МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХПІ»

Кафедра «Обчислювальна техніка та програмування»

з курсу «Теорія інформації та кодування»

«Квантование сигналов»

Введение

Передача дискретных сигналов по каналам связи удобней и надежней, чем передача непрерывных сигналов, т. к. дискретные сигналы обладают лучшей помехозащищенностью, позволяют проще организовать многоканальную связь, кроме того, дискретные сигналы можно непосредственно обрабатывать с помощью ЭВМ.

Квантование (дискретизация) - процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный. При этом используются следующие виды квантования: по времени; по амплитуде (уровню); комбинированное; специальные виды квантования.

1. Квантование по времени

При квантовании по времени функция x(t) непрерывного аргумента преобразуется в функцию дискретного аргумента - решетчатую функцию, представляющую совокупность значений непрерывной функции в дискретные моменты времени.

Рис. 1. Квантование по времени

Шаг квантования -временной интервал между двумя фиксированными моментами времени

Частота квантования f k = 1/t должна быть такой, чтобы по значениям решетчатой функции- x(t i ) можно было восстановить исходную непрерывную функцию с заданной точностью. Восстановленную функцию x(t) называют воспроизводящей. При временном квантовании возникает задача выбора частоты квантования, при этом, могут быть использованы различные критерии. Чаще всего, дискретизацию осуществляют на основании теоремы Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова: Функцию x(t) удовлетворяющую условиям Дирихле (ограниченную, кусочно-непрерывную и имеющую конечное число экстремумов), можно достаточно точно восстановить по ее отсчетам взятым через интервал времени t = 1/2f c =/ c , где - верхняя частота спектра функции а- круговая частота.

Значения функции x(t) в любой момент времени t определяется рядом Котельникова:

где - отсчеты (значения) функцииx(t) в дискретные моменты времени t = nt ; - функция отсчетов, которая представляет собой СБФ.

Для доказательства теоремы рассмотрим формулы Фурье

, , (2)

где- комплексный частотный спектр функцииx(t) .

В пределах диапазона [- c , ; + c ], сигнал x(t) можно представить интегралом Фурье через его частотный спектр

. (3)

Комплексный спектр можно отобразить рядом Фурье

. (4)

Где коэффициенты разложения равны

. (5)

Подставляя (5) в (4), а затем полученное выражение в (3) получим

Ряд Котельникова для x(t) с ограниченным спектром на конечном интервале T может быть представлен:

, (6)

где B = T/t = 2fT - база сигнала.

Рассмотрим функцию отсчетов сигналов

. (7)

Эта функция равна 1 при Z = 0, т. е. , и 0 при, где

Функция отсчета sinz/z представляет собой реакцию идеального фильтра НЧ на единичный импульс.

Если на приемной стороне поместить фильтр и пропустить через него квантованный сигнал, представляющий последовательность импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывной функции с частотой .

Если эти сигналы выхода фильтра просуммировать, то получим воспроизводящую функцию.

Рис. 2. Функция отсчетов

Недостатки квантования с использованием метода Котельникова:

1. Теорема сформулирована для сигналов с ограниченным спектром и неограниченным временем - на практике наоборот спектр неограничен, а время ограничено. Спектр можно ограничить, пропустив сигнал через фильтр НЧ или полосовой фильтр.

2. При передаче импульсных сигналов шаг квантования выбирается для самых крутых участков, т. к. квантование равномерное, то канал будет перегружен, и обладать большой избыточностью. Трудно реализовать схему восстановления сигнала, т. к. необходимо много сумматоров.

Существуют другие принципы дискретизации: критерий Железнова, который использует неравномерное квантование, при этом шаг квантования выбирается, в зависимости от корреляция между значениями сигнала; критерий Темникова, который также использует неравномерное квантование, при этом, пока производная постоянна сигнал не квантуется.

2. Квантование по уровню

При квантовании по уровню (амплитуде) бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала x(t) заменяется конечным множеством дискретных значений x*(t) .

В результате квантования образуется ступенчатая функция (рис. 3).

Может быть использовано два способа квантования, при этом, мгновенное значение непрерывной функции заменятся меньшим дискретным значением или ближайшим.

x(t), x*(t) x(t), x*(t)

Рис.6.3. Квантование по уровню

Различают равномерное квантование, при котором диапазон изменения x(t) от x min до x max разбивается на N уровней с шагом ,называемых шагом квантования

При неравномерном квантовании шаг не постоянный. При замене действительных мгновенных значений функции на дискретные появляются методические погрешности, называемые шумом квантования (погрешность квантования по уровню). Эта погрешность носит случайный характер и для ее оценки необходимо использовать статические характеристики

При этом точку переключения необходимо выбирать так, чтобы эти характеристики были минимальными.

Рис. 4. Погрешности квантования

Плотность распределений, при большом числе уровней квантования, подчинятся закону равной плотности вероятности имеют вид, приведенный на рис. 4, и определяется соотношением:

В зависимости от используемого способа квантования, плотность вероятности и статистические характеристики погрешностей имеют вид:

Математическое ожидание погрешностей

(11)

Дисперсия погрешности

Среднеквадратическая ошибка

.

Если в результате квантования по уровню, значение сигнала выдается в двоичном коде с ценой младшего разряда, равного шагу квантования, то число двоичных разрядов и уровней квантования будет равно:

; ,

где добавление 1 соответствует учету первого уровня.

3. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по времени и кроме того, в тактовых точках квантуется по уровню.

Рис. 5. Комбинированное квантование

При комбинированном квантовании амплитуда импульса равна ближайшему значению уровня, при этом величина ошибки квантования равна

то математическое ожидание ошибки равно

а среднеквадратичная ошибка за счет квантования по уровню уменьшается с увеличением частоты квантования

.

Недостаток комбинированного квантования заключается в сложности реализации дешифрующих устройств. При этом вместо комбинированного квантования чаще всего используют кодоимпульсную модуляцию.

Пример 1. В измерительном приборе расстояние между метками шкалы постоянно и равно x = a . При округлении отсчета до ближайшего целого деления погрешность по абсолютной величине не превышает половины расстояния между делением шкалы.

Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию округления.

Решение: Погрешность округления можно рассматривать как случайную величину x , принимающую с равной вероятностью любые значения в пределах от -x/2 до x/2 . Следовательно, плотность вероятности на этом интервале постоянна и равна нулю за этими пределами (10).

Математическое ожидание равно:

Дисперсия ошибки округления равна:

.

Среднеквадратическая ошибка равна:

Список литературы

А.В. Власенко, В.И. Ключко - Теория информации и сигналов. Учебное пособие / Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2003.- 97 с.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.

Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1988.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский

Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 2000.

Хемминг Р.В. Цифровые фильтры: Пер. с англ. / Под ред. А.М. Трахтмана. - М.: Сов. радио, 1980.

Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов / А.Б. Сергиенко – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.: ил.

Рис. Квантование сигнала по уровню:

а – с постоянным шагом квантования; б – погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

По оси ординат откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования. Переход с одного уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантование ∆ к.у. оказывается наибольшей. Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, б, в…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке в возникает на бесконечно малую величину, то это новое значение целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значение функции, несколько меньше значения в точки в, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного процесс квантования осуществляется следующим образом: интервал квантования делится пополам, и проводится пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией. Точки пересечения обозначаются буквами (а , b , c , d и т.д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆к.у., равная разности между значением функции λ(t ) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q /2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

(2.1)

Здесь + q /2 - максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 2, а - q /2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки в до уровня 3. Погрешность квантования представлены на рис. б), на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функция между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (рис. г.б), и проведен отрезок функции k-a . На участке а-b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На других участках имеет место погрешность и положительная, и отрицательная.

Таким образом, в результате квантования функции (t ), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т.д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию (t ), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию Из рис. г), а) следует, что квантованная ступенчатая функция как бы обходит с двух сторон (выше и ниже) непрерывную функцию это позволяет рассматривать квантование как результат положения на функцию помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. а), число уровней квантования N на единицу больше числа интервала N – 1.

Если сообщение ограничено диапазоном от до , то

.

При имеем

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешности (в %), которая по определению равна . При описанном выше методе квантование (рис. б) погрешность не может превышать q /2, т.е. при подсчете нужно учитывать (2-1). Таким образом, считая, что (это достигается соответствующим расположением осей координат) получим

(2-4)

и шаг квантования при заданной погрешности квантования равен

(2-5)

Пример 2-1. Предположим, необходимо провести квантование непрерывной функции, от нуля до 100 В, с точностью . Согласно (2-5) q = 2В. Из (2-3) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от – q /2 до + q /2 (рис. б). При достаточно большом числе уровней квантование N распределение погрешности квантования в пределах от – q /2 до + q /2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции . Средне – квадратичное значение погрешности квантования по уровню

т. е. в раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции, подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования Так, на рис. г) показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U . Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q , уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо получить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить.

О восстановлении функции, квантованной по уровню . Квантование по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешифратор, преобразуется в ток или напряжения, которые используются по назначению (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых индикаторов и т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяции. Простейшая ступенчатая интерполяция функции была осуществлена, когда мы горизонтальными отрезками соединяли вертикальные отрезки, образуя функцию (рис. а).

Квантование по времени (дискретизация)

Если замена непрерывной функции её отдельными значениями производится в определенные моменты времени, то этот процесс называется квантованием по времени , или дискретизацией. На рис. а) показано, что горизонтальная ось времени делится на интервалы, отстоящие друг от друга на один и тот же интервал квантования .

Далее проводят вертикальные линии до пересечения с квантуемой функцией в точках 1, 2, 3, ..., 9 и определяют значения функции, начиная с Это значит, что в интервале Т непрерывная функция будет передаваться не бесконечным рядом значений, а в данном случае всего лишь десятью значениями. Нахождение точек, определяющих значение непрерывной функции в дискретные моменты времени, как и в квантовании по уровню, собственно процесс квантование по времени и заканчивается.

В том случае, если желают восстановить квантованную функцию, осуществляют один из видов интерполяции, например, ступенчатую. При этом проводят из точек 0, 1, 2, ..., 9 горизонтальные линии до пересечения их с вертикальными линиями, т.е. линии 0-1", 1- 2" и т.д. Далее точки 1"-1, 2"-2, 3"-3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию "(t ).

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т , т.е. чем меньше шаг квантования t , тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция Однако излишне малая величина t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Рис. Квантование сообщения по времени:

а – метод квантования и восстановление функции ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Шаг квантования можно определить из теоремы Котельникова, смысл которого заключается в следующим: любая непрерывная функция, спектр частот которой ограничен частотой F макс, может быть полностью восстановлена по ее дискретным значением, взятым через интервалы времени

Однако имеется ряд ограничений для практичного применения этой теоремы. Так, все сообщения, передаваемые в телемеханике, ограничения во времени. Это обычно видео или радио импульсы длительностью τ, у которых согласно (1-14) и (1-22) спектр бесконечен. Поэтому представляет значительные трудности выбор величины F макс в (2-7) для функции, ограниченных во времени. Так, например, если предавать синусоидальное напряжение с частотой в 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно (2-7) для восстановления его формы его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, например, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из – за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

практически теореме Котельникова можно принять со следующей поправкой:

(2-8)

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной η л = 0,75/и при ступенчатой η ст = (3-5)η л (δ – относительная погрешность в %)

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. для примера на рис. б) начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, величины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны токовым же на рис. а). на рис. б) показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆ 3 на одном участке нарастания функции λ(t ) достигается за период ∆t , на другом за ∆t 2 , а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участке 1` - 2`). Это зависит от скорости нарастания функции λ=dλ/dt . Очевидно, следует выбрать такой шаг квантования, который соответствует максимальной скорости нарастания функции . Так, из рис. а) следует, что если бы на участке кривой 5-6 имелся всплеск функции (пунктир), то выбранный шаг квантования t оказался бы излишне большим и этот всплеск не был бы восстановлен (следовало бы взять шаг ).

Величина абсолютной погрешности показана на рис. б). Здесь, как и в квантовании по уровню, при расчетах следует учитывать или , или , т.е. в среднем /2. Это значит, что = 100/2. Подставляя отсюда значение в (2-9), а значение из (2-11), получаем

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример 2-2. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F = 50 Гц. Погрешности при восстановлении δ = 1% . Согласно (2-7) ∆t = 1/2*50*10 -3 =10мм, т.е. в идеальном случае каждую полуволну синусоиды можно передавать лишь одним значением [период τ= 1/(50*10 -3)=20мм]. η л.и. =0,75/ 0,75/ = 7,5, то для ступенчатой интерполяции η ст =25 и ∆t ст = 1/25*2*50*10 -3 =0,4 мсек.. Так же результат получается и из (2-11). Таким образом, при заданной точности восстановления, каждый полупериод синусоиды следует предавать одним значением, а примерно 25 при ступенчатой интерполяции и 7,5 при линейной.

Восстановить квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или используя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая интерполяция, и наиболее редко используется фильтрация по Котельникову. Ступенчатая интерполяция на рис. а) выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значения до появления следующего значения

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. б). Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1", 2", ..., 9". Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9. В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности:

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так и последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно, лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию, так как для линейной, нужно знать наперед хотя бы одну точку, что опять требует запаздывания. Действительно, если, например, известно значение функции в момент t 4 (рис. а), т. 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (т. 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t , неизвестно: то ли значение возрастает (т. 5), то ли уменьшится (т. 5 2).

Иногда восстановление функции, квантованной по времени, с шагом, подсчитанным по теореме Котельникова, производится при помощи фильтра НЧ, который выделяет постоянную составляющую и низкочастотные составляющие, соответствующие спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности из–за того, что амплитудно–частотная характеристика реального фильтра отличается от характеристики идеального фильтра. Восстановление при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функции достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Зачастую квантование по времени используется для осуществления амплитудно – импульсной модуляции.

Квантованием по уровню называют дискретизацию множества значений непрерывного сигнала по уровню, то есть по амплитуде параметра. Идея квантования по уровню заключается в следующем. Весь диапазон возможных изменений сигнала (функции) разбивается на N различимых величин – уровней квантования . В результате квантования сигнала каждое из его значений данного интервала округляется до некоторого уровня. Порогами квантования называются величины, при сравнении с которыми исходного непрерывного сигнала в процессе квантования определяется его принадлежность к уровню квантования. Величина, представляющая собой разность между двумя соседними уровнями, называется шагом квантования . Замена исходных значений функции соответствующими дискретными значениями – уровнями квантования – вносит ошибку квантования, называемую шумом квантования .

Существует три способа квантования:

1-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения сигнала с ближайшим значением уровня. Информационная система содержит устройство квантования, которое выполняет операцию квантования непрерывного сигнала по уровню. В процессе такой операции отдельное значение исходного непрерывного сигнала соотносится с одним из возможных значений уровней; если исходное значение оказывается в пределах двух соседних порогов квантования , то это значение заменяется уровнем квантования, заключенным между данными порогами. В этом случае квантование происходит по методу соотнесения с ближайшим значением уровня . Этот способ квантования аналогичен округлению чисел до ближайшего целого. При таком способе вместо исходного непрерывного сигнала мы получим квантованный сигнал, представленный временной диаграммой на рис.1.5.

f(t) - исходный непрерывный сигнал;

f * (t) - квантованный сигнал;

f i , f i+1 ,... - значения соседних порогов квантования (пунктир);

Df i - шаг квантования, Df i = f i+1 - f i ;

- значения уровней квантования (сплошные линии).

Таким образом, очевидно, что в процессе квантования неизбежно возникает принципиальная или методическая ошибка квантования - шум квантования ; ее величина для момента времени t определяется в виде

Для этого способа ошибка квантования не превышает половины шага квантования

2-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²снизу² значением уровня. В этом случае i -е пороговое значение совпадает со значением (i +1)-го уровня. Данный способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого снизу. Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.6.

Ошибка квантования всегда положительна (Df(t) > 0) и не превышает величинушага квантования ( ¦).

3-й способ квантования - путем соотнесения исходного значения с ближайшим ²сверху² значением уровня. Пороги и уровни совпадают по номерам и значениям. Шум квантования всегда отрицательный (Df(t)< 0) и не превышает величину шага квантования ( ¦ i). Этот способ аналогичен округлению числа до ближайшего целого сверху.

Соответствующая временная диаграмма представлена на рис.1.7.

Равномерным квантованием называется такое квантование, при котором шаг квантования есть постоянная величина. В большинстве случаев применяется равномерное квантование.

Шаг квантования выбирается исходя из необходимой точности передачи сигнала. Если же при этом существуют внешние помехи, то необходимо, чтобы амплитуда помех не превышала половины шага квантования, тогда возможно будет восстановить заданный уровень, так как воздействие помехи не выведет значение сообщения за зону, соответствующую данному уровню квантования. Кроме уровней выделяют пороги квантования. При равномерном квантовании расстояние между двумя соседними порогами равняется шагу квантования.

Из трех способов квантования первый дает минимальную среднюю ошибку квантования при одном и том же шаге квантования, поэтому на практике часто используется именно этот способ.

Для более точного отображения исходного сигнала необходимо увеличивать число уровней, т. е. уменьшать шаг квантования (рис. 1.8-1.9).

Однако бесконечное уменьшение шага квантования физически невозможно, а формально не имеет смысла, так как мы опять возвращаемся к непрерывному сигналу. Уменьшать шаг до бесконечности невозможно также из-за влияния помех. Сообщения по мере передачи по каналам связи или по мере хранения в памяти искажаются под воздействием помех, поэтому на приемной стороне или при считывании сигнала должен находиться еще один квантователь. Этот квантователь, как и исходный квантователь сигналов, для опознавания сигнала должен соотносить реальный сигнал с возможными значениями уровней. Для некоторых значений это соответствие может быть неправильным и на приемной стороне могут быть ложные восприятия соседних уровней. Таким образом, исходный сигнал, поступающий от источника непрерывных сигналов, в системе квантования по уровню искажается из-за самого квантования и, кроме того, под воздействием помех, как показано на рис.1.10.

Временные диаграммы:

Увеличение шага квантования в системе квантования, при неизменном уровне помех, приводит к подавлению помех, поэтому самый простой способ защиты квантованного сигнала от помех - увеличение шага квантования. Однако при этом мы увеличиваем шум квантования, т.е. вносим погрешность за счет грубого квантования.

Различают следующие две модели помех (два типа помех):

a) аддитивные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем алгебраического суммирования их амплитуд:

fсп(t)= f*(t) ± fп(t) , где f n (t) - амплитуда помехи;

б) мультипликативные помехи формируют смесь сигнала с помехой путем перемножения их значений:

fсп(t)=k · f*(t) ·fп(t) , где k - масштабный коэффициент.

(При имитации работы системы квантования на лабораторных работах моделируются аддитивные помехи.)

Кроме равномерного квантования, в некоторых случаях используют неравномерное квантование, при котором шаг квантования ∆f i - переменная величина в зависимости от номера уровня: ∆f i = f i+1 - f i . В некоторых диапазонах изменения сигнала, для уточнения его значений, шаг квантования делают меньше.

Такая система применяется тогда, когда возникает необходимость отображать значения сигнала в некоторых диапазонах точнее, чем за их пределами, как это показано на рис.1.11.

n max = (f max - f min) / ∆f , где f max , f min – максимальное и минимальное возможные значения сигнала в данной информационной системе.

Если известен характер изменения помех, то минимальную величину шага квантования можно определить численно. При моделировании часто имитируется случайная помеха с нормальным (гауссовым) распределением, закон которого характеризуется двумя параметрами m и б , где m - математическое ожидание (величина постоянной составляющей помехи); б - среднеквадратическое отклонение - СКО (интенсивность случайной составляющей помехи).

Изображенная на рис. 1.12. гауссова помеха имеет постоянную составляющую со знаком ²+². Обычно в системах передачи данных помеха бывает именно нормально распределенной с нулевым математическим ожиданием. Помеха может быть рассеяна более или менее сильно, но площадь под кривой распределения должна быть одинаковой и соответствовать вероятности достоверного события - единице. Степень рассеивания случайной величины (помехи) определяется значением среднеквадратического отклонения б .

При наложении такой помехи на квантованный сигнал последний становится случайной величиной f сп (t) с математическим ожиданием, равным его уровню

(m = ), и среднеквадратическим отклонением помехи (б = б n ), как показано на рис.1.13.

Рис.1.13. Плотность распределения смеси f сп квантованного сигнала с гауссовой помехой: _ __ __

f i , f i-1 , f i+1 - данный, нижний и верхний соседние уровни квантования;

f i , f i+1 - соседние пороги квантования

Площади под кривой распределения за пределами пороговых значений f i и f i+1 данного уровня составляют вероятность искажения квантованного сигнала (ВИКС). Предположим, что допустимая ВИКС = 0,01 и нам нужно определить шаг квантования. Если известен закон распределения или характер помехи и его параметры, то можно решить обратную задачу - определить значения порогов квантования. Таким образом, шаг квантования подбирается с учетом помех двумя разными способами:

Экспериментально (или методом подбора);

Численно, аналитически, если известен характер помех.

Итак, система квантования должна содержать один квантователь на выходе источника непрерывных сигналов, а другой - на входе приемника сигналов; между ними располагается канал связи, где на передаваемый сигнал воздействуют помехи.

(В составе лабораторного программного пакета функцию источника непрерывного сигнала и функцию квантователя имитируют специальные подпрограммы. Подпрограмма источника формирует сразу весь массив значений, а подпрограмма-квантователь обрабатывает сигнал поэлементно. События в канале связи имитируются не полностью - квантованный сигнал деформируется только помехами. Помехи аддитивные, случайные и нормально распределенные).

Эффективность работы системы квантования определяется степенью искажения формы исходного сигнала. Если передается не непрерывный сигнал, а сразу квантованный или дискретный, то эффективность работы системы может определяться также частотой правильной передачи отсчетных сообщений.

Целью квантования по уровню является замена бесконечного множества непрерывных сообщений (значений параметра) конечным множеством дискретных значений. При этом становится возможным кодирование конечного множества дискретных сообщений, которое осуществляется кодовыми словами на основе алфавита меньшего объема. Значительным преимуществом системы квантования по уровню является возможность применения ее на протяженных линиях связи с промежуточными приемными пунктами. В этом случае применение такой системы позволяет избежать накопления помехи в процессе передачи сигнала по участкам, так как на каждом промежуточном пункте производится приведение сигнала к первоначальному квантованному уровню. В результате этого единственная помеха, которая остается в сигнале к моменту его прихода на конечный пункт - это шум квантования, который принципиально не устраним. Квантование сообщений позволяет обеспечить их длительное хранение без искажений в аналоговых запоминающих устройствах путем периодического считывания, квантования и записи данного сообщения на прежнее место с помощью одного и того же блока квантования.

Контрольные вопросы к пп. 1.1. и 1.2

1. Цель и суть любой дискретизации.

2. Представление сигналов функциями; понятие квантованного по уровню сигнала.

3. Цель и суть квантования сообщений по уровню; функции АЦП.

4. Определения неравномерного и равномерного квантования, уровней, порогов, шага и шума квантования.

5. Три способа квантования и соответствующая им величина шума квантования.

6. Структуры систем передачи сообщений:

· системы, передающей непрерывный сигнал квантованными сообщениями;

· системы, передающей квантованные сообщения;

· системы, передающей дискретные сообщения в форме квантованных по уровню сигналов.

7. От чего зависит и как оценивается эффективность работы этих систем?

8. Типы (модели) помех.

9. Влияние помех на квантованный по уровню сигнал.

10. Какие факторы определяют величину шага квантования для каждой системы; каково влияние этих факторов?

11. Чем ограничено минимальное значение ошибки восстановления сигнала?

Как говорилось в гл. 1, квантование - это дискретизация сигналов по уровню. Необходимость такой дискретизации вызвана тем, что для осуществления обработки сигнала цифровым фильтром каждое его значение должно быть описано числом, количество разрядов которого конечно. Иными словами, квантование равноценно округлению значений сигнала с точностью до еднницы последнего разряда.

Рис. 2.10. Характеристика квантования

Рис. 2.11. Квантование с логарифмической характеристикой

Квантование сигналов можно описать графически с помощью характеристики квантования (рис. 2.10), где по оси абсцисс отложены значения непрерывного сигнала, а по оси ординат - значения квантованного сигнала. Величину шага квантования А выбирают, исходя из необходимой точности передачи сигнала. Квантование с постоянным шагом называют равномерным. Равномерное квантование сигналов является наиболее простым и распространенным.

Однако равномерное квантование в отдельных случаях оказывается неудобным. Например, если передаваемый сигнал может принимать очень большие и очень маленькие значения, то при постоянной величине интервала квантования относительная точность передачи малых значений сигнала оказывается значительно хуже, чем больших значений. В этих случаях иногда применяют нелинейное,

например логарифмическое квантование (рис. 2.11), когда шаг квантования пропорционален логарифму входного напряжения. При квантовании малых значений сигнала шаг квантования оказывается малым, а точность передачи сигнала - достаточно высокой. При больших значениях входного сигнала интервал квантования увеличивается. Таким образом, использование логарифмического квантования позволяет получить высокую точность передачи сигнала при не слишком большом числе квантованных уровней сигнала.

Квантование (англ. quantization) - в информатике разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует также векторное квантование - разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений. Простейшим видом квантования

является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Рисунок 1 - Квантованный сигнал

Однородное (линейное) квантование - разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного:

.

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей (на графике - по горизонтали). Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает по уровню сигнала (на графике - по вертикали).

Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Рисунок 3 - Цифровой сигнал

При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал соответствует аналоговому. В случае однородного квантования глубину дискретизации называют также динамическим диапазоном и измеряют в децибелах (1 бит ≈ 6 дБ).

Квантование по уровню - представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается n-разрядный двоичный код - номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.