Сопряженный оператор примеры. Сопряжённый оператор

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Общее линейное пространство

Пусть $E, \, L$ - линейные пространства , а $E^*, \, L^*$ - сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов , определенных на $E, \, L$ ). Тогда для любого линейного оператора $A\colon E \to L$ и любого линейного функционала $g \in L^*$ определён линейный функционал $f \in E^*$ - суперпозиция $g$ и $A$ : $f(x)=g(A(x))$ . Отображение $g\mapsto f$ называется сопряженным линейным оператором и обозначается $A^*\colon L^* \to E^*$ .

Если кратко, то $(A^*g, x) = (g, Ax)$ , где $(B, x)$ - действие функционала $B$ на вектор $x$ .

Топологическое линейное пространство

Пусть $E, \, L$ - топологические линейные пространства , а $E^*, \, L^*$ - сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов , определенных на $E, \, L$ ). Для любого непрерывного линейного оператора $A\colon E \to L$ и любого непрерывного линейного функционала $g \in L^*$ определён непрерывный линейный функционал $f \in E^*$ - суперпозиция $g$ и $A$ : $f(x)=g(A(x))$ . Нетрудно проверить, что отображение $g\mapsto f$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также $A^*\colon L^* \to E^*$ .

Банахово пространство

Пусть $A\colon X\to Y$ - непрерывный линейный оператор , действующий из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$ и пусть $X^*, Y^*$ - сопряжённые пространства . Обозначим $\forall x\in X, f\in Y^* =f(Ax)$ . Если $f$ - фиксировано, то - линейный непрерывный функционал в $X, \in X^*$ . Таким образом, для $\forall f\in Y^*$ определён линейный непрерывный функционал из $X^*$ , поэтому определён оператор $A^*\colon Y^*\to X^*$ , такой что $=$ .

$A^*$ называется сопряжённым оператором . Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для $A^*$ справедливы следующие свойства:

Оператор $A^*$ - линейный.
Если $A$ - линейный непрерывный оператор , то $A^*$ также линейный непрерывный оператор.
Пусть $O$ - нулевой оператор , а $E$ - единичный оператор . Тогда $O^*=O, E^*=E$ .
$(A+B)^*=A^*+B^*$ .
$\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^*$ .
$(AB)^*=B^*A^*$ .
$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$ .

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве $H$ теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора $A\colon H \to H$ равенство $(Ax, y) = (x, A^*y)$ определяет сопряженный оператор $A^*\colon H \to H$ . Здесь $(x, y)$ - скалярное произведение в пространстве $H$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Сопряжённый оператор"

Примечания

Литература

Шефер Х. Топологические векторные пространства. - М .: Мир, 1971.
Ворович И.И. , Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. - М .: Вузовская книга, . - 320 с.
Треногин В. А. Функциональный анализ. - М .: Наука , . - 495 с.
Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн . - 2-е, переработанное и дополненное. - М .: Наука , . - 544 с. - (Справочная математическая библиотека).
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. - М .: Физматгиз , . - 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. - М .: Наука , . - 352 с.

Отрывок, характеризующий Сопряжённый оператор

Вперед его во двор проскакали адъютанты. Кутузов, нетерпеливо подталкивая свою лошадь, плывшую иноходью под его тяжестью, и беспрестанно кивая головой, прикладывал руку к бедой кавалергардской (с красным околышем и без козырька) фуражке, которая была на нем. Подъехав к почетному караулу молодцов гренадеров, большей частью кавалеров, отдававших ему честь, он с минуту молча, внимательно посмотрел на них начальническим упорным взглядом и обернулся к толпе генералов и офицеров, стоявших вокруг него. Лицо его вдруг приняло тонкое выражение; он вздернул плечами с жестом недоумения.
– И с такими молодцами всё отступать и отступать! – сказал он. – Ну, до свиданья, генерал, – прибавил он и тронул лошадь в ворота мимо князя Андрея и Денисова.
– Ура! ура! ура! – кричали сзади его.
С тех пор как не видал его князь Андрей, Кутузов еще потолстел, обрюзг и оплыл жиром. Но знакомые ему белый глаз, и рана, и выражение усталости в его лице и фигуре были те же. Он был одет в мундирный сюртук (плеть на тонком ремне висела через плечо) и в белой кавалергардской фуражке. Он, тяжело расплываясь и раскачиваясь, сидел на своей бодрой лошадке.
– Фю… фю… фю… – засвистал он чуть слышно, въезжая на двор. На лице его выражалась радость успокоения человека, намеревающегося отдохнуть после представительства. Он вынул левую ногу из стремени, повалившись всем телом и поморщившись от усилия, с трудом занес ее на седло, облокотился коленкой, крякнул и спустился на руки к казакам и адъютантам, поддерживавшим его.
Он оправился, оглянулся своими сощуренными глазами и, взглянув на князя Андрея, видимо, не узнав его, зашагал своей ныряющей походкой к крыльцу.
– Фю… фю… фю, – просвистал он и опять оглянулся на князя Андрея. Впечатление лица князя Андрея только после нескольких секунд (как это часто бывает у стариков) связалось с воспоминанием о его личности.
– А, здравствуй, князь, здравствуй, голубчик, пойдем… – устало проговорил он, оглядываясь, и тяжело вошел на скрипящее под его тяжестью крыльцо. Он расстегнулся и сел на лавочку, стоявшую на крыльце.
– Ну, что отец?
– Вчера получил известие о его кончине, – коротко сказал князь Андрей.
Кутузов испуганно открытыми глазами посмотрел на князя Андрея, потом снял фуражку и перекрестился: «Царство ему небесное! Да будет воля божия над всеми нами!Он тяжело, всей грудью вздохнул и помолчал. „Я его любил и уважал и сочувствую тебе всей душой“. Он обнял князя Андрея, прижал его к своей жирной груди и долго не отпускал от себя. Когда он отпустил его, князь Андрей увидал, что расплывшие губы Кутузова дрожали и на глазах были слезы. Он вздохнул и взялся обеими руками за лавку, чтобы встать.
– Пойдем, пойдем ко мне, поговорим, – сказал он; но в это время Денисов, так же мало робевший перед начальством, как и перед неприятелем, несмотря на то, что адъютанты у крыльца сердитым шепотом останавливали его, смело, стуча шпорами по ступенькам, вошел на крыльцо. Кутузов, оставив руки упертыми на лавку, недовольно смотрел на Денисова. Денисов, назвав себя, объявил, что имеет сообщить его светлости дело большой важности для блага отечества. Кутузов усталым взглядом стал смотреть на Денисова и досадливым жестом, приняв руки и сложив их на животе, повторил: «Для блага отечества? Ну что такое? Говори». Денисов покраснел, как девушка (так странно было видеть краску на этом усатом, старом и пьяном лице), и смело начал излагать свой план разрезания операционной линии неприятеля между Смоленском и Вязьмой. Денисов жил в этих краях и знал хорошо местность. План его казался несомненно хорошим, в особенности по той силе убеждения, которая была в его словах. Кутузов смотрел себе на ноги и изредка оглядывался на двор соседней избы, как будто он ждал чего то неприятного оттуда. Из избы, на которую он смотрел, действительно во время речи Денисова показался генерал с портфелем под мышкой.
– Что? – в середине изложения Денисова проговорил Кутузов. – Уже готовы?
– Готов, ваша светлость, – сказал генерал. Кутузов покачал головой, как бы говоря: «Как это все успеть одному человеку», и продолжал слушать Денисова.
– Даю честное благородное слово гусского офицег"а, – говорил Денисов, – что я г"азог"ву сообщения Наполеона.

Обратный оператор

Пусть V -линейное пространство над полем Р, А - оператор (не обязательно линейный), действующий в V.

Определение. Оператор А называется обратимым, если существует такой оператор В, действующий в V, что ВА = АВ = I.

Определение. Оператор В, удовлетворяющий условию ВА = АВ = I, называется обратным к А и обозначается.

Таким образом, оператор, обратный к оператору А, удовлетворяет условию А=А = I. Для обратимого оператора А равенства Ах = y и у = х равносильны. Действительно, пусть Ах = у, тогда у =(Ах) = (А)х = Ix = х.

Если у = х, то

Ах = А(у) = (А)у = Iу = у.

Теорема. Если линейный оператор обратим, то обратный к нему оператор также является линейным.

Доказательство. Пусть А - обратимый линейный оператор, действующий в линейном пространстве V над полем Р, - оператор, обратный к А. Возьмем произвольные векторы и числа Положим, . Тогда А=, А=. В силу линейности оператора А

Отсюда получаем:

= = ,

То есть оператор является линейным.

Сопряженный линейный оператор

Пусть заданы два унитарных пространства X, Y.

Определение. Оператор А*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору А, действующему из X в Y, если для любых векторов хХ, yY выполняется равенство

(Ах, у) = (х, А*у). (1)

Теорема. Для любого линейного оператора А существует сопряженный оператор А*, и притом только один.

Доказательство. Выберем в X какой-либо ортонормированный базис Для любого вектора хХ имеет место разложение

Если оператор А* существует, то, согласно этой формуле, для любого вектора yY имеем

Или по определению

Но это означает, что если оператор А* существует, то он единственный.

Построенный таким образом оператор А* является линейным. Он удовлетворяет и равенству (Ах, у) = (х, А*у). Действительно, учитывая ортонормированность системы и принимая во внимание (1), (2), получаем для любых векторов хХ, yY

(Ах, у) = (А) =,

(х, А*у) = (А) =

Теорема доказана.

Сопряженный оператор А* связан с оператором А определенными соотношениями. Отметим некоторые из них:

Доказательство. Рассмотрим произвольный оператор А и сопряженный к нему оператор А*. В свою очередь для оператора А* сопряженным будет оператор (А*)*. Теперь для любых хХ, yY имеем

(у, (А*)*х) = (А*у,х) == = (у,Ах).

Пусть X – банахово пространство и А – ограниченный линейный оператор, определенные на Х, с областью значений в банаховом пространстве Y. Пусть х ÎХ и f ÎY*. Тогда определено значение f(Ax), при этом выполняются неравенства | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Эти неравенства показывают, что линейный функционал j(х), определенный равенством j(х) = f(Ax), является ограниченным функционалом. Таким образом, каждому линейному ограниченному функционалу f ÎY с помощью оператора А ставится в соответствие линейный непрерывный функционал j ÎХ*. Меняя элемент f мы будем получать, вообще говоря, разные элементы j; тем самым мы получаем оператор

определенный на Y*, с областью значений в пространстве X*. Этот оператор A* связан с оператором А равенством (A*f)(x) = f(Ax). Если применить введенное в п. 2 обозначение для линейного функционала f(x) = (x, f), то связь операторов будет выглядеть симметрично:

(Ax, f)=(x, A*f). (1)

Оператор A* однозначно определяется формулой (1) и называется оператором, сопряженным с оператором А.

Действительно, если для всех x и y имеют место равенства

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

то отсюда по следствию 4 из теоремы Хана-Банаха следует, что A 1 *y= A*y для всех y, а это означает, что A*=A 1 *.

Теорема 11. Сопряженный оператор A* – линейный и .

Доказательство. Докажем аддитивность оператора A*. Действительно, если y, z ÎY*, то из рассуждений выше вытекает существование единственного элемент (y + z)* ÎX, что (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) при всех x ÎX.

С другой стороны, с помощью формулы (1) имеем

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x, (y+z)*),

т.е. (y+z)* = A*x + A*y, откуда A*(y+z)=A*y+A*z. Это доказывает аддитивность оператора А*. Однородность также легко проверяется.

Для вычисления нормы оператора А* проведем оценки

Отсюда следует, что оператор A* – ограниченный и .

У оператора A*, в свою очередь, есть сопряженный – A**, определяемый равенством, аналогичным (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Но, так как из (2) A**x определяется однозначно для каждого xÎХ, то из сопоставления равенств (1) и (2) следует, что

(Ax, y) = (A**x, y) "хÎХ, "yÎY.

В силу следствия 4 из теоремы Хана-Банаха последнее означает, что A**x=Ax для всех xÎX, т.е. A**= A на пространстве Х. Применяя доказанное неравенство для нормы сопряженного оператора к A* и A**, имеем , что и дает требуемое равенство: . Теорема доказана.

Теорема. 12. Если А и В линейные ограниченные операторы из банахова пространства Х в банахово пространство Y, то

1. (А+В)*=А*+В*

2. (λА)*= λА*

3. В предположении Х = Y, справедливо равенство (АВ)*=В*А*.

Доказательство. Вышеуказанные свойства вытекают из следующих соотношений:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y).

Теорема доказана.

Пример 8. В пространстве L 2 рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

с ядром, имеющим интегрируемый квадрат. Имеем, используя теорему Фубини,

, где

Таким образом, переход к сопряженному оператору заключается в том, что интегрирование ведется по первой переменной. Тогда как в исходном операторе оно ведется по второй.

Еще по теме 6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.:

2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.
4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - A) и (A - C).
1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении

Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V , и (x , Ay ) = (x , By ), x , y V , то A = B .

В самом деле, положив в равенстве (x , Ay ) = (x , By ) Û (x , (A – B )y ) = 0 вектор x = (A – B )y , получим ((A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V , что равносильно равенству (A – B )y = 0 , y V , т. е. A – B = O , или A = B .

Определение 11.1. Линейный оператор A * называется сопряженным оператору A , если

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V . (11.1)

Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?

Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A * .

Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u 1 , u 2 ,…, u n . Каждому линейному оператору A : V ®V в этом базисе отвечает матрица А = , i , j = 1, 2,..., n . Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B . Тогда

(Au j , u i ) = (а 1 j u 1 + а 2 j u 2 +…+ а nj u n , u i ) = а ij ;

(u j , Bu i ) = (u j , а i 1 u 1 + а i 2 u 2 +…+ а in u n ) = а ij .

(Au j , u i ) = (u j , Bu i ), i , j = 1, 2,..., n . (11.2)

Пусть далее x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n и y = у 1 u 1 + у 2 u 2 +…+ у n u n – любые два вектора из V . Рассмотрим скалярные произведения (Ax , y ) и (x , By ):

(Ax , y ) = (Au j , u i ),

(x , By ) = (u j , Bu i ).

Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax , y ) = (x , By ), x , y V , т. е. B = A * .

Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A * , матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A . Единственность оператора A * следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨

Легко убедиться в том, что оператор A * , сопряженный линейному оператору A , является линейным.

Итак, оператор A * линеен и ему соответствует матрица A * . Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид

(А x , y ) = (x , A * y ), x , y V .

Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

1°. Е * = Е .

2°. (A *) * = A .

3°. (A + B ) * = A * + B * .

4°. (А ) * = A * , R .

5°. (AB ) * = B * A * .

6°. (A –1) * = (A *) –1 .

Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.

Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A –1 существует. Тогда из равенств AA –1 = A –1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA –1) * = (A –1 A ) * = Е * = = Е и (AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , т. е. что (A –1) * = (A *) –1 . Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц:

(A –1) * = (A *) –1 .

Пример 1. Пусть A – поворот евклидовой плоскости R 2 на угол j с матрицей

в ортонормированном базисе i , j . Тогда матрицей сопряженного оператора в этом базисе является

= .

Следовательно, A * – поворот плоскости на угол j в противоположном направлении.·