1.3 Сделать общие выводы.

Часть 2

Цель работы: углубление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)

Необходимые теоретические сведения.

Изменяя период Т и длительность импульса как показано на рис. 7, можно изменять спектр сигнала. С увеличением периода гармоники сближаются, не изменяя форму огибающей.

Рис.7 – Изменение спектра

Смоделируем одиночный прямоугольный импульс, периодическую последовательность импульсов с периодом Т и 10Т .

t = 0:.0314:25; y= square(2*pi*t/10, pi*pi); z = rectpuls(2*pi*t1/10); subplot(4,2,1); plot(t,x) subplot(4,2,2); plot(t,y) subplot(4,2,3); plot(t1,z)

Проведем спектральный анализ полученных сигналов. Непериодические процессы - таковыми являются информационные сигналы , одиночные импульсы , хаотические колебания (шумы ) - обладают сплошным или непрерывным спектром. Интуитивно к такому выводу можно прийти, представляя одиночный импульс частью периодической последовательности, период которой неограниченно увеличивается. Действительно, при увеличении интервала между импульсами гармоники на спектральных диаграммах периодических последовательностей импульсов сближаются: чем реже следуют импульсы, тем меньше расстояние между соседними гармониками (оно равно 1/T ). Спектр одиночного импульса (предельный случай увеличения периода) становится непрерывным, и вводится он не рядами, а интегралами Фурье .

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрально­го анализа непериодических сигналов.

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) - Fast Fourier Transform (FFT ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Метод особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 n , где n - целое положительное число. В MatLab используются следующие функции:

fft(X ) - возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X - матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;

fft(X.n) - возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X - матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

ft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) - применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim .

Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:

ifft(F) - возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F . Если F - матрица, то ifft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;

ifft(F.n) - возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F ;

ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim .

Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X - массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.

Получим спектры смоделированных сигналов.

Вызовем программу SPTool (Signal Processing Tool) . Импортируем смоделированные сигналы и рассчитаем спектр сигнала. С этой целью выделяем сигнал в списке сигналов и нажмите кнопку Create , расположенную под списком спектров. В окне Spectrum Viewer в поле Parameters нужно указать метод спектрального анализа. Указываем метод ДПФ (используется быстрое преобразование Фурье БПФ (FFT)). Указав метод, следует щёлкнуть мышью по кнопке Apply . Будет выведен график спектральной плотности мощности. Имеется возможность выводить спектры в линейном или в логарифмическом масштабе (меню Options ).

Непрерывным (сплошным) является спектр хаотических (шумовых ) колебаний . В этом случае спектральная характеристика, как функция частоты, также представляет собой хаотический (случайный ) процесс , статистические параметры которого определяются спецификой конкретного случайного временного процесса. Сформируем сигнал, содержащий регулярные составляющие с частотами 50 Гц и 120 Гц и случайную аддитивную компоненту с нулевым средним.

ЗАДАНИЕ 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов ;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системе MatLab и построить графики.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала , равному . Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда и рассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для . Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.
Если
является четной функцией , то все будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если является нечетной функцией , равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициенты и в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностью и периодом повторения .

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Данный сигнал является четной функцией , поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал
Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов
Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N = 8; % число ненулевых гармоник

t = -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A = 1; % амплитуда

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am = 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

s2 = cumsum(s1);

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии : repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков. repmat(Am", 1, length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали и length(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицей Am".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющей Rows – строк, Cols – столбцов, и N – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	– амплитуда сигнала	– период повторения сигналов	– длительность сигнала	– число ненулевых гармоник
1	7	3	2	10
2	5	4	3	12
3	4	5	4	14
4	3	6	5	16
5	2	8	6	18
6	5	3	2	14
7	4	4	3	16
8	3	5	4	18
9	2	6	5	10
10	7	8	6	12
11	4	4	3	18
12	3	5	4	10
13	2	6	5	12
14	7	8	6	14
15	5	3	2	16
16	7	3	2	12
17	5	4	3	14
18	4	5	4	16
19	3	6	5	18
20	2	8	6	10
21	5	3	2	16
22	4	4	3	18
23	3	5	4	10
24	2	6	5	12
25	7	8	6	14
26	4	4	3	10
27	3	5	4	12
28	2	6	5	14
29	7	8	6	16
30	5	3	2	18

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

(2.1)

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

График f (t )	Ряд Фурье функции f (t )	Примечание
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

u (t ) = Vпри0<t <T /2

u (t ) = -VприT /2<t <T

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий. Теория электрических цепей

5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий

5.1. Негармонические периодические сигналы

При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют негармонические колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде – амплитудная модуляция (AM), частоте – частотная модуляция (ЧМ) или фазе – фазовая модуляция (ФМ), либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде – амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), ширине – широтно-импульсная модуляция (ШИМ), временному положению – время-импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Несинусоидальный вид имеют токи и напряжения, формируемые в различных импульсных и цифровых устройствах (19. Дискретные сигналы и цепи), несинусоидальный характер приобретают гармонические сигналы, проходящие через различные нелинейные устройства (11. Нелинейные электрические цепи при гармонических воздействиях) и т. д. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений. В основе этих методов лежат спектральные представления несинусоидальных воздействий, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.

Из математического анализа известно, что периодическая негармоническая функция f(t) , удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:
(5.1)
где a k , b k - коэффициенты разложения, определяемые уравнениями
(5.2)

Величина представляет среднее за период значение функции f(t) и называется постоянной составляющей.

В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (5.1) используют другую, основанную на замене независимой переменной :
(5.3)
где
(5.4)

Уравнение (5.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье. При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (5.3) с помощью формул Эйлера:
(5.5)

Подставив (5.5) в уравнение (5.3), после несложных преобразований получим комплексную форму ряда Фурье:
(5.6)
где A k - комплексная амплитуда k -й гармоники:
(5.7)
где – амплитуда; – начальная фаза k -й гармоники.

Подставив значения a k и b k из (5.4) в (5.7), получим:
(5.8)

Совокупность амплитуд 0,5А k = 0,5А –k в разложении (5.6), отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси координат (вследствие четности коэффициентов а k ) линейчатый амплитудный спектр .

Совокупность ординат k = – –k из (5.7), входящих в разложение (5.6) и отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов b k ) линейчатый фазовый спектр .

Разложение (5.3) можно представить и в другой форме. Если учесть, что а k = А k cos k и b k = А k sin k , то после подстановки в (5.3) получим:
(5.9)

Если рассматривать постоянную составляющую a 0 /2 как нулевую гармонику с начальной фазой 0 = 0, то разложение (5.9) примет вид
(5.10)

В частном случае, когда функция f (a) симметрична относительно оси ординат (рис. 5.1, а ), в разложении (5.3) окажутся только четные (косинусоидальные) гармоники:

(5.11)

а при симметричности f (a) относительно начала координат (рис. 5.1, б ) нечетные гармоники
(5.12)

При сдвиге начала отсчета функции f (a) ее амплитудный спектр не изменяется, а меняется только фазовый спектр. Действительно, сдвинем функцию f (a) по оси времени влево на t 0 и обозначим .

Тогда разложение (5.9) примет вид
(5.13)

Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольные колебания (рис. 5.1, б ). Учитывая, что f (a) симметрична относительно начала координат в разложении (5.3) останутся только синусоидальные гармоники (5.12), где b k определится согласно (5.4):

Подставив b k в (5.12), получим разложение в ряд Фурье:
(5.14)

Далее сдвинем f (a) на p/2 влево (см. рис. 5.1, а ). Тогда согласно (5.13) получим

(5.15)

Т. е. получили разложение по косинусоидальным составляющим как и должно быть для симметричного относительно оси ординат сигнала.

В ряде случаев, когда периодичная функция f (a) задана графически и имеет сложную форму, ее разложение в ряд Фурье можно осуществить графо-аналитическим способом. Его суть заключается в том, что период сигнала Т (рис. 5.2) разбивают на m интервалов, равных , причем точки разрыва f (a) не должны попадать на середину участков разбиения; определяют значение сигнала f (a n ) в середине каждого участка разбиения.

Находят коэффициенты разложения а k и b k путем замены интеграла в (5.2) конечной суммой
(5.16)

Уравнение (5.16) легко программируется и при вычислении а k и b k , может использоваться ЭВМ.

5.2. Действующее, среднее значение и мощность периодического негармонического сигнала

Для определенности положим, что f (t ) имеет смысл тока i (t ). Тогда действующее значение периодического негармонического тока определяется согласно (3.5), где i (t ) определяется уравнением (5.10):
(5.17)

Подставив это значение тока в (3.5), после интегрирования получим
(5.18)

т. е. действующее значение периодического негармонического тока I полностью определяется действующими значениями его гармоник I k и не зависит от их начальных фаз k .

Аналогичным образом находим действующее значение периодического несинусоидального напряжения:
(5.19)

Среднее значение тока определяется согласно общему выражению (3.9). Причем обычно берут среднее значение i (t ) по абсолютной величине
(5.20)

Аналогично определяется U ср(2) .

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.

Средняя активная мощность периодического несинусоидального сигнала
(5.21)
где
(5.22)

k - фазовый сдвиг между током и напряжением k -й гармоники.

Подставляя значения i (t ) и u (t ) из (5.22) в уравнение (5.21), после интегрирования получаем:
(5.23)
т, е. средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник. Формула (5.23) является одной из форм широко известного равенства Парсеваля .

Аналогично находим реактивную мощность
(5.24)
и полную мощность
(5.25)

Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов для негармонических сигналов
(5.26)

Величина P иcк = носит название мощности искажений и характеризует степень различия в формах тока i (t ) и напряжения u (t ).

Кроме мощности искажений периодические негармонические сигналы характеризуются еще рядом коэффициентов : мощности, k м = P/S; формы K ф = U/U ср(2) ; амплитуды K a = U m /U; искажений k и = U 1 /U; гармоник k г = и др.

Для синусоидального сигнала k ф = /21,11; k a = 1,41; k и = 1; k г = 0.

5.3. Спектры периодических негармонических сигналов

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5.3, а . Сигналы подобной формы находят очень широкое применение в радиотехнике и электросвязи: телеграфия, цифровые системы передачи, системы многоканальной связи с временным разделением каналов, различные импульсные и цифровые устройства и др. (см. гл. 19). Импульсная последовательность характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой импульса A и и может иметь смысл как напряжения, так и тока."> , его длительностью t и и периодом следования Т . Отношение периода Т к длительности t и называется скважностью импульсов и обозначается через q = T/t и . Обычно значения скважности импульсов лежат в пределах от нескольких единиц (в измерительной технике, устройствах дискретной передачи и обработки информации), до нескольких сотен или тысяч (в радиолокации).

Для нахождения спектра последовательности прямоугольных импульсов воспользуемся рядом Фурье в комплексной форме (5.6). Комплексная амплитуда k -й гармоники равна согласно (5.8) после возвращения к исходной переменной t .

(5.27)

Подставив значение A k в уравнение (5.6), получим разложение в ряд Фурье:
(5.28)

На рис. 5.4 изображен спектр комплексных амплитуд для q = 2 и q = 4. Как видно из рисунка, спектр последовательности прямоугольных импульсов представляет собой дискретный спектр с огибающей (штриховая линия на рис. 5.4), которая описывается функцией
(5.29)
носящей название функции отсчетов (см. гл. 19). Число спектральных линий между началом отсчета по оси частот и первым нулем огибающей равно q- 1. Постоянная составляющая сигнала (среднее значение) , а действующее значение A = , т.е. чем больше скважность, тем меньше уровень постоянной составляющей и действующее значение сигнала. С увеличением скважности q число дискретных составляющих увеличивается - спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б ), и амплитуда гармоник убывает медленнее. Следует подчеркнуть, что в соответствии с (5.27) спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов вещественный.

Из спектра комплексных амплитуд (5.27) можно выделить амплитудный A k = |A k | и фазовый спектр k = argA k , изображенный на рис. 5.5 для случая q = 4. Из рисунков видно, что амплитудный спектр является четной, а фазовый - нечетной функцией частоты. Причем, фазы отдельных гармоник принимают либо нулевое значение между узлами, где синус положительный, либо ±, где синус отрицательный (рис. 5.5, б )

На основании формулы (5.28) получим тригонометрическую форму разложения в ряд Фурье по четным гармоникам (сравни с (5.15)):
(5.30)

При сдвиге импульсной последовательности по оси времени (рис. 5.2, б ) в соответствии с (5.13) ее амплитудный спектр останется прежним, а фазовый спектр изменится:
(5.31)

В случае, когда периодическая последовательность имеет разнополярную форму (см. рис. 5.1), в спектре будет отсутствовать постоянная составляющая (сравните (5.30) и (5.31) с (5.14) и (5.15)).

Аналогичным образом можно исследовать спектральный состав периодических негармонических сигналов другой формы. В табл.5.1 приведено разложение в ряд Фурье некоторых наиболее распространенных сигналов.

Таблица 5.1

	Типы сигнала	Разложение в ряд Фурье
1
2
3
4
5
6

5.4. Расчет цепей при периодических негармонических воздействиях

В основе расчета линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям заключается в разложении негармонического периодического сигнала в одну из форм ряда Фурье (см. 5.1. Негармонические периодические сигналы. Разложение в ряд Фурье) и определении реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится путем суперпозиции (наложения) полученных частичных реакций. Таким образом, расчет цепей при периодических негармонических воздействиях включает в себя задачу анализа спектрального состава сигнала (разложение его в ряд Фурье), расчет цепи от каждой гармонической составляющей и задачу синтеза, в результате которого определяется результирующий выходной сигнал как функция времени (частоты) или его действующее (амплитудное значение).

При решении задачи анализа обычно пользуются тригонометрической (5.3) или комплексной (5.6) формой ряда Фурье с ограниченным числом членов разложения, что приводит к некоторой погрешности аппроксимации истинного сигнала. Коэффициенты разложения a k и b k в (5.3) или A k и k в (5.6) определяются с помощью уравнений (5.4), (5.7) и (5.8). При этом входной сигнал f (a) должен быть задан аналитически. В случае, если сигнал задается графически, например в виде осциллограммы, то для нахождения коэффициентов разложения a k и b k можно использовать графоаналитический метод (см. (5.16)).

Расчет цепи от отдельных гармоник ведется обычно символическим методом. При этом необходимо иметь в виду, что на k -й гармонике индуктивное сопротивление X L (k ) = kL , а емкостное сопротивление X C (k ) = 1/(kС ), т. е. на k -й гармонике индуктивное сопротивление в k раз больше, а емкостное в k раз меньше, чем на первой гармонике. Этим в частности объясняется то обстоятельство, что высокие гармоники в емкости выражены сильнее, а в индуктивности слабее, чем в приложенном к ним напряжении. Активное сопротивление R на низких и средних частотах можно считать не зависящим от частоты.

После определения искомых токов и напряжений от отдельных гармоник методом наложения находят результирующую реакцию цепи на негармоническое периодическое воздействие. При этом либо определяют мгновенное значение результирующего сигнала на основании расчета амплитуд и фаз отдельных гармоник, либо его амплитудные или действующие значения согласно уравнениям (5.18), (5.19). При определении результирующей реакции необходимо помнить, что в соответствии с представлением периодических негармонических колебаний на комплексной плоскости векторы различных гармоник вращаются с различной угловой частотой.

Пример. К цепи, изображенной на рис. 5.6, приложено напряжение u (t ) в форме прямоугольных импульсов с периодом повторения T = 2t и и амплитудой A и = 1В (см. рис. 5.3, б ). Определить мгновенное и действующее значения напряжения на емкости.

Разложение данного напряжения в ряд Фурье определяется по формуле (5.31). Ограничимся первыми тремя членами разложения (5.31):k -й гармонике называется такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением k -x гармоник равен нулю. Явление резонанса может быть использовано для выделения отдельных гармоник из периодического несинусоидального сигнала. Следует подчеркнуть, что в цепи может одновременно быть достигнут резонанс токовна одной частоте и резонанс напряжений на другой.

Пример. Для цепи, изображенной на рис. 5.7, при заданной 1 , L 1 найти значение C 1 и C 2 , при которых одновременно возникает резонанс напряжений на 1-й и резонанс токов на 5-й гармонике.

Из условия резонанса напряжений находим, что входное реактивное сопротивление цепи на первой гармонике должно равняться нулю:
(5.32)

а на пятой - бесконечности (входная реактивная проводимость на пятой гармонике должна быть равна нулю):
(5.33)

Из условий (5.32) и (5.33) находим искомое значение емкостей:

где , - частота основной гармоники, ;

() – высшие гармоники; (включая ) и – коэффициенты Фурье.

,

Постоянную составляющую (среднее значение) функции удобно вычислять по отдельному выражению полученному из при :

, тогда ,

Очевидно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени , то в тригонометрической записи ряда Фурье (1.14) остаются только косинусоидальные составляющие , так как коэффициенты обращаются в нуль. Для сигнала определяемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффициенты , и ряд содержит синусоидальные составляющие

Часто выражение (1.15) удобно представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

,

где , - амплитуда, - начальная фаза - ой гармоники.

На рис. 1.10 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов конечным числом слагаемых () ряда Фурье.

Для функции (рис.1.10) разложение имеет вид

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов представляется как результат сложения постоянной составляющей и синусоидальных сигналов с частотами , причем период синусоиды с частотой совпадает с периодом последовательности импульсов . Для удобства можно представить в виде .

Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.

Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины из амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис.1.11), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.

В точках оси частот отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.

Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (1.16) воспроизводит форму графика функции очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией . Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления возрастает.

На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 1.11). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.

Пример 1.1. Разложим в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, , ) (рис. 1.12), четную относительно точки :

.

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (1.12). Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса. Действительно, в этом случае и в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk=0.

По формулам (1.14) находим коэффициенты:

, ,

позволяющие записать ряд Фурье:

,

где - скважность импульсной последовательности.

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных полагаем и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра при , , и 8 сведены в табл. 1.1 и построены спектральные диаграммы на рис.1.13.

Таблица 1.1. Амплитуды спектральных составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из приведенного примера следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды.

Выбор количества спектральных составляющих зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Плавное изменение формы сигнала потребует меньше числа гармоник при той же точности представления, чем для скачкообразного сигнала. Для приближенного представления прямоугольных импульсов на практике обычно считают, что достаточно трех - пяти гармоник.