I. Сообщения, сигналы и помехи, их математические модели. Обработка сигналов в условиях воздействия импульсных помех

Найдем отношение сигнал/шум на входе фильтра.

Решение

Средняя мощность АМ-сигпала согласно формуле (2.70)

Здесь первое слагаемое 0,5U 2 соответствует средней мощности несущего колебания, которое не содержит информации о передаваемом сообщении. Поэтому при расчетах помехоустойчивости принято опускать эту составляющую и считать

Дисперсия шума на входе фильтра

Отношение сигнал/шум U„M 2 /(F 0 Q) оказывается прямо пропорциональным квадрату коэффициента модуляции и обратно пропорциональным частоте модуляции.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Определим коэффициент передачи оптимального фильтра приемника при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W 0 (односторонней N n = 2W tt).

Представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде

где К{ со) - АЧХ; (р^(со) - ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u(t) имеет спектральную плотность

Здесь S(со) и ф с (со) - амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = ? 0 , при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В соответствии с формулой (4.5) сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника)

Поскольку *? вых (со) = 5 цх (со)/С(со), то с помощью соотношения (3.28) находим среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра".

Используя формулы (7.5) и (7.6), найдем отношение мощностей сигнала и шума:

Введем эквивалентный коэффициент передачи линейного фильтра:

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (7.7).

Задачу нахождения оптимального коэффициента передачи К((о) решают на основе неравенства Буняковского - Коши - Шварца, имеющего вид

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

где А - постоянный коэффициент; S* (со) - функция, комплексно-сопряженная с 5(со).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (7.8) в виде произведения с фазовым множителем:

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра

Формула (7.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:

По определению частотный коэффициент передачи - безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность , обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S(со).

Суть метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника поясняет рис. 7.21, где показаны спектры входных сигнала 5(со), белого шума W 0 и выходного сигнала 5 ВЬ1Х (со), а также АЧХ фильтра К(со) и энергетический спектр выходного шума aj(co).

Рис. 7.21.

а - спектры входных сигнала и шума; б - спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра;

в - спектр выходного шума

Соотношение (7.10) устанавливает, что АЧХ фильтра К(со) должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S(со) входного сигнала. Благодаря этому подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра без ослабления и вносит основной вклад в образование пикового значения. Из множества спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются те, которые находятся иод кривой его АЧХ, т.е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума а 2 х на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W 0 на входе. В результате этого действия отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.

Формула (7.11), описывающая ФЧХ оптимального фильтра, трактуется как условие компенсации начальных фаз гармонических составляющих спектра выходного сигнала. Согласно этому условию оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники -ф с (со) был равен по значению и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S(со) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию начальных фаз всех спектральных составляющих входного сигнала u(t ), в результате чего и образуется пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ -со? 0 указывает на то, что пик выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на интервал t 0 . Связь между фазовой характеристикой ф с (со) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой -ф с (со) и ФЧХ фильтра поясняется на рис. 7.22. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой

показана на рис. 7.22 прямой линией.

Рис. 7.22.

Итак, коэффициент передачи фильтра, описываемый формулой (7.4), согласован с амплитудным и фазовым спектрами входного сигнала. Поэтому рассмотренный оптимальный линейный фильтр часто называют согласованным.

Вернемся к формуле (7.7) и рассмотрим энергетические соотношения между принимаемым сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Так как квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то после несложных преобразований получим выражение

Числитель в формуле (7.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э. Тогда последнее соотношение примет вид

Согласно формуле (7.14) оптимальный фильтр максимизирует отношение сигнал/шум, которое зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума и не связано с формой входного сигнала.

Пример 7.2

Сигнал, поступающий на вход оптимального фильтра, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с некоторой амплитудой Е и длительностью т н = = 10 мкс. Белый шум на входе фильтра имеет спектральную плотность мощности W 0 = 25 10 18 В 2 /Гц. Определим минимальное значение амплитуды Е, при котором возможно обнаружение сигнала, если приемник регистрирует его присутствие при отношении сигнал/шум Q mls = 3/W n = 2 дБ.

Решение

Требуемое значение отношения сигнал/шум найдем из условия 101g(3/W 0) = 2, откуда 3/W 0 = 1,57. Поскольку энергия импульса 3 = Е 1 т и, то

Импульсная характеристика оптимального фильтра. Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи (7.9). Используя уже применяемую ранее формулу для определения импульсной характеристики через коэффициент передачи

Поскольку 5*(со) = -5(со), то, переходя к новой переменной (о 2 = -со, после несложных преобразований запишем

Следовательно, импульсная характеристика оптимального фильтра совпадает с зеркально отраженной относительно оси ординат копией входного сигнала, сдвинутой на интервал? 0 по оси времени. Об этом говорит отрицательный знак при аргументе t в формуле (7.16). На рис. 7.23 показан прин-

Рис. 7.23. u(t) длительностью т и. Поскольку при t t 0 между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования максимального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сигнала т и. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оптимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сигнала на выходе надо провести обработку фильтром всего входного сигнала u(t).

Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение с его помощью сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии. В частности, путем увеличения длительности входного импульса можно надежно обнаруживать сигналы небольшой амплитуды. Однако при этом проигрывают в скоростях обработки информации. Как правило, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра существенно отличаются друг от друга. В частности, задачей согласованного фильтра для двоичной системы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

За согласованным фильтром в приемнике может находиться выравнивающий фильтр, или эквалайзер; он необходим только в цифровых системах связи, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, внесенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры являются отдельными устройствами, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) можно включать единый фильтр. Такой составной фильтр называют просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.

Согласованным фильтром может быть пассивный фильтр на линиях задержки, или коррелятор, или специальное цифровое устройство, преобразующее входную смесь сигнал/шум в частотную область, умножающее полученный спектр на спектр, комплексно-сопряженный со спектром входного сигнала, на который настроен оптимальный приемник, и возвращающий результат обратно во временную область. Но в любом случае это будет устройство, АЧХ которого повторяет амплитудный спектр сигнала, а ФЧХ есть зеркальное отражение фазовой характеристики сигнала. Согласованный с неким сигналом фильтр - это линейный четырехполюсник, импульсная характеристика которого является зеркальным отражением этого сигнала.

Отметим, что функцию оптимального фильтра для входного сигнала в приемнике может выполнять коррелятор, что имеет важное практическое значение, поскольку в ряде случаев реализовать коррелятор проще, чем оптимальный фильтр. В возможности выполнять коррелятором функцию оптимального фильтра можно убедиться, сравнив спектры сигналов на выходе оптимального фильтра и коррелятора.

(Документ)

n1.doc

1. Канал связи и преобразование информации в его элементах.

2. Классификация сигналов

3. Динамическое представление сигналов на основе функций включения и дельта–функций.

4. Спектральное представление сигналов (периодический сигнал).

5. Спектральное представление сигналов (непериодический сигнал).

6. Основные свойства преобразований Фурье.

7. Спектральные плотности модулируемых сигналов

8. Понятие случайного процесса. Стационарность случайного процесса.

9. Статистические параметры случайного процесса. Свойства.

10. Измерение характеристик случайного процесса.

11. Связь корреляционной и спектральной теории случайного процесса.

12. Физические системы преобразования информации и их математические модели.

13. Прохождение детерминированных сигналов через системы преобразования информации.

14. Прохождение случайных сигналов через системы преобразования информации

15. Классификация помех. Электрические помехи.

16. Методы борьбы с электрическими помехами.

17. Акустические помехи.

18. Измерение информации. Энтропия.

19. Энтропия дискретного сигнала

20. Энтропия непрерывных сигналов.

21. Энтропия статистически зависимых сигналов.

22. Информационная модель сигнала в интроскопии и акустике.

23. Кодирование и передача информации в дискретном канале

24. Передача сигналов по непрерывному каналу

25. Согласование характеристик сигнала и канала передачи

26. Оптимальные фильтры устройств обнаружения дефектов.

27. Согласованные фильтры

28. Методы синтеза оптимальных фильтров. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса спектральным методом.

29. Оптимальная фильтрация по критерию минимума среднеквадратичной ошибки.

30. Неразрушающий контроль изделий и обнаружение сигналов. Обнаружение сигнала методом статистических решений.

31. Обнаружение сигналов с использованием критерия Неймана – Пирсона.

32. Обнаружение сигналов на фоне реверберационной помехи.

33. Последовательные обнаружители.

34. Основные параметры и характеристики систем ОИ. Обобщённая методика расчёта систем ОИ.

35. Варианты задания исходных данных для определения параметра обнаружения

36. Частотные коэффициенты передачи основных звеньев приборов НК

37. Методика расчета параметров оптической системы прибора по требуемому отношению сигнал/шум

38. Выбор полосы пропускания, расчёт пороговой чувствительности, КПД системы первичной обработки информации (на примере оптико-электронного прибора)

Вопрос 1

1 Канал связи и преобразование информации в его элементах.

Информационным называется процесс, возникающий в результате установления связи между двумя объектами материального мира. При этом один из объектов является генератором информации (источником), а другой - приёмником информации (получателем).

Материальная среда, определяющая взаимодействие между источником и приёмником информации, называется каналом связи.

Общими элементами большинства каналов связи являются: источник информации, кодирующее устройство, приёмник информации, устройство хранения, обработки и отображения информации.

Любое устройство НК представляет собой систему преобразования информации. При этом преобразование информации необходимо производить объективно, т.е. без искажений.

Преобразование информации в элементах каналов связи можно условно разделить на следующие этапы:

Выбор информативных параметров с учётом поставленных целей и задач. Объект контроля характеризуется всегда большой совокупностью параметров. При реализации этого этапа необходимо определить, какие параметры наиболее важны для достижения поставленной цели, каким образом связаны с качеством объекта.

Формирование сообщений, т.е. преобразование информации в форму удобную для дальнейшего использования.

Ввод преобразованной информации в техническое устройство для последующей обработки Данный этап обычно включает следующие операции: считывание информации, образование кодовой комбинации для выбранных информационных элементов, передача кодовой комбинации в канал связи.

Этап передачи и приёма информации. Процесс передачи информации представляется как некоторое отображение множества сообщений в множество сигналов. Каждому элементу комбинация ставится в соответствие определённый сигнал или их последовательность.

Хранение и поиск информации. Необходимость этого этапа возникает в тех случаях, когда число приходящих в систему сообщений превышает пропускную способность устройства ввода.

Переработка информации. Данный этап предусматривает получение статистической характеристики, прогнозирования проведения информационного процесса.

Отображение информации. Сущность данного этапа заключается в представлении информации в наиболее удобной форме для восприятия.

Вопрос 2

2 Классификация сигналов

Под сигналом понимают процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта.

В зависимости от вида модели, которой описывается сигнал (вещественная или комплексная), сигналы подразделяются на вещественные и комплексные.

Так же различают одномерные и многомерные сигналы. Одномерным называется сигнал, математической моделью которого является она функция времени.

Под многомерным сигналом понимают: сигнал, образованный совокупностью одномерных сигналов. Многомерные сигналы в практике НК используются достаточно часто, например, оценка качества продукции по нескольким информативным параметрам.

В зависимости от возможности или невозможности предсказания мгновенных значений сигнала в любой момент времени выделяют детерминированные и случайные сигналы. Детерминированный сигнал – сигнал модель которого позволяет осуществить такое предсказание. Если модель сигнала не позволяет осуществить такое предсказания, то сигнал называют случайным.

Различают сигналы непрерывные и импульсные.

Непрерывным наз-т сигнал, значение которого определенно в любой момент времени на отрезке наблюдения сигнала.

Импульсный сигнал представляет собой колебания в пределах конечного отрезка времени.

Сигналы разделяют на аналоговые и дискретные.

Аналоговым наз-т сигнал, значение которого можно измерить в любой момент времени на отрезке наблюдения сигнала.

В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы

Воспроизводят значения только лишь в отдельные моменты времени.

Особой разновидностью дискретного сигнала является цифровой сигнал. Для цифрового сигнала отсчётные значения представляются в форме чисел.

В сущности, любой дискретный сигнал является сигналом аналоговым, если рассматривать сам сигнал как физический процесс. Дискретизация сигнала выполняется с определённой целью, например, передача по одному каналу нескольких сигналов одновременно. Такой режим называется режимом разделения времени.

Вопрос 3

3. Динамическое представление сигналов на основе функций включения и дельта–функций.

Преобразование сигналов в системах обработки информации требует располагать информацией не только о мгновенных значениях сигнала, но и знать поведение сигнала на всей временной оси. Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. При этом, если устремить к 0 длительности элементарных сигналов, то получим точное представление моделируемого (исходного) сигнала.

Для построения динамических моделей используют ступенчатые функции (ф-ции включения) и прямоугольные импульсы (?-функции).

1) Функция включения (Хэвисайда) ?(t):

(1)
(2)
(3)

В технике обработки сигналов используют допущения(2).

Построим график функции включения (см.2)

Функция представляет единичн. скачок в момент времени t.

В произвольный момент времени t0 функция имеет вид(3).

С помощью функции включения очень удобно строить модели прямоугольных видеоимпульсов.

2) Динамическое представление сигналов осуществляется с помощью?-функций. Предположим, что есть сигнал, представляющий прямоугольный импульс. Если для такого импульса длительность устремить к нулю, то амплитуда такого импульса будет неограниченно расти. Площадь импульса равна 1/? ?=1 Импульс с такими свойствами

Называют функцией Дирака(?-функцией) .

С точки зрения математики?-функция принимает значения:

С помощью?-функции можно осуществить динамическое представление сигнала в следующем виде:

Если непрерывную функцию проинтегрировать во времени, предварительно умножив ее на?-функцию, то результат будет соответствовать значению непрерывной функции в точке, где сосредоточена?-функция. Фактически, данная формула показывает фильтрующие свойства?-функции. Это значит, что в любой момент может быть получено мгновенное значение сигнала S(t), но для этого необходима информация о характере поведения сигнала на всей временной оси.

Практическая реализация динамического представления сигнала осуществлена в приборах, обладающих возможностью измерения мгновенных значений сигнала.

Вопрос 4

4. Спектральное представление сигналов (периодический сигнал).

Наиболее часто для разложения сигналов используют совокупность гармонических колебаний кратной частоты, т.е. cos(nx) и sin(mx). Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических составляющих с кратными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение сигналов. При этом совокупность отдельных гармонических составляющих называют спектром сигнала. Гармонические составляющие кратной частоты используют для разложения сигналов по следующим причинам:

1) гармонические сигналы инвариантны (не чувствительны) относительно преобразований, осуществляемых линейными сигналами. Это значит, что цепь, возбуждённая источником гармонических колебаний имеет на выходе тоже гармонический сигнал.

2) техника генерирования гармонических сигналов относительно проста. Один и тот же сигнал имеет 2 совершенно равноправные мат. модели: функция во временной области S(t); функция в частотной области.

Для детерминированных сигналов она обозначается S(?) и называется спектральной плотностью сигнала. Часто мат. модель сигнала представляется во временной области и является сложной и не достаточно наглядной. В то же время описание сигналов в частотной области оказывается простым. Кроме того, спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через устройства и системы обработки. Периодический сигнал в частотной области м.б. представлен рядом Фурье:

В большинстве случаев n = m , при этом группа коэффициентов a i вычисляется:

В соответствии с записанными выражением, периодический сигнал составляет постоянную составляющую и бесконечно большое число периодических составляющих (гармоник). Частота? 1 называется основной частотой последовательности . Все остальные частоты называются кратными частотами . Составляющие сигнала при n =2,3 … называются высшими гармониками . Графическое изображение спектрального разложения сигнала называют спектральной диаграммой . Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы. В случае построения амплитудой спектральной диаграммы по горизонтальной оси в некотором масштабе откладывают частоты гармоник, а по вертикальной – амплитуды гармоник, сосредоточенных на этих частотах. При построении фазо-спектральной диаграммы по вертикальной оси – фазы гармоник, сосредоточенных на соотв. частотах.

Вопрос 5

5. Спектральное представление сигналов (непериодический сигнал).

Наиболее часто для разложения сигнала используют совокупность гармонических колебаний кратной частоты. Если к.-л. сигнал представить в виде суммы гармонических составляющих с кратными частотами, то говорят что осуществлено спектральное разложение сигнала. При этом совокупность отдельных гармонических составляющих называют спектром сигнала. Часто мат. модель сигнала, представленная во временной области является сложной и недостаточно наглядной. В то же время описание сигналов в частотной области оказывается простым. Метод разложения в ряд Фурье позволяет получить спектральное представление для непериодического сигнала. Наибольший интерес среди непериодических сигналов представляют импульсные сигналы. Для получения формулы непериодического сигнала мысленно дополняют временную ось таким же сигналом, а период в полученной последовательности устремляют к бесконечности. В этом случае ряд Фурье выражается в интеграл Фурье, а спектр сигнала становится сплошным.

(1) (обратное преобразование)

(2) (прямое преобразование)

(1) и (2) – пара преобразований Фурье.
Данные формулы применимы лишь в том случае, если выполняется условие Дирихле, а именно, функция S(t) должна быть абсолютно интегрируемой, а это значит, что

.

Т.о. в частотной области непериодический сигнал характеризуется спектральной плотностью, а его модель во временной области связана со спектральной плотностью парой преобразования Фурье.

Вопрос 6

6. Основные свойства преобразований Фурье.

1. Линейность.

Есть совокупность сигналов S1(t), S2(t),…, SN(t). S1(?) – спектральная плотность сигнала S1(t), S2(?) – сп. плотн. S2(t), SN(?) – сп.плотн. SN(t). При этом линейная комбинация указанных сигналов имеет спектральную плотность равную линейной комбинации спектральных плотностей этих сигалов.

2. Спектральная плотность сигнала смещённого во времени.

Сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то:

S(t-t0) ? S(?)·e-j·?·t0.

3. Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба времени.

Сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то сигнал S(k·t) подверженный изменению масштаба времени будет иметь спектральную плотность
.

4. Спектральная плотность произведения двух сигналов.

Если S1(?) – спектральная плотность сигнала S1(t), S2(?) – сп. плотн. S2(t), то:

S1(t)∙ S2(t) ?
(свёртка спектральных плотностей).

5. Спектральная плотность производной сигнала.

Если сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то производная сигнала S’(t) будет иметь спектральную плотность j?∙ S(?), где j? – оператор дифференцирования.

6. Спектральная плотность интеграла сигнала.

Если сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(?), то

где 1/j? – оператор интегрирования.

Вопрос 7

7. Спектральные плотности модулируемых сигналов

В простейшем случае модуляция заключается в том, что один из параметров, характеризующий сигнал во временной области изменяют по определенному закону. Сигнал S(t) является гармоническим, амплитуду – А0, частота – ?0, нач. фаза – ?0.

В таком колебании все 3 параметра, характеризующие сигнал являются постоянными.

При модуляции, один из параметров изменяется по заранее известному закону, что с математической точки зрения может быть описано путем умножения изменяемого параметра на величину 1 + mF(t), где F(t) – называют модулирующей функцией, m – глубиной модуляции.

Предположим, что происходит амплитудная модуляция сигнала S(t), промодулированный сигнал обозначим
.

Модулируемый сигнал, зависящий от времени окажется равным:

Сигнал, полученный с помощью модуляции.

Первое слагаемое в полученном выражении представляет собой исходное колебание, второе и третье – новые гармоники, которые появились в результате модуляции. Частоты этих гармоник?0–? и?0+? называются боковыми частотами. Т.о. модуляция сигнала ведет к изменению спектра сигнала, причем в большинстве случаев спектр сигнала становится более широким.

Вопрос 8

8. Понятие случайного процесса. Стационарность случайного процесса.

Понятие случайного процесса.

Теория случайных величин изучает вероятностные явления как фиксированные результаты некоторых физических экспериментов, т.е. изучает физические процессы в статике. Для описания сигналов, которые отображают, развивающиеся во времени, физические процессы методом классической теории вероятности оказалось недостаточно. Подобные задачи изучает особая ветвь в математике, которая называется теория случайных процессов.

Случайные процессы принято обозначать x(t). Случайный процесс x(t) – это особого вида функция, характеризующая тем, что в любой момент времени ее значение является случайным. Иногда говорят, что x(t) – случайная функция. Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональной зависимостью S(t) или осциллограммой. Имея дело со случайным сигналом, приходящегося фиксировать мгновенное значение случайного сигнала и получать при этом единичную реализацию случайного процесса.

Случайный процесс x(t) представляет собой бесконечное число случайной реализации x i (t), которые образуют статистический ансамбль {x i (t)}.

Классификация случайных процессов.

Случайные процессы подразделяют на: стационарные и нестационарные, эргодические и неэргодические.

Деление случайных процессов на стационарные и нестационарные базируется на понятии плотности вероятности случайных процессов. (*)

Рассмотрим случайный процесс x(t) заданный статистическим ансамблем x1(t), x2(t)… (рис.). Зафиксируем момент времени t. Указанная процедура называется сечением случайного процесса и она позволяет получить выборку случайных процессов, которая характеризует состояние случайного процесса в момент времени x1. Зафиксируем момент времени t2 и рассмотрим сечение случайного процесса в данный момент времени.

Для двух случайных величин полученных в момент времени t1 и t2 можно ввести двумерную плотность вероятности p(x1,x2,t1,t2). Предположим, что зафиксировано n случайных измерений. В этом случаи можно говорить, о n-мерной плотности распределения вероятности p(x1,x2,…,xn,t1,t2,…,tn). Физический смысл показывает вероятность реализации случайной величины x1 в момент времени t1; вероятность реализации случайной величины x2 в момент времени t2.

Случайный процесс называется стационарным, если его n – мерная плотность распределения вероятности не зависит от временного сдвига по оси времени. Для определения стационарности и не стационарности случайного сигнала исследуют источник этого сигнала, и если обнаруживается, что нет явных изменений в параметрах источника сигнала, то генерируемый сигнал считается стационарным.

Некоторые стационарные процессы обладают интересным свойством. Оно заключается в том, практически каждая реализация случайного процесса ведет себя так, как и весь статистический ансамбль. В результате динамику такого случайного процесса можно изучать по одной из реализаций. Сам же случайный процесс называется эргодическим.

Вопрос 9

9. Статистические параметры случайного процесса. Свойства.

Используются следующие параметры:

1. Мат. ожид. случ. процесса m x (t)

2. Дисперсия D x (t)

3. Кореляц. ф-ция R x (t1,t2)

Мат. ожид. случ. Процесса - неслучайная ф-ция, значение которой при каждом фиксированном моменте аргументе моменте времени равно мат. ожид. сечения, соотв. этому моменту времени.

Дисперсия случ. процесса - неслучайная и неотрицательная ф-ция, значение которой при каждом фиксированном моменте времени равно дисперсии сечения, соотв. этому моменту времени.

Корреляц. ф-ция случ. процесса- неслучайная ф-ция, значение которой при каждой паре фиксированных аргументов равно корреляц. моменту сечений, соотв. данным величинам.

Статистические параметры могут быть вычислены математически и экспериментально.

Мат. ожид:

Дисперсия:

Корреляц. ф-ция:

Если корреляционные и взаимокорреляционные функции не зависят от аргументов, то процессы – стационарно связанные.

Описание процессов с помощью статических характеристик – корреляционная теория сл. процессов.

Вопрос 10

10. Измерение характеристик случайного процесса.

Измерение математического ожидания и дисперсии базируется на следующем принципе: сначала определяется плотность распределения вероятностей, а потом производится интегрирование полученного результата. Предположим, что имеется одна случайная реализация x(t). Оказывается, что одномерная плотность распределения вероятности эргодического случайного процесса пропорциональна времени пребывания случайных реализаций этого процесса на уровне между величиной x и x+∆х.

Устройство для измерения одномерной плотности распределения вероятности содержит компаратор, на один из входов которого подается случайная реализация x(t), на 2-ой вход уровень сигнала х, формирователь импульсов ФИ, интегрирующий прибор (стрелочный прибор, выполняющий функцию интегрирования).

Таким образом данное устройство позволяет измерять математическое ожидание случайного процесса. При измерении дисперсии случайного процесса после формирователя импульсов включается емкость С, а в качестве инерционного прибора применяют квадратичный вольтметр, который выполняет функцию возведения результатов измерения в квадрат.

Прибор для измерения корреляционной функции называется коррелометром. Принцип работы коррелометра следующий (1): мгновенное значение исследуемого сигнала после фильтрации постоянной составляющей разделяют на два канала. В одном из каналов осуществляют задержку сигнала на время?. После этого полученные сигналы перемножают, и результат перемножения измеряют инерционным прибором, осуществляющим интегрирование. Полученный результат соответствует корреляционной функции сигнала.

Вопрос 11

11. Связь корреляционной и спектральной теории случайного процесса.

Представление случайного сигнала в частотной области носит название спектральной теорией случайного процесса. Данная теория для описания случайного процесса использует спец. функцию, которую называют спектральной плотностью мощности случ. Процесса (спектром мощности). Wx(?) – спектр мощности случайного процесса х.

Посмотрим на аналогию детерминированного и случайного процессов: Sx(?) и Wx(?). Sx(?) и Wx(?) – величины различные. Но между моделями корр. и спектр. cвязаны преобразованиями Фурье. Спектр мощности Wx(?) и Rx(?) связаны между собой парой преобразования Фурье:

Для пояснения физического смысла Wx(?), положим: значение?=0, в этом случае корреляционная функция окажется равной дисперсии случайного процесса Rx(0)=D(x) , то есть дисперсия есть средняя мощность флуктуации среднего стационарного случайного процесса. Чем шире спектр мощности, тем хаотичнее реализация случайного процесса.

Wy (? ) > Wx (? ), Wy (? ) – шире. Необходимо отметить, что спектральная плотность мощности не содержит информации о фазовых соотношениях м-ду отдельными реализациями случ. процесса. Это значит, что по спектру мощности нельзя восстановить отдельную реализацию случ. процесса. Рассмотрим случ. процесс, который имеет постоянный спектр мощности Wx (? )= Wx (0)= const .

Случайный процесс с постоянным спектром мощности называют белым шумом. В природе он не существует. Белым шумом – называется мат. модель, которой удобно заменять на практике широко полостные случайные процессы с целью упрощения вопросов. Особенно выгодны такие замены в тех случаях когда полоса пропускания оказывается существенно уже ширины спектра шума.

Вопрос 12

12. Физические системы преобразования информации и их математические модели.

Системы, применяемые для обработки сигналов разнообразны как по принципам внутреннего устройства, так и по внешним характеристикам, однако в любом случае устройство обработки сигналов всегда представляет собой систему (совокупность блоков и связей между ними).

В структуре системы всегда можно выделить вход и выход.

Входной сигнал Uвх(t) и выходной сигнал Uвых(t) связаны между собой системным оператором Т:

Математической моделью системы называют совокупность системного оператора Т и двух областей Dвх – область допустимых входных сигналов и Dвых – область допустимых выходных сигналов.

С точки зрения классификации систем выделяют:

Стационарные и нестационарные

Линейные и нелинейные

Сосредоточенные и распределенные

Статические и динамические

Системы называются стационарными, если выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступило входное воздействие

Иногда стационарные системы называют системами с постоянными параметрами. Если сигнал на выходе Uвых(t) зависит от выбора начала отсчета, то такую систему называют нестационарной или параметрической.

Система называется линейной если преобразование суммы двух сигналов эквивалентно сумме преобразований каждого сигнала в отдельности

Если данные условия не выполняются, то сумму называют нелинейной.

Линейные системы замечательны тем, что для них можно решить задачу о преобразовании сигнала.

Сосредоточенной называют такую систему, которая содержит соединительные проводники по длине гораздо меньше, чем длина волны распространяющегося по этим проводникам сигнала

Распределенной называется система, когда длина соединительных проводников превышает длину волны несущего колебания.

Динамическая система обладает следующим свойством: выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассмотренный момент времени, но и состоянием сигнала в предшествующий момент времени.

Для статической системы нет зависимости от времени.

Вопрос 13

13. Прохождение детерминированных сигналов через системы преобразования информации.

Импульсной характеристикой системы называют отклик этого устройства на функцию Дирака?(t)

,
.

В частотной области вводится понятие частотного коэффициента передачи системы, который связан с импульсной характеристикой h(t) этого устройства парой преобразований Фурье.

- прямое преобразование.

- обратное преобразование.

Таким образом любую систему можно обработки сигналов можно рассматривать либо во временной области с помощью импульсной характеристики, либо в частотной области с помощью частотного коэффициента передачи. Оба подхода являются равнозначными, а выбор одного из них диктуется, прежде всего, удобством математических расчётов.

Частотный коэффициент передачи использует простую интерполяцию: если на вход устройство подаётся гармонический сигнал с частотой  и комплексной амплитудой, U вх, то амплитуда сигнала на выходе окажется равной:

,

K(jw)- отражает внутреннее состояние системы.

Методика анализа прохождения детерминированного сигнала через систему обработки информации состоит в следующем:

1) По импульсной характеристике h(t) находят частотный коэффициент передачи системы K(jw):

2) По модели сигнала во временной области S(t) находят спектральную плотность сигнала S(w):

.

3) Сигнал на входе устройства находят путём умножения спектральной плотности на входе на K(jw).

Вопрос 14

14. Прохождение случайных сигналов через системы преобразования информации

Расчёт сигнала на выходе системы в случае прохождения через неё случайного сигнала проводится следующим образом:

1) для устройства обработки информации по известной импульсной характеристике находим частотный коэффициент передачи (используя прямое преобразование Фурье):

;

2) по корреляционной функции сигнала находим спектр мощности (используя прямое преобразование Фурье):

;

3) спектр мощности на выходе устройства находится следующим образом:

;

4) корреляционную функцию на выходе системы находим, используя обратное преобразование Фурье:

.
Вопрос 15

15. Классификация помех. Электрические помехи.
По виду воздействия на сигнал различают аддитивные и мультипликативные помехи.

Помеха n(t), называется аддитивной, если действие этой помехи и полезного сигнала на устройство обработки независимы. Общий сигнал в тракте обработки в случае аддитивной помехи может быть представлен в следующем виде: X(t) = S(t)+n(t)

Помеха называется мультипликативной, если она модулирует полезный сигнал. Общий сигнал в этом случае оказывается равен: X(t) = a∙?(t)∙S(t),

Где S(t) – полезный сигнал; ?(t) – мультипликативная помеха; а – постоянный коэффициент, который показывает глубину модуляции (рис2)

В большинстве случаев при НК имеет место совместное действие мульт-й и аддитивной помехи. Тогда результирующий сигнал можно представить как:

X(t) = a∙?(t)∙S(t)+n(t)

Большинство помех при НК порождается электрическими процессами. Эти помехи называются электрическими. Они делятся на внутренние (возникают внутри аппаратуры) и внешние.

Существуют так же реверберационные помехи – возникают в результате рассеяния зондирующего излучения на неоднородностях в контролируемом материале.

Электрические помехи можно разделить на 3 класса:

1) флуктуационные; 2) квазигармонические;

3) импульсные.

1) Флуктуационные, представляют собой случайный процесс с нормальным законом распределения плотности вероятности. С физ-й точки зрения, флуктуационные помехи порождаются случайными отклонениями тех или иных физ-х величин от средних значений.

Флуктуационные помехи возникают в местах соединения отельных участков в цепи обработки сигналов; в различных элементах цепи от теплового шума; в источниках полезных сигналов и различного рода усилителях. Наиболее распространенная причина возникновения – тепловое движение.

2) К квазигармоническим помехам относятся сигналы посторонних радиостанций, излучение высокочастотных генераторов промышленного и медицинского назначения. Основным свойством помехи является то, что ширина спектра этого сигнала является чрезвычайно узкой.

3) Импульсные помехи представляют собой последовательность импульсов произвольной формы, произвольной длительности и амплитуды, возникающих в случайные моменты времени. К таким помехам относятся многие виды атмосферных (гроза) и индустриальных воздействий на аппаратуру НК.

Вопрос 16

16. Методы борьбы с электрическими помехами.
Универсальных способов борьбы с эл. помехами не существует. Наиболее распространенные способы борьбы с электрическими помехами, которые применяются в аппаратуре НК:

1) снижение уровня помех за счёт уменьшения числа источников помех. Этот способ основан на предотвращении возникновения источников помех или их подавлении путём компенсации.

3) способ основан на том, что помеха и полезный сигнал не коррелированны. Создаётся принципиальная возможность отделения помехи от полезного сигнала. Отделение полезного сигнала от помехи зачастую основано на использовании различных частотных спектров полезного сигнала и помехи. Данный способ получил название фильтрации. Устройства, которые выполняют фильтрацию, называются фильтрами.

Помеха – это любое воздействие, накладывающееся на полезный сигнал и затрудняющее его прием. Помехи весьма разнообразны как по своему происхождению, так и по физическим свойствам.

В проводных каналах связи основным видом помех являются импульсные шумы и прерывная связь. Появление импульсных помех часто связано с автоматической коммутацией и с перекрестными наводками. Прерывание связи есть явление, при котором сигнал в линии резко затухает или совсем исчезает.

Практически в любом диапазоне частот имеют место внутренние шумы аппаратуры, обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, сопротивлениях и других элементах аппаратуры. Этот вид помех особенно сказывается в диапазоне ультракоротких волн. В этом диапазоне имеют значение и космические помехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на Солнце, звездах и других внеземных объектах.

Классификацию помех можно провести по следующим признакам:

— по происхождению (месту возникновения);

— по физическим свойствам;

— по характеру воздействия на сигнал.

К помехам по происхождению в первую очередь относятся внутренние шумы аппаратуры (тепловые шумы) обусловленные хаотическим движением носителей заряда в усилительных приборах, сопротивлениях и других элементах аппаратуры. Случайное тепловое движение носителей заряда в любом проводнике вызывает случайную разность потенциалов на его концах. Среднее значение напряжения равно нулю, а переменная составляющая проявляется как шум. Квадрат эффективного напряжения теплового шума определяется известной формулой Найквиста

где Т- абсолютная температура, которую имеет сопротивление R;

F — полоса частот; k =1,37*10 (-23) Вт.сек/град- постоянная Больцмана.

К помехам по происхождению, во вторую очередь, относятся помехи от посторонних источников, находящихся вне каналов связи:

— атмосферные помехи (громовые разряды, полярное сияние, и др.), обусловленные электрическими процессами в атмосфере;

— индустриальные помехи, возникающие в электрических цепях электроустановок (электротранспорт, электрические двигатели, системы зажигания двигателей, медицинские установки и другие.);

— помехи от посторонних станций и каналов, возникающих от различных нарушений режима их работы и свойств каналов;

— космические помехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на Солнце, звездах, галактиках и других внеземных объектах.

По физическим свойствам помех различают:

— Флуктуационные помехи;

— Сосредоточеные помехи.

Флуктуационные помехи . Среди аддитивных помех особое место занимает флуктационная помеха, которая является случайным процессом с нормальным распределением (гауссов процесс). Этот вид помех практически имеет место во всех реальных каналах.

Электрическую структуру флуктуационной помехи можно представить себе как последовательность бесконечно коротких импульсов, имеющих случайную амплитуду и следующих друг за другом через случайные промежутки времени. При этом импульсы появляются один за другим настолько часто, что переходные явления в приемнике от отдельных импульсов накладываются, образуя случайный непрерывный процесс.

Так, источником шума в электрических цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей заряда (электронов, ионов). Дискретная природа электрического тока проявляется в электронных лампах и полупроводниковых приборах в виде дробового эффекта.

Наиболее распространенной причиной шума являются флуктуации, обусловленные тепловым движением.

Длительность импульсов, составляющих флуктуационную помеху, очень мала, поэтому спектральная плотность помехи постоянна вплоть до очень высоких частот.

К сосредоточенным по времени (импульсным) помехам относят помехи в виде одиночных импульсов, следующих один за другим через такие большие промежутки времени, что переходные явления в радиоприемнике от одного импульса успевают практически затухнуть к моменту прихода следующего импульса.

Сосредоточенные по спектру помехи . К этому виду помех принято относить сигналы посторонних радиостанций, излучения генераторов высокой частоты различного назначения и т. п. В отличие от флуктационных и импульсных помех, спектр которых заполняет полосу частот приёмника, ширина спектра сосредоточенной помехи в большинстве случаев меньше полосы пропускания приёмника. В диапазоне коротких волн этот вид помех является основным, определяющим помехоустойчивость связи.

По характеру воздействия на сигнал различают:

— аддитивные помехи;

— мультипликативные помехи.

Аддитивной называется помеха, мгновенные значения которой складываются с мгновенными значениями сигнала. Мешающее воздействие аддитивной помехи определяется суммированием с полезным сигналом. Аддитивные помехи воздействует на приемное устройство независимо от сигнала и имеют место даже тогда, когда на входе приемника отсутствует сигнал.

Мультипликативной называется помеха, мгновенные значения которой перемножаются с мгновенными значениями сигнала. Мешающее действие мультипликативных помех проявляется в виде изменения параметров полезного сигнала, в основном амплитуды. В реальных каналах электросвязи обычно имеют место не одна, а совокупность помех.

Под искажениями понимают такие изменения форм сигнала, которые обусловлены известными свойствами цепей и устройств, по которым проходит сигнал. Главная причина искажений сигнала – переходные процессы в линии связи, цепях передатчика и приемника. При этом различают искажения: линейные и нелинейные возникающие в соответствующих линейных и нелинейных цепях. В общем случае искажения отрицательно сказываются на качестве воспроизведения сообщений и не должны превышать установленных значений (норм).

При известных характеристиках канала связи форму сигнала на его выходе всегда можно рассчитать по методике, изложенной в теории линейных и нелинейных цепей. Дальнейшие изменения формы сигнала можно скомпенсировать корректирующими цепями или просто учесть при последующей обработке в приемнике. Это уже дело техники.

ДРУГОЕ ДЕЛО ПОМЕХИ — ОНИ заранее не известны и поэтому не могут быть устранены полностью.

Борьба с помехами — основная задача теории и техники связи. Любые теоретические и технические решения, о выполнении кодера или декодера, передатчика и приемника системы связи должны приниматься с учетом того, что в линии связи имеются помехи. При всем многообразии методов борьбы с помехами их можно свести к трем направлениям:

— подавление помех в месте их возникновения. Это достаточно эффективное и широко применяемое мероприятие, но не всегда приемлемо. Ведь существуют источники помех, на которые воздействовать нельзя (грозовые разряды, шумы Солнца и др.);

— уменьшение помех на путях проникновения в приемник;

— ослабление влияния помех на принимаемое сообщение в приемнике, демодуляторе, декодере. Именно это направление для нас является предметом изучения.

В реальных каналах связи наряду с флуктуационными гаусовскими помехами типа белого шума действуют сосредоточенные по времени (импульсные) помехи и сосредоточенные по спектру помехи.

7.4.1. Общая характеристика сосредоточенных по спектру и импульсных помех

Во многих случаях помеха состоит из отдельных импульсов, длительность которых существенно меньше длительности элемента сигнала , а спектр помехи значительно шире спектра сигнала. Такие помехи называются импульсными (рис. 7.18).

К сосредоточенным по времени (импульсным) помехам относятся помехи в виде одиночных коротких импульсов различной интенсивности и длительности, следующих через случайные, достаточно большие промежутки времени. Причинами импульсных помех являются грозовые разряды, радиостанции, работающие в импульсном режиме, линии электропередачи и другие энергоустановки, системы энергообеспечения транспорта и др.

Кроме импульсных помех, могут существовать протяженные по времени помехи, спектр которых занимает такую же полосу частот, как и сигнал, или даже более узкую. Эти помехи называют сосредоточенными по спектру (рис. 7.19).

К сосредоточенным по спектру помехам относятся помехи посторонних радиостанций, генераторов высокой частоты различного назначения (медицинские, промышленные, бытовые и др.), переходные помехи от соседних каналов многоканальных систем. Обычно это гармонические или модулированные колебания с шириной спектра меньшей или соизмеримой с шириной спектра полезного сигнала. В диапазоне декаметровых волн такие колебания являются основным видом помех.

Воздействие сосредоточенной по спектру помехи

Поскольку далеко не всякий элемент сигнала принимается в присутствии сосредоточенной помехи, то вероятность ошибки можно выразить произведением:

где – вероятность того, что на вход решающей схемы поступила сосредоточенная помеха, а – условная вероятность того, что произойдет ошибка символа при воздействии сосредоточенной помехи, которая зависит от мощности сигнала, мощности сосредоточенной помехи, вида сигнала, частоты сигнала, частоты помехи и т.д. Для различных систем связи определены аналитические зависимости условной вероятности ошибок от названных факторов, эти зависимости можно найти в специальной литературе .

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в любых системах связи существует некоторое отношение , называемое порогом или коэффициентом помехоустойчивости, такое, что при условная вероятность ошибки . Если же отношение выше , то условная вероятность ошибки может быть велика. Экспериментальные исследования реальных приемников ЧМ показывают, что при ошибки не возникают, а при вероятность ошибки практически равна . Коэффициент различен для разных систем связи. Так, для когерентной системы с фазовой манипуляцией , для системы с амплитудной манипуляцией . Коэффициент может быть и значительно выше единицы, если используются широкополосные сигналы, занимающие полосу частот .

Воздействие импульсной помехи

Для вероятности ошибки, вызываемой импульсной помехой, также справедливо выражение (7.9), где под следует теперь понимать вероятность того, что за время существования элемента сигнала на вход решающей схемы поступил импульс помехи, а под – условную вероятность ошибочного приема символа, при условии прихода импульса помехи. Воздействие импульсной помехи на прием дискретных сигналов тоже носит пороговый характер. Если интенсивность импульсной помехи (на входе решающей схемы) меньше некоторой величины, то она не вызывает ошибок, т. е. . При увеличении интенсивности сверх этой величины условная вероятность ошибок быстро возрастает.