Методы математической статистики. Регрессионный анализ. R — значит регрессия

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.

Предполагается, что - независимые переменные (предикторы, объясняющие переменные) влияют на значения - зависимых переменных (откликов, объясняемых переменных). По имеющимся эмпирическим данным , требуется построить функцию , которая приближенно описывала бы изменение при изменении :

.

Предполагается, что множество допустимых функций, из которого подбирается , является параметрическим:

,

где - неизвестный параметр (вообще говоря, многомерный). При построении будем считать, что

, (1)

где первое слагаемое - закономерное изменение от , а второе - - случайная составляющая с нулевым средним; является условным математическим ожиданием при условии известного и называется регрессией по .

Пусть n раз измерены значения факторов и соответствующие значения переменной y ; предполагается, что

(2)

(второй индекс у x относится к номеру фактора, а первый – к номеру наблюдения); предполагается также, что

(3)

т.е. - некоррелированные случайные величины. Соотношения (2) удобно записывать в матричной форме:

, (4)

где - вектор-столбец значений зависимой переменной, t - символ транспонирования, - вектор-столбец (размерности k ) неизвестных коэффициентов регрессии, - вектор случайных отклонений,

-матрица ; в i -й строке находятся значения независимых переменных в i -м наблюдении первая переменная – константа, равная 1.

в начало

Оценка коэффициентов регрессии

Построим оценку для вектора так, чтобы вектор оценок зависимой переменной минимально (в смысле квадрата нормы разности) отличался от вектора заданных значений:

.

Решением является (если ранг матрицы равен k+1 ) оценка

(5)

Нетрудно проверить, что она несмещенная.

в начало

Проверка адекватности построенной регрессионной модели

Между значением , значением из регрессионной модели и значением тривиальной оценкой выборочного среднего существует следующее соотношение:

,

где .

По сути, член в левой части определяет общую ошибку относительно среднего. Первый член в правой части () определяет ошибку, связанную с регрессионной моделью, а второй () ошибку, связанную со случайными отклонениями и необъясненной построенной моделью.

Поделив обе части на полную вариацию игреков , получим коэффициент детерминации:

(6)

Коэффициент показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюдаемым значениям . Если , то регрессия на не улучшает качества предсказания по сравнению с тривиальным предсказанием .

Другой крайний случай означает точную подгонку: все , т.е. все точки наблюдений лежат на регрессионной плоскости.

Однако, значение возрастает с ростом числа переменных (регрессоров) в регрессии, что не означает улучшения качества предсказания, и потому вводится скорректированный коэффициент детерминации

(7)

Его использование более корректно для сравнения регрессий при изменении числа переменных (регрессоров).

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Стандартной ошибкой оценки является величина , оценка для которой

(8)

где - диагональный элемент матрицы Z . Если ошибки распределены нормально, то, в силу свойств 1) и 2), приведенных выше, статистика

(9)

распределена по закону Стьюдента с степенями свободы, и поэтому неравенство

, (10)

где - квантиль уровня этого распределения, задает доверительный интервал для с уровнем доверия .

Проверка гипотезы о нулевых значениях коэффициентов регрессии. Для проверки гипотезы об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между и совокупностью факторов, , т.е. об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов, кроме коэффициентов, при константе используется статистика

, (11)

распределенная, если верна, по закону Фишера с k и степенями свободы. отклоняется, если

(12)

где - квантиль уровня .

в начало

Описание данных и постановка задачи

Исходный файл с данными tube_dataset.sta содержит 10 переменных и 33 наблюдения. См. рис. 1.

Рис. 1. Исходная таблица данных из файла tube_dataset.sta

В названии наблюдений указан временной интервал: квартал и год (до и после точки соответственно). Каждое наблюдение содержит данные за соответствующий временной интервал. 10 переменная «Квартал» дублирует номер квартала в имени наблюдения. Список переменных приведен ниже.

Цель: Построить регрессионную модель для переменной №9 «Потребление труб».

Этапы решения:

1) Сначала проведем разведочный анализ имеющихся данных на предмет выбросов и незначимых данных (построение линейных графиков и диаграмм рассеяния).

2) Проверим наличие возможных зависимостей между наблюдениями и между переменными (построение корреляционных матриц).

3) Если наблюдения будут образовывать группы, то для каждой группы построим регрессионную модель для переменной «Потребление труб» (множественная регрессия).

Перенумеруем переменные по порядку в таблице. Зависимой переменной (отклик) будем называть переменную «Потребление труб». Независимыми (предикторами) назовем все остальные переменные.

в начало

Решение задачи по шагам

Шаг 1. Диаграммы рассеяния (см. рис. 2.) явных выбросов не выявили. В то же время, на многих графиках явно просматривается линейная зависимость. Также есть пропущенные данные по «Потреблению труб» в 4 кварталах 2000 года.

Рис. 2. Диаграмма рассеяния зависимой переменной (№9) и кол-ва скважин (№8)

Цифра после символа Е в отметках по оси Х обозначает степень числа 10, которое определяет порядок значений переменной №8 (Количество скважин действующих). В данном случае речь идет о значении порядка 100.000 скважин (10 в 5 степени).

На диаграмме рассеяния на рис. 3 (см. ниже) отчетливо видно 2 облака точек, причем каждое из них имеет явную линейную зависимость.

Понятно, что переменная №1, скорее всего, войдет в регрессионную модель, т.к. нашей задачей является выявление именно линейной зависимости между предикторами и откликом.

Рис. 3. Диаграмма рассеяния зависимой переменной (№9) и Инвестиций в нефтяную промышленность (№1)

Шаг 2. Построим линейные графики всех переменных в зависимости от времени. Из графиков видно, что данные по многим переменным сильно разнятся в зависимости от номера квартала, но рост из года в год сохраняется.

Полученный результат подтверждает предположения, полученные на основе рис. 3.

Рис. 4. Линейный график 1-й переменной в зависимости от времени

В частности, на рис. 4 построен линейный график для первой переменной.

Шаг 3. Согласно результатам рис. 3 и рис. 4, разобьем наблюдения на 2 группы, по переменной №10 «Квартал». В первую группу войдут данные по 1 и 4 кварталу, а во вторую – данные по 2 и 3.

Чтобы разбить наблюдения согласно кварталам на 2 таблицы, воспользуемся пунктом Данные/Подмножество/Случайный выбор . Здесь в качестве наблюдений нам надо указать условия на значения переменной КВАРТАЛ. Cм. рис. 5.

Согласно заданным условиям наблюдения будут скопированы в новую таблицу. В строчке снизу можно указать конкретные номера наблюдений, однако в нашем случае это займет много времени.

Рис. 5. Выбор подмножества наблюдений из таблицы

В качестве заданного условия зададим:

V10 = 1 OR V10 = 4

V10 – это 10 переменная в таблице (V0 – это столбец с наблюдениями). По сути, мы проверяем каждое наблюдение в таблице, относится оно к 1-ому или 4-ому кварталу или нет. Если мы хотим, выбрать другое подмножество наблюдений, то можно либо сменить условие на:

V10 = 2 OR V10 = 3

либо перенести первое условие в исключающие правила.

Нажав ОК , мы сначала получим таблицу с данными только по 1 и 4 кварталу, а затем и таблицу с данными по 2 и 3 кварталу. Сохраним их под именами 1_4.sta и 2_3.sta через вкладку Файл/Сохранить как.

Далее будем работать уже с двумя таблицами и полученные результаты регрессионного анализа для обеих таблиц можно будет сравнить.

Шаг 4. Построим матрицу корреляций для каждой из групп, чтобы проверить предположение относительно линейной зависимости и учесть возможные сильные корреляции между переменными при построении регрессионной модели. Так как есть пропущенные данные, корреляционная матрица была построена с опцией попарного удаления пропущенных данных. См. рис. 6.

Рис. 6. Матрица корреляций для первых 9-ти переменных по данным 1 и 4 кварталов

Из корреляционной матрицы в частности понятно, некоторые переменные очень сильно коррелируют друг с другом.

Стоит отметить, что достоверность больших значений корреляции возможна только при отсутствии выбросов в исходной таблице. Поэтому диаграммы рассеяния для зависимой переменной и всех остальных переменных обязательно должны учитываться при корреляционном анализе.

Например, переменная №1 и №2 (Инвестиции в нефтяную и газовую промышленность соответственно). См. рис.7 (или, например, рис. 8).

Рис. 7. Диаграмма рассеяния для переменной №1 и №2

Рис. 8. Диаграмма рассеяния для переменной №1 и №7

Данная зависимость легко объяснима. Также ясен и высокий коэффициент корреляции между объемами добычи нефти и газа.

Высокий коэффициент корреляции между переменными (мультиколлиниарность) нужно учитывать при построении регрессионной модели. Здесь могут возникнуть большие ошибки при вычислении коэффициентов регрессии (плохообусловленная матрица при вычислении оценки через МНК).

Приведем наиболее распространенные способы устранения мультиколлиниарности :

1) Гребневая регрессия.

Данная опция задается при построении множественной регрессии. Число - малое положительное число. Оценка МНК в таком случае равна:

,

где Y – вектор со значениями зависимой переменной, X – матрица, содержащая по столбцам значения предикторов, а – единичная матрица порядка n+1. (n – количество предикторов в модели).

Плохообусловленность матрицы при гребневой регрессии значительно уменьшается.

2) Исключение одной из объясняющих переменных.

В этом случае из анализа исключается одна объясняющая переменная имеющая высокий парный коэффициент корреляции (r>0.8) с другим предиктором.

3) Использование пошаговых процедур с включением/исключением предикторов .

Обычно, в таких случаях, используют либо гребневую регрессию (она задается в качестве опции при построении множественной), либо, на основе значений корреляции, исключают объясняющие переменные, имеющие высокий парный коэффициент корреляции (r > 0.8), либо пошаговую регрессию с включением/исключением переменных.

Шаг 5. Теперь построим регрессионную модель при помощи выпадающей вкладки меню (Анализ/Множественная регрессия ). В качестве зависимой переменной укажем «Потребление труб», в качестве независимых – все остальные. См. рис. 9.

Рис. 9. Построение множественной регрессии для таблицы 1_4.sta

Множественную регрессию можно проводить пошагово. В этом случае в модель будут пошагово включаться (или исключаться) переменные, которые вносят наибольший (наименьший) вклад в регрессию на данном шаге.

Также данная опция позволяет остановиться на шаге, когда коэффициент детерминации еще не наибольший, однако уже все переменные модели являются значимыми. См. рис. 10.

Рис. 10. Построение множественной регрессии для таблицы 1_4.sta

Особо стоит отметить, что пошаговая регрессия с включением, в случае, когда количество переменных больше количества наблюдений, является единственным способом построения регрессионной модели.

Установка нулевого значения свободного члена регрессионной модели используется в случае, если сама идея модели подразумевает нулевое значение отклика, когда все предикторы окажутся равными 0. Чаще всего подобные ситуации встречаются в экономических задачах.

В нашем случае свободный член мы включим в модель.

Рис. 11. Построение множественной регрессии для таблицы 1_4.sta

В качестве параметров модели выберем Пошаговую с исключением (Fвкл = 11, Fвыкл = 10), с гребневой регрессией (лямбда = 0.1). И для каждой группы построим регрессионную модель. См. рис.11.

Результаты в виде Итоговой таблицы регрессии (см. также рис. 14) представлены на рис.12 и рис.13. Они получены на последнем шаге регрессии.

Шаг 6. Проверка адекватности модели

Обратим внимание, что, несмотря на значимость всех переменных в регрессионной модели (p-уровень < 0.05 – подсвечены красным цветом), коэффициент детерминации R2 существенно меньше у первой группы наблюдений.

Коэффициент детерминации показывает, по сути, какая доля дисперсии отклика объясняется влиянием предикторов в построенной модели. Чем ближе R2 к 1, тем лучше модель.

F-статистика Фишера используется для проверки гипотезы о нулевых значениях коэффициентов регрессии (т.е. об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между и совокупностью факторов, , кроме коэффициента ). Гипотеза отклоняется при малом уровне значимости.

В нашем случае (см. рис. 12) значение F-статистики = 13,249 при уровне значимости p < 0,00092, т.е. гипотеза об отсутствии линейной связи отклоняется.

Рис. 12. Результаты регрессионного анализа данных по 1 и 4 кварталу

Рис. 13. Результаты регрессионного анализа данных по 2 и 3 кварталу

Шаг 7. Теперь проведем анализ остатков полученной модели. Результаты, полученные при анализе остатков, являются важным дополнением к значению коэффициента детерминации при проверке адекватности построенной модели.

Для простоты будем рассматривать лишь группу, разбитую на кварталы с номерами 2 и 3, т.к. вторая группа исследуется аналогично.

В окне, представленном на рис. 14, на вкладке Остатки/предсказанные/наблюдаемые значения нажмем на кнопку Анализ остатков , и далее нажмем на кнопку Остатки и предсказанные . (См. рис. 15)

Кнопка Анализ остатков будет активна, только если регрессия получена на последнем шаге. Чаще оказывается важным получить регрессионную модель, в которой значимы все предикторы, чем продолжить построение модели (увеличивая коэффициент детерминации) и получить незначимые предикторы.

В этом случае, когда регрессия не останавливается на последнем шаге, можно искусственно задать количество шагов в регрессии.

Рис. 14. Окно с результатами множественной регрессии для данных по 2 и 3-му кварталам

Рис. 15. Остатки и предсказанные значения регрессионной модели по данным 2 и 3 квартала

Прокомментируем результаты, представленные на рис. 15. Важным является столбец с Остатками (разница первых 2-х столбцов). Большие остатки по многим наблюдениям и наличие наблюдения с маленьким остатком может указывать на последнее как на выброс.

Другими словами анализ остатков нужен для того, чтобы отклонения от предположений, угрожающие обоснованности результатов анализа, могли быть легко обнаружены.

Рис. 16. Остатки и предсказанные значения регрессионной модели по данным 2 и 3 кварталов + 2 границы 0.95 доверительного интервала

В конце приведем график, иллюстрирующий данные, полученные из таблицы на рис. 16. Здесь добавлены 2 переменные: UCB и LCB – 0.95 верх. и нижн. дов. интервал.

UBC = V2+1.96*V6

LBC = V2-1.96*V6

И удалены четыре последних наблюдения.

Построим линейный график с переменными (Графики/2М Графики/Линейные графики для переменных )

1) Наблюдаемое значение (V1)

2) Предсказанное значение (V2)

3) UCB (V9)

4) LCB (V10)

Результат представлен на рис. 17. Теперь видно, что построенная регрессионная модель довольно неплохо отражает реальное потребление труб, особенно на результатах недавнего прошлого.

Это означает, что в ближайшем будущем реальные значения могут быть приближены модельными.

Отметим один важный момент. В прогнозировании при помощи регрессионных моделей всегда важен базовый временной интервал. В рассматриваемой задаче были выбраны кварталы.

Соответственно, при построении прогноза предсказываемые значения будут также получаться по кварталам. Если нужно получить прогноз на год, то придется прогнозировать на 4 квартала и в конце накопится большая ошибка.

Подобную проблему можно решить аналогично, вначале лишь агрегируя данные от кварталов к годам (например, усреднением). Для данной задачи подход не очень корректен, так как останется всего лишь 8 наблюдений, по которым будет строиться регрессионная модель. См. рис.18.

Рис. 17. Наблюдаемые и предсказанные значения вместе с 0.95 верх. и ниж. довер. интервалами (данные по 2 и 3 кварталам)

Рис. 18. Наблюдаемые и предсказанные значения вместе с 0.95 верх. и ниж. довер. интервалами (данные по годам)

Чаще всего такой подход применяется при агрегировании данных по месяцам, при исходных данных по дням.

Следует помнить, что все методы регрессионного анализа позволяют обнаружить только числовые зависимости, а не лежащие в их основе причинные связи. Поэтому ответ на вопрос о значимости переменных в полученной модели остается за экспертом в данной области, который, в частности, способен учесть влияние факторов, возможно, не вошедших в данную таблицу.

В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследования, применяемые с целью оценки взаимосвязи между переменными. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми. Говоря более конкретно, регрессионный анализ помогает понять, как меняется типичное значение зависимой переменной, если одна из независимых переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Во всех случаях целевая оценка является функцией независимых переменных и называется функцией регрессии. В регрессионном анализе также представляет интерес характеристика изменения зависимой переменной как функции регрессии, которая может быть описана с помощью распределения вероятностей.

Задачи регрессионного анализа

Данный статистический метод исследования широко используется для прогнозирования, где его использование имеет существенное преимущество, но иногда это может приводить к иллюзии или ложным отношениям, поэтому рекомендуется аккуратно его использовать в указанном вопросе, поскольку, например, корреляция не означает причинно-следственной связи.

Разработано большое число методов для проведения регрессионного анализа, такие как линейная и обычная регрессии по методу наименьших квадратов, которые являются параметрическими. Их суть в том, что функция регрессии определяется в терминах конечного числа неизвестных параметров, которые оцениваются из данных. Непараметрическая регрессия позволяет ее функции лежать в определенном наборе функций, которые могут быть бесконечномерными.

Как статистический метод исследования, регрессионный анализ на практике зависит от формы процесса генерации данных и от того, как он относится к регрессионному подходу. Так как истинная форма процесса данных, генерирующих, как правило, неизвестное число, регрессионный анализ данных часто зависит в некоторой степени от предположений об этом процессе. Эти предположения иногда проверяемы, если имеется достаточное количество доступных данных. Регрессионные модели часто бывают полезны даже тогда, когда предположения умеренно нарушены, хотя они не могут работать с максимальной эффективностью.

В более узком смысле регрессия может относиться конкретно к оценке непрерывных переменных отклика, в отличие от дискретных переменных отклика, используемых в классификации. Случай непрерывной выходной переменной также называют метрической регрессией, чтобы отличить его от связанных с этим проблем.

История

Самая ранняя форма регрессии - это всем известный метод наименьших квадратов. Он был опубликован Лежандром в 1805 году и Гауссом в 1809. Лежандр и Гаусс применили метод к задаче определения из астрономических наблюдений орбиты тел вокруг Солнца (в основном кометы, но позже и вновь открытые малые планеты). Гаусс опубликовал дальнейшее развитие теории наименьших квадратов в 1821 году, включая вариант теоремы Гаусса-Маркова.

Термин «регресс» придумал Фрэнсис Гальтон в XIX веке, чтобы описать биологическое явление. Суть была в том, что рост потомков от роста предков, как правило, регрессирует вниз к нормальному среднему. Для Гальтона регрессия имела только этот биологический смысл, но позже его работа была продолжена Удни Йолей и Карлом Пирсоном и выведена к более общему статистическому контексту. В работе Йоля и Пирсона совместное распределение переменных отклика и пояснительных считается гауссовым. Это предположение было отвергнуто Фишером в работах 1922 и 1925 годов. Фишер предположил, что условное распределение переменной отклика является гауссовым, но совместное распределение не должны быть таковым. В связи с этим предположение Фишера ближе к формулировке Гаусса 1821 года. До 1970 года иногда уходило до 24 часов, чтобы получить результат регрессионного анализа.

Методы регрессионного анализа продолжают оставаться областью активных исследований. В последние десятилетия новые методы были разработаны для надежной регрессии; регрессии с участием коррелирующих откликов; методы регрессии, вмещающие различные типы недостающих данных; непараметрической регрессии; байесовские методов регрессии; регрессии, в которых переменные прогнозирующих измеряются с ошибкой; регрессии с большей частью предикторов, чем наблюдений, а также причинно-следственных умозаключений с регрессией.

Регрессионные модели

Модели регрессионного анализа включают следующие переменные:

Неизвестные параметры, обозначенные как бета, которые могут представлять собой скаляр или вектор.
Независимые переменные, X.
Зависимые переменные, Y.

В различных областях науки, где осуществляется применение регрессионного анализа, используются различные термины вместо зависимых и независимых переменных, но во всех случаях регрессионная модель относит Y к функции X и β.

Приближение обычно оформляется в виде E (Y | X) = F (X, β). Для проведения регрессионного анализа должен быть определен вид функции f. Реже она основана на знаниях о взаимосвязи между Y и X, которые не полагаются на данные. Если такое знание недоступно, то выбрана гибкая или удобная форма F.

Зависимая переменная Y

Предположим теперь, что вектор неизвестных параметров β имеет длину k. Для выполнения регрессионного анализа пользователь должен предоставить информацию о зависимой переменной Y:

Если наблюдаются точки N данных вида (Y, X), где N < k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

Если наблюдаются ровно N = K, а функция F является линейной, то уравнение Y = F (X, β) можно решить точно, а не приблизительно. Это сводится к решению набора N-уравнений с N-неизвестными (элементы β), который имеет единственное решение до тех пор, пока X линейно независим. Если F является нелинейным, решение может не существовать, или может существовать много решений.
Наиболее распространенной является ситуация, где наблюдается N > точки к данным. В этом случае имеется достаточно информации в данных, чтобы оценить уникальное значение для β, которое наилучшим образом соответствует данным, и модель регрессии, когда применение к данным можно рассматривать как переопределенную систему в β.

В последнем случае регрессионный анализ предоставляет инструменты для:

Поиска решения для неизвестных параметров β, которые будут, например, минимизировать расстояние между измеренным и предсказанным значением Y.
При определенных статистических предположениях, регрессионный анализ использует избыток информации для предоставления статистической информации о неизвестных параметрах β и предсказанные значения зависимой переменной Y.

Необходимое количество независимых измерений

Рассмотрим модель регрессии, которая имеет три неизвестных параметра: β 0 , β 1 и β 2 . Предположим, что экспериментатор выполняет 10 измерений в одном и том же значении независимой переменной вектора X. В этом случае регрессионный анализ не дает уникальный набор значений. Лучшее, что можно сделать, оценить среднее значение и стандартное отклонение зависимой переменной Y. Аналогичным образом измеряя два различных значениях X, можно получить достаточно данных для регрессии с двумя неизвестными, но не для трех и более неизвестных.

Если измерения экспериментатора проводились при трех различных значениях независимой переменной вектора X, то регрессионный анализ обеспечит уникальный набор оценок для трех неизвестных параметров в β.

В случае общей линейной регрессии приведенное выше утверждение эквивалентно требованию, что матрица X Т X обратима.

Статистические допущения

Когда число измерений N больше, чем число неизвестных параметров k и погрешности измерений ε i , то, как правило, распространяется затем избыток информации, содержащейся в измерениях, и используется для статистических прогнозов относительно неизвестных параметров. Этот избыток информации называется степенью свободы регрессии.

Основополагающие допущения

Классические предположения для регрессионного анализа включают в себя:

Выборка является представителем прогнозирования логического вывода.
Ошибка является случайной величиной со средним значением нуля, который является условным на объясняющих переменных.
Независимые переменные измеряются без ошибок.
В качестве независимых переменных (предикторов) они линейно независимы, то есть не представляется возможным выразить любой предсказатель в виде линейной комбинации остальных.
Ошибки являются некоррелированными, то есть ковариационная матрица ошибок диагоналей и каждый ненулевой элемент являются дисперсией ошибки.
Дисперсия ошибки постоянна по наблюдениям (гомоскедастичности). Если нет, то можно использовать метод взвешенных наименьших квадратов или другие методы.

Эти достаточные условия для оценки наименьших квадратов обладают требуемыми свойствами, в частности эти предположения означают, что оценки параметров будут объективными, последовательными и эффективными, в особенности при их учете в классе линейных оценок. Важно отметить, что фактические данные редко удовлетворяют условиям. То есть метод используется, даже если предположения не верны. Вариация из предположений иногда может быть использована в качестве меры, показывающей, насколько эта модель является полезной. Многие из этих допущений могут быть смягчены в более продвинутых методах. Отчеты статистического анализа, как правило, включают в себя анализ тестов по данным выборки и методологии для полезности модели.

Кроме того, переменные в некоторых случаях ссылаются на значения, измеренные в точечных местах. Там могут быть пространственные тенденции и пространственные автокорреляции в переменных, нарушающие статистические предположения. Географическая взвешенная регрессия - единственный метод, который имеет дело с такими данными.

В линейной регрессии особенностью является то, что зависимая переменная, которой является Y i , представляет собой линейную комбинацию параметров. Например, в простой линейной регрессии для моделирования n-точек используется одна независимая переменная, x i , и два параметра, β 0 и β 1 .

При множественной линейной регрессии существует несколько независимых переменных или их функций.

При случайной выборке из популяции ее параметры позволяют получить образец модели линейной регрессии.

В данном аспекте популярнейшим является метод наименьших квадратов. С помощью него получают оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Такого рода минимизация (что характерно именно линейной регрессии) этой функции приводит к набору нормальных уравнений и набору линейных уравнений с параметрами, которые решаются с получением оценок параметров.

При дальнейшем предположении, что ошибка популяции обычно распространяется, исследователь может использовать эти оценки стандартных ошибок для создания доверительных интервалов и проведения проверки гипотез о ее параметрах.

Нелинейный регрессионный анализ

Пример, когда функция не является линейной относительно параметров, указывает на то, что сумма квадратов должна быть сведена к минимуму с помощью итерационной процедуры. Это вносит много осложнений, которые определяют различия между линейными и нелинейными методами наименьших квадратов. Следовательно, и результаты регрессионного анализа при использовании нелинейного метода порой непредсказуемы.

Расчет мощности и объема выборки

Здесь, как правило, нет согласованных методов, касающихся числа наблюдений по сравнению с числом независимых переменных в модели. Первое правило было предложено Доброй и Хардином и выглядит как N = t^n, где N является размер выборки, n - число независимых переменных, а t есть числом наблюдений, необходимых для достижения желаемой точности, если модель имела только одну независимую переменную. Например, исследователь строит модель линейной регрессии с использованием набора данных, который содержит 1000 пациентов (N). Если исследователь решает, что необходимо пять наблюдений, чтобы точно определить прямую (м), то максимальное число независимых переменных, которые модель может поддерживать, равно 4.

Другие методы

Несмотря на то что параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются с использованием метода наименьших квадратов, существуют и другие методы, которые используются гораздо реже. К примеру, это следующие методы:

Байесовские методы (например, байесовский метод линейной регрессии).
Процентная регрессия, использующаяся для ситуаций, когда снижение процентных ошибок считается более целесообразным.
Наименьшие абсолютные отклонения, что является более устойчивым в присутствии выбросов, приводящих к квантильной регрессии.
Непараметрическая регрессия, требующая большого количества наблюдений и вычислений.
Расстояние метрики обучения, которая изучается в поисках значимого расстояния метрики в заданном входном пространстве.

Программное обеспечение

Все основные статистические пакеты программного обеспечения выполняются с помощью наименьших квадратов регрессионного анализа. Простая линейная регрессия и множественный регрессионный анализ могут быть использованы в некоторых приложениях электронных таблиц, а также на некоторых калькуляторах. Хотя многие статистические пакеты программного обеспечения могут выполнять различные типы непараметрической и надежной регрессии, эти методы менее стандартизированы; различные программные пакеты реализуют различные методы. Специализированное регрессионное программное обеспечение было разработано для использования в таких областях как анализ обследования и нейровизуализации.

Оценка качества уравнения регрессии при помощи коэффициентов детерминации. Проверка нулевой гипотезы о значимости уравнения и показателей тесноты связи с помощью F-критерия Фишера.

Стандартные ошибки коэффициентов.

Уравнение регрессии имеет вид:

Y	=3378,41	-494,59X 1	-35,00X 2	+75,74X 3	-15,81X 4	+80,10X 5	+59,84X 6 +
	(1304,48)	(226,77)	(10,31)	(277,57)	(287,54)	(35,31)	(150,93)

+127,98X 7	-78,10X 8	-437,57X 9	+451,26X 10	-299,91X 11	-14,93X 12	-369,65X 13	(9)
(22,35)	(31,19)	(97,68)	(331,79)	(127,84)	86,06	(105,08)

Для заполнения таблицы «Регрессионная статистика» (Таблица 9) находим:

1. Множественный R – r-коэффициент корреляции между у и ŷ.

Для этого следует воспользоваться функцией КОРРЕЛ, введя массивы у и ŷ.

Полученное в результате число 0,99 близко к 1, что показывает очень сильную связь между опытными данными и расчетными.

2. Для расчета R-квадрат находим:

Объясняемая ошибка 17455259,48,

Необъясняемая ошибка .

Следовательно, R-квадрат равен .

Соответственно 97% опытных данных объяснимы полученным уравнением регрессии.

3. Нормированный R-квадрат находим по формуле

Этот показатель служит для сравнения разных моделей регрессии при изменении состава объясняющих переменных.

4. Стандартная ошибка – квадратный корень из выборочной остаточной дисперсии:

В результате получаем следующую таблицу.

Таблица 9.

Заполнение таблицы «Дисперсионный анализ»

Большая часть данных уже получена выше. (Объясняемая и необъясняемая ошибка).

Рассчитаем t wx:val="Cambria Math"/>13 = 1342712,27"> .

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Уравнение множественной регрессии значимо (иначе – гипотеза H 0 о равенстве нулю параметров регрессионной модели, т.е. отвергается), если

, (10)

где - табличное значение F-критерия Фишера.

Фактическое значение F - критерия по формуле составит:

Для расчета табличного значения критерия Фишера используется функция FРАСПОБР (Рисунок 4).

Степень свободы 1: p=13

Степень свободы 2: n-p-1 = 20-13-1=6

Рисунок 4. Использование функции FРАСПОБР в Excel.

F табл = 3,976 < 16,88, следовательно, модель адекватна опытным данным.

Значимость F рассчитывается с помощью функции FРАСП. Эта функция возвращает F-распределение вероятности (распределение Фишера) и позволяет определить, имеют ли два множества данных различные степени разброса результатов.

Рисунок 5. Использование функции FРАСП в Excel.

Значимость F = 0,001.

y =f (x ), когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y , при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y . Если при каждом значении наблюдается n i {\displaystyle n_{i}} значений y i 1 …y in 1 величины y , то зависимость средних арифметических y ¯ i = (y i 1 + . . . + y i n 1) / n i {\displaystyle {\bar {y}}_{i}=(y_{i1}+...+y_{in_{1}})/n_{i}} от x = x i {\displaystyle x=x_{i}} и является регрессией в статистическом понимании этого термина .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Этот термин в статистике впервые был использован Френсисом Гальтоном (1886) в связи с исследованием вопросов наследования физических характеристик человека. В качестве одной из характеристик был взят рост человека; при этом было обнаружено, что в целом сыновья высоких отцов, что не удивительно, оказались более высокими, чем сыновья отцов с низким ростом. Более интересным было то, что разброс в росте сыновей был меньшим, чем разброс в росте отцов. Так проявлялась тенденция возвращения роста сыновей к среднему (regression to mediocrity ), то есть «регресс». Этот факт был продемонстрирован вычислением среднего роста сыновей отцов, рост которых равен 56 дюймам, вычислением среднего роста сыновей отцов, рост которых равен 58 дюймам, и т. д. После этого результаты были изображены на плоскости, по оси ординат которой откладывались значения среднего роста сыновей, а по оси абсцисс - значения среднего роста отцов. Точки (приближённо) легли на прямую с положительным углом наклона меньше 45°; важно, что регрессия была линейной.

Описание

Допустим, имеется выборка из двумерного распределения пары случайных переменных (X, Y ). Прямая линия в плоскости (x, y ) была выборочным аналогом функции
g (x) = E (Y ∣ X = x) . {\displaystyle g(x)=E(Y\mid X=x).} E (Y ∣ X = x) = μ 2 + ϱ σ 2 σ 1 (x − μ 1) , {\displaystyle E(Y\mid X=x)=\mu _{2}+\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}(x-\mu _{1}),} v a r (Y ∣ X = x) = σ 2 2 (1 − ϱ 2) . {\displaystyle \mathrm {var} (Y\mid X=x)=\sigma _{2}^{2}(1-\varrho ^{2}).}
В этом примере регрессия Y на X является линейной функцией . Если регрессия Y на X отлична от линейной, то приведённые уравнения – это линейная аппроксимация истинного уравнения регрессии.
В общем случае регрессия одной случайной переменной на другую не обязательно будет линейной. Также не обязательно ограничиваться парой случайных переменных. Статистические проблемы регрессии связаны с определением общего вида уравнения регрессии, построением оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии, и проверкой статистических гипотез о регрессии . Эти проблемы рассматриваются в рамках регрессионного анализа .
Простым примером регрессии Y по X является зависимость между Y и X , которая выражается соотношением: Y =u (X )+ε, где u (x )=E (Y | X =x ), а случайные величины X и ε независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи y =u (x ) между неслучайными величинами y и x . На практике обычно коэффициенты регрессии в уравнении y =u (x ) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным.

Линейная регрессия

Представим зависимость y от x в виде линейной модели первого порядка:
y = β 0 + β 1 x + ε . {\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\varepsilon .}
Будем считать, что значения x определяются без ошибки, β 0 и β 1 - параметры модели, а ε - ошибка, распределение которой подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением и постоянным отклонением σ 2 . Значения параметров β заранее не известны и их нужно определить из набора экспериментальных значений (x i , y i ), i =1, …, n . Таким образом мы можем записать:
y i ^ = b 0 + b 1 x i , i = 1 , … , n {\displaystyle {\widehat {y_{i}}}=b_{0}+b_{1}x_{i},i=1,\dots ,n}
где означает предсказанное моделью значение y при данном x , b 0 и b 1 - выборочные оценки параметров модели. Определим также e i = y i − y i ^ {\displaystyle e_{i}=y_{i}-{\widehat {y_{i}}}} - значение ошибки аппроксимации для i {\displaystyle i} -го наблюдения.
Метод наименьших квадратов даёт следующие формулы для вычисления параметров данной модели и их отклонений:
b 1 = ∑ i = 1 n (x i − x ¯) (y i − y ¯) ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 = c o v (x , y) σ x 2 ; {\displaystyle b_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\frac {\mathrm {cov} (x,y)}{\sigma _{x}^{2}}};} b 0 = y ¯ − b 1 x ¯ ; {\displaystyle b_{0}={\bar {y}}-b_{1}{\bar {x}};} s e 2 = ∑ i = 1 n (y i − y ^) 2 n − 2 ; {\displaystyle s_{e}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\widehat {y}})^{2}}{n-2}};} s b 0 = s e 1 n + x ¯ 2 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; {\displaystyle s_{b_{0}}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};} s b 1 = s e 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 , {\displaystyle s_{b_{1}}=s_{e}{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}},}
здесь средние значения определяются как обычно: x ¯ = ∑ i = 1 n x i n {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}} , y ¯ = ∑ i = 1 n y i n {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}} и s e 2 обозначает остаточное отклонение регрессии, которое является оценкой дисперсии σ 2 в том случае, если модель верна.
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии используются аналогично стандартной ошибке среднего - для нахождения доверительных интервалов и проверки гипотез. Используем, например, критерий Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве коэффициента регрессии нулю, то есть о его незначимости для модели. Статистика Стьюдента: t = b / s b {\displaystyle t=b/s_{b}} . Если вероятность для полученного значения и n −2 степеней свободы достаточно мала, например, <0,05 - гипотеза отвергается. Напротив, если нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве нулю, скажем, b 1 {\displaystyle b_{1}} - есть основание задуматься о существовании искомой регрессии, хотя бы в данной форме, или о сборе дополнительных наблюдений. Если же нулю равен свободный член b 0 {\displaystyle b_{0}} , то прямая проходит через начало координат и оценка углового коэффициента равна
b = ∑ i = 1 n x i y i ∑ i = 1 n x i 2 {\displaystyle b={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}} ,
а её стандартной ошибки
s b = s e 1 ∑ i = 1 n x i 2 . {\displaystyle s_{b}=s_{e}{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}.}
Обычно истинные величины коэффициентов регрессии β 0 и β 1 не известны. Известны только их оценки b 0 и b 1 . Иначе говоря, истинная прямая регрессии может пройти иначе, чем построенная по выборочным данным. Можно вычислить доверительную область для линии регрессии. При любом значении x соответствующие значения y распределены нормально. Средним является значение уравнения регрессии y ^ {\displaystyle {\widehat {y}}} . Неопределённость его оценки характеризуется стандартной ошибкой регрессии:
s y ^ = s e 1 n + (x − x ¯) 2 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; {\displaystyle s_{\widehat {y}}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};}
Теперь можно вычислить -процентный доверительный интервал для значения уравнения регрессии в точке x :
y ^ − t (1 − α / 2 , n − 2) s y ^ < y < y ^ + t (1 − α / 2 , n − 2) s y ^ {\displaystyle {\widehat {y}}-t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{\widehat {y}},
где t (1−α/2, n −2) - t -значение распределения Стьюдента. На рисунке показана линия регрессии, построенная по 10 точкам (сплошные точки), а также 95%-я доверительная область линии регрессии, которая ограничена пунктирными линиями. С 95%-й вероятностью можно утверждать, что истинная линия находится где-то внутри этой области. Или иначе, если мы соберём аналогичные наборы данных (обозначены кружками) и построим по ним линии регрессии (обозначены голубым цветом), то в 95 случаях из 100 эти прямые не покинут пределов доверительной области. (Для визуализации кликните по картинке) Обратите внимание, что некоторые точки оказались вне доверительной области. Это совершенно естественно, поскольку речь идёт о доверительной области линии регрессии, а не самих значений. Разброс значений складывается из разброса значений вокруг линии регрессии и неопределённости положения самой этой линии, а именно:
s Y = s e 1 m + 1 n + (x − x ¯) 2 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; {\displaystyle s_{Y}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};}
Здесь m - кратность измерения y при данном x . И 100 ⋅ (1 − α 2) {\displaystyle 100\cdot \left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)} -процентный доверительный интервал (интервал прогноза) для среднего из m значений y будет:
y ^ − t (1 − α / 2 , n − 2) s Y < y < y ^ + t (1 − α / 2 , n − 2) s Y {\displaystyle {\widehat {y}}-t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{Y}.
На рисунке эта 95%-я доверительная область при m =1 ограничена сплошными линиями. В эту область попадает 95 % всех возможных значений величины y в исследованном диапазоне значений x .

Еще немного статистики

Можно строго доказать, что, если условное матожидание E (Y ∣ X = x) {\displaystyle E(Y\mid X=x)} некоторой двумерной случайной величины (X, Y ) является линейной функцией от x {\displaystyle x} , то это условное матожидание обязательно представимо в виде E (Y ∣ X = x) = μ 2 + ϱ σ 2 σ 1 (x − μ 1) {\displaystyle E(Y\mid X=x)=\mu _{2}+\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}(x-\mu _{1})} , где E (X )=μ 1 , E (Y )=μ 2 , var(X )=σ 1 2 , var(Y )=σ 2 2 , cor(X, Y )=ρ.
Более того, для уже упомянутой ранее линейной модели Y = β 0 + β 1 X + ε {\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}X+\varepsilon } , где X {\displaystyle X} и - независимые случайные величины, а ε {\displaystyle \varepsilon } имеет нулевое матожидание (и произвольное распределение), можно доказать, что E (Y ∣ X = x) = β 0 + β 1 x {\displaystyle E(Y\mid X=x)=\beta _{0}+\beta _{1}x} . Тогда с помощью указанного ранее равенства можно получить формулы для и : β 1 = ϱ σ 2 σ 1 {\displaystyle \beta _{1}=\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}} ,
β 0 = μ 2 − β 1 μ 1 {\displaystyle \beta _{0}=\mu _{2}-\beta _{1}\mu _{1}} .
Если откуда-то априори известно, что множество случайных точек на плоскости порождается линейной моделью, но с неизвестными коэффициентами β 0 {\displaystyle \beta _{0}} и β 1 {\displaystyle \beta _{1}} , можно получить точечные оценки этих коэффициентов по указанным формулам. Для этого в эти формулы вместо матожиданий, дисперсий и корреляции случайных величин X и Y нужно подставить их несмещенные оценки. Полученные формулы оценок в точности совпадут с формулами, выведенными на основе метода наименьших квадратов.