Поэтому монеты следует разделить на три примерно равные кучки: 8, 8 и 9 монет. Положив на чашки весов одинаковое число монет 8 и 8, определяем, есть ли среди них фальшивая и, если есть, то в какой чашке. Предположим, что первая кучка легче второй. Значит, монета здесь. Эту кучку делим на три части 3, 3 и 2. Взвешиваем одинаковые части. Допустим, они равны. Значит, искомая монета находится среди двух оставшихся. При третьем взвешивании монета найдена.

Число характеризует число кодовых признаков, используемых при передаче сообщений. Это число определяет алфавит источника. При удельная энтропия источника возрастает. В принципе, такой источник более эффективен, он позволяет передавать больше информации в единицу времени. Так, если алфавит источника равен 32 буквам, то энтропия источника – 5 бит/букву; если в китайском языке используется около 2000 иероглифов, то энтропия такого источника – 11 бит/иероглиф, т.е. 11 бит/символ. Ясно, что использование большого алфавита приводит к техническим сложностям, отсюда, наибольшее распространение в технике получил двоичный алфавит с буквами или символами 0 и 1. Источник, работающий на таком алфавите, не может иметь энтропию больше 1 бит/символ.

Количество и качество информации помимо статистической теории могут характеризоваться также терминами структурной теории, рассматривающей строение массивов информации, а также семантической теории, учитывающей целесообразность, полезность и ценность информации.

Энтропия (теория информации)

Энтропи́я (информационная) - мера хаотичности информации , неопределённость появления какого-либо символа первичного алфавита . При отсутствии информационных потерь численно равна количеству информации на символ передаваемого сообщения.

Например, в последовательности букв, составляющих какое-либо предложение на русском языке, разные буквы появляются с разной частотой, поэтому неопределённость появления для некоторых букв меньше, чем для других. Если же учесть, что некоторые сочетания букв (в этом случае говорят об энтропии n -ого порядка, см. ) встречаются очень редко, то неопределённость ещё более уменьшается.

Для иллюстрации понятия информационной энтропии можно также прибегнуть к примеру из области термодинамической энтропии , получившему название демона Максвелла . Концепции информации и энтропии имеют глубокие связи друг с другом, но, несмотря на это, разработка теорий в статистической механике и теории информации заняла много лет, чтобы сделать их соответствующими друг другу.

Формальные определения

Определение с помощью собственной информации

Также можно определить энтропию случайной величины, введя предварительно понятия распределения случайной величины X , имеющей конечное число значений: I (X ) = − logP X (X ). Тогда энтропия будет определяться как: От основания логарифма зависит единица измерения информации и энтропии: бит , нат или хартли .

Информационная энтропия для независимых случайных событий x с n возможными состояниями (от 1 до n ) рассчитывается по формуле:

Эта величина также называется средней энтропией сообщения . Величина называется частной энтропией , характеризующей только i -e состояние.

Таким образом, энтропия события x является суммой с противоположным знаком всех произведений относительных частот появления события i , умноженных на их же двоичные логарифмы (основание 2 выбрано только для удобства работы с информацией, представленной в двоичной форме). Это определение для дискретных случайных событий можно расширить для функции распределения вероятностей .

В общем случае b -арная энтропия (где b равно 2, 3, …) источника с исходным алфавитом и дискретным распределением вероятности где p i является вероятностью a i (p i = p (a i ) ) определяется формулой:

Определение энтропии Шеннона связано с понятием термодинамической энтропии . Больцман и Гиббс проделали большую работу по статистической термодинамике, которая способствовала принятию слова «энтропия» в информационную теорию. Существует связь между термодинамической и информационной энтропией. Например, демон Максвелла также противопоставляет термодинамическую энтропию информации, и получение какого-либо количества информации равно потерянной энтропии.

Альтернативное определение

Другим способом определения функции энтропии H является доказательство, что H однозначно определена (как указано ранее), если и только если H удовлетворяет условиям:

Свойства

Важно помнить, что энтропия является количеством, определённым в контексте вероятностной модели для источника данных. Например, кидание монеты имеет энтропию − 2(0,5log 2 0,5) = 1 бит на одно кидание (при условии его независимости). У источника, который генерирует строку, состоящую только из букв «А», энтропия равна нулю: . Так, например, опытным путём можно установить, что энтропия английского текста равна 1,5 бит на символ, что конечно будет варьироваться для разных текстов. Степень энтропии источника данных означает среднее число битов на элемент данных, требуемых для её зашифровки без потери информации, при оптимальном кодировании.

1. Некоторые биты данных могут не нести информации. Например, структуры данных часто хранят избыточную информацию, или имеют идентичные секции независимо от информации в структуре данных.
2. Количество энтропии не всегда выражается целым числом бит.

Математические свойства

Эффективность

Исходный алфавит, встречающийся на практике, имеет вероятностное распределение, которое далеко от оптимального. Если исходный алфавит имел n символов, тогда он может быть сравнён с «оптимизированным алфавитом», вероятностное распределение которого однородно. Соотношение энтропии исходного и оптимизированного алфавита - это эффективность исходного алфавита, которая может быть выражена в процентах.

Из этого следует, что эффективность исходного алфавита с n символами может быть определена просто как равная его n -арной энтропии.

Энтропия ограничивает максимально возможное сжатие без потерь (или почти без потерь), которое может быть реализовано при использовании теоретически - типичного набора или, на практике, - кодирования Хаффмана , кодирования Лемпеля - Зива - Велча или арифметического кодирования .

Вариации и обобщения

Условная энтропия

Если следование символов алфавита не независимо (например, во французском языке после буквы «q» почти всегда следует «u», а после слова «передовик» в советских газетах обычно следовало слово «производства» или «труда»), количество информации, которую несёт последовательность таких символов (а следовательно и энтропия) очевидно меньше. Для учёта таких фактов используется условная энтропия.

Условной энтропией первого порядка (аналогично для Марковской модели первого порядка) называется энтропия для алфавита, где известны вероятности появления одной буквы после другой (то есть вероятности двухбуквенных сочетаний):

где i - это состояние, зависящее от предшествующего символа, и p i (j ) - это вероятность j , при условии, что i был предыдущим символом.

Так, для русского языка без буквы « » .

Через частную и общую условные энтропии полностью описываются информационные потери при передаче данных в канале с помехами. Для этого применяются так называемые канальные матрицы . Так, для описания потерь со стороны источника (то есть известен посланный сигнал), рассматривают условную вероятность получения приёмником символа b j при условии, что был отправлен символ a i . При этом канальная матрица имеет следующий вид:

	b 1	b 2	…	b j	…	b m
a 1			…		…
a 2			…		…
…	…	…	…	…	…	…
a i			…		…
…	…	…	…	…	…	…
a m			…		…

Очевидно, вероятности, расположенные по диагонали описывают вероятность правильного приёма, а сумма всех элементов столбца даст вероятность появления соответствующего символа на стороне приёмника - p (b j ) . Потери, приходящиеся на передаваемый сигнал a i , описываются через частную условную энтропию:

Для вычисления потерь при передаче всех сигналов используется общая условная энтропия:

Означает энтропию со стороны источника, аналогично рассматривается - энтропия со стороны приёмника: вместо всюду указывается (суммируя элементы строки можно получить p (a i ) , а элементы диагонали означают вероятность того, что был отправлен именно тот символ, который получен, то есть вероятность правильной передачи).

Взаимная энтропия

Взаимная энтропия, или энтропия объединения , предназначена для расчёта энтропии взаимосвязанных систем (энтропии совместного появления статистически зависимых сообщений) и обозначается H (A B ) , где A , как всегда, характеризует передатчик, а B - приёмник.

Взаимосвязь переданных и полученных сигналов описывается вероятностями совместных событий p (a i b j ) , и для полного описания характеристик канала требуется только одна матрица:

p (a 1 b 1)	p (a 1 b 2)	…	p (a 1 b j )	…	p (a 1 b m )
p (a 2 b 1)	p (a 2 b 2)	…	p (a 2 b j )	…	p (a 2 b m )
…	…	…	…	…	…
p (a i b 1)	p (a i b 2)	…	p (a i b j )	…	p (a i b m )
…	…	…	…	…	…
p (a m b 1)	p (a m b 2)	…	p (a m b j )	…	p (a m b m )

Для более общего случая, когда описывается не канал, а просто взаимодействующие системы, матрица необязательно должна быть квадратной. Очевидно, сумма всех элементов столбца с номером j даст p (b j ) , сумма строки с номером i есть p (a i ) , а сумма всех элементов матрицы равна 1. Совместная вероятность p (a i b j ) событий a i и b j вычисляется как произведение исходной и условной вероятности,

Условные вероятности производятся по формуле Байеса . Таким образом имеются все данные для вычисления энтропий источника и приёмника:

Взаимная энтропия вычисляется последовательным суммированием по строкам (или по столбцам) всех вероятностей матрицы, умноженных на их логарифм:

H (A B ) = −	∑	∑	p (a i b j )logp (a i b j ).
	i	j

Единица измерения - бит/два символа, это объясняется тем, что взаимная энтропия описывает неопределённость на пару символов - отправленного и полученного. Путём несложных преобразований также получаем

Взаимная энтропия обладает свойством информационной полноты - из неё можно получить все рассматриваемые величины.

История

Примечания

См. также

Ссылки

• Claude E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication (англ.)
• С. М. Коротаев.

Понятие Энтропи́и впервые введено в 1865 Р. Клаузиусом в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. Энтропия применяется в разных отраслях науки, в том числе и в теории информации как мера неопределенности какого-либо опыта, испытания, который может иметь разные исходы. Эти определения энтропии имеют глубокую внутреннюю связь. Так на основе представлений об информации можно вывести все важнейшие положения статистической физики. [БЭС. Физика. М: Большая российская энциклопедия, 1998].

Информационная двоичная энтропия для независимых (неравновероятных) случайных событий x с n возможными состояниями (от 1 до n , p - функция вероятности) рассчитывается по формуле Шеннона :

Эта величина также называется средней энтропией сообщения. Энтропия в формуле Шеннона является средней характеристикой – математическим ожиданием распределения случайной величины .
Например, в последовательности букв, составляющих какое-либо предложение на русском языке, разные буквы появляются с разной частотой, поэтому неопределённость появления для некоторых букв меньше, чем для других.
В 1948 году, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумлённый коммуникационный канал, Клод Шеннон предложил революционный вероятностный подход к пониманию коммуникаций и создал первую, истинно математическую, теорию энтропии. Его сенсационные идеи быстро послужили основой разработки теории информации, которая использует понятие вероятности. Понятие энтропии, как меры случайности, введено Шенноном в его статье «A Mathematical Theory of Communication», опубликованной в двух частях в Bell System Technical Journal в 1948 году.

В случае равновероятных событий (частный случай), когда все варианты равновероятны, остается зависимость только от количества рассматриваемых вариантов и формула Шеннона значительно упрощается и совпадает с формулой Хартли, которая впервые была предложена американским инженером Ральфом Хартли в 1928 году, как один из научных подходов к оценке сообщений:

, где I – количество передаваемой информации, p – вероятность события, N – возможное количество различных (равновероятных) сообщений.

Задание 1. На равновероятные события.
В колоде 36 карт. Какое количество информации содержится в сообщении, что из колоды взята карта с портретом “туз”; “туз пик”?

Вероятность p1 = 4/36 = 1/9, а p2 = 1/36. Используя формулу Хартли имеем:

Ответ: 3.17; 5.17 бит
Заметим (из второго результата), что для кодирования всех карт, необходимо 6 бит.
Из результатов также ясно, что чем меньше вероятность события, тем больше информации оно содержит. (Данное свойство называется монотонностью )

Задание 2. На неравновероятные события
В колоде 36 карт. Из них 12 карт с “портретами”. Поочередно из колоды достается и показывается одна из карт для определения изображен ли на ней портрет. Карта возвращается в колоду. Определить количество информации, передаваемой каждый раз, при показе одной карты.

Энтропия источника сообщений

Для большинства реальных источников сообщения имеют разные вероятности. Например, в тексте буквы А, О, Е встречаются сравнительно часто, а Щ, Ы – редко. Согласно экспериментальным данным, для букв русского алфавита характерны безусловные вероятности, сведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1 Безусловные вероятности букв русского алфавита

	вероятность		вероятность		вероятность

При разных вероятностях сообщения несут различное количество информации . При решении большинства практических задач необходимо знать среднее количество информации, приходящееся на один элемент сообщения. Это среднее количество информации при общем числе элементов сообщения источника n и числе символов алфавита m равно:

(бит/сообщение).

Величину называют энтропией источника сообщений. Термин «энтропия» заимствован из термодинамики, где она характеризует среднюю неопределенность состояния системы молекул вещества. В теории информации этот термин введен в 1948 г. американским ученым К. Шенноном и далее более строго определен советскими математиками А.Я. Хинчиным и А.Н. Колмогоровым . Физически энтропия выражает среднюю неопределенность состояния источника сообщений и является объективной информационной характеристикой источника. Энтропия всегда положительна и принимает максимальное значение при равновероятных сообщениях :

.

Минимальное значение энтропии соответствует случаю, когда одна из вероятностей , а остальные равны нулю, т.е. имеется полная определенность.

Для источника с зависимыми сообщениями энтропия тоже вычисляется как математическое ожидание количества информации на один элемент этих сообщений. Следует заметить, что полученное в этом случае значение энтропии будет меньше, чем для источника независимых сообщений. Это следует из того, что при наличии зависимости сообщений неопределенность выбора уменьшается и, соответственно, уменьшается энтропия. Так, в тексте после сочетания "чт" вероятнее всего, что третьей буквой будет "о" и маловероятно появление в качестве третьей буквы "ж" или "ь". В среднем, сочетание "что" несет меньше информации, чем эти буквы в отдельности.

Наиболее широкое применение в дискретных системах передачи информации получили двоичные источники. Двоичные источники характеризуются передачей только двух возможных сообщений. Причем, если вероятность передачи одного из них , то вероятность передачи другого .

Определим энтропию двоичного источника. Из формулы (4.2) получим:

График зависимости (4.4) представлен на рис. 4.1. Как следует из графика, энтропия двоичного источника изменяется в пределах от нуля до единицы. Энтропия равна нулю, когда вероятность передачи одного из символов равна нулю или единице, т.е. передается только одно сообщение. Получение же одного единственно возможного сообщения никакой новой информации не дает. Энтропия двоичного источника будет максимальна, если существует наибольшая неопределенность, т.е. . При этом .

Избыточность источника сообщений

Избыточными в источнике являются сообщения, которые несут малое, иногда нулевое, количество информации. Наличие избыточности означает, что часть сообщений можно и не передавать по каналу связи, а восстановить на приеме по известным статистическим связям. Так и поступают при передаче телеграмм, исключая из текста союзы, предлоги, знаки препинания, поскольку они легко восстанавливаются по смыслу телеграммы на основании известных правил построения фраз.

Количественно избыточность оценивается коэффициентом избыточности:

,

где – энтропия источника; – максимальная энтропия источника с алфавитом из сообщений.

Избыточность при передаче сообщений имеет свои положительные и отрицательные стороны. Увеличение избыточности приводит к увеличению времени передачи сообщений, излишней загрузке каналов связи. За определенный промежуток времени по каналу передается меньшее количество информации, чем это возможно; поэтому одной из задач теории информации и техники кодирования является задача сокращения избыточности.

Однако при увеличении избыточности появляется возможность повышения помехоустойчивости передачи сообщений. Так, избыточность текста позволяет исправлять отдельные ошибки или восстанавливать пропущенные буквы или даже слова в телеграмме. У русского и всех европейских языков избыточность с учетом всех статистических зависимостей букв примерно одинакова . Она сформировалась в результате длительной, общественной практики на основе требований исправления искажения слов и фраз под воздействием различных мешающих факторов. Для систем связи устанавливается компромиссное значение избыточности, которое обеспечивает заданную скорость и надежность передачи сообщений.

Производительность источника сообщений

Для источников сообщений с фиксированной скоростью важным параметром является его производительность , определяемая выражением:

[бит/с],

где – интервал времени для передачи элементарного сообщения.

Физический смысл производительности – количество информации, выдаваемое источником в среднем за единицу времени (одну секунду) его непрерывной работы.