а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций, либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того, чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

1. Не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции).

2. Число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным.

Число экстремумов должно быть конечным.

Ряд Фурье может быть применён для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчёта коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Методы Фурье используются для анализа линейных схем или систем: для предсказания реакции (отклика) системы; для определения передаточной функции; для оценки результатов тестов.

Произвольный периодический сигнал выражается через бесконечное число гармоник с возрастающими частотами:

			основные члены;
			гармонические члены (при n > 1, n – целое число);
			коэффициенты гармоник;
			постоянный член или составляющая постоянного тока.

Период функции
должен равняться2π или кратной величине; кроме того функция
должна быть однозначной.Ряд Фурье можно рассматривать как «рецепт приготовления» любого периодического сигнала из синусоидальных составляющих. Чтобы данный ряд имел практическое значение, он должен сходиться, т.е. частичные суммы ряда должны иметь предел.

Процесс создания произвольного периодического сигнала из коэффициентов, описывающих смешивание гармоник, называется синтезом. Обратный процесс вычисления коэффициентов именуется анализом. Вычисление коэффициентов облегчается тем, что среднее от перекрёстных произведений синусоиды на косинусоиду (и наоборот) равно 0.

Введём в пространство Гильберта базис:
Для упрощения будем полагать, что он ортонормированный.

Тогда любую функцию
из пространства Гильберта можно представить через проекции вектора х на оси базиса обобщённым рядом Фурье:

Ряды Фурье особенно полезны при описании произвольных периодических сигналов с конечной энергией каждого периода. Кроме того, они могут использоваться для описания непериодических сигналов, имеющих конечную энергию за конечный интервал. На практике для описания таких сигналов используют интеграл Фурье.

Выводы

1. Для описания периодических сигналов широко применяется ряд Фурье. Для описания непериодических сигналов используют интеграл Фурье.

Заключение

1. Сообщения, сигналы и помехи как векторы (точки) в линейном пространстве можно описать через набор координат в заданном базисе.

2. Для ТЭС наибольший интерес при отображении сигналов представляет n-мерное пространство Евклида
, бесконечное пространство Гильберта
и дискретное пространство Хэмминга2 n . В этих пространствах вводится понятие скалярного произведения двух векторов (x , y ) .

3. Любую непрерывную функцию времени как элемент можно представить обобщенным рядом Фурье по заданному ортонормированному базису.

Литература

Основная:

Теория электрической связи: Учеб. Для вузов / А.Г. Зюко, Д. Д. Кловский, В.И. Коржик, М. В. Назаров; Под ред. Д. Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998. – 433 с.

Дополнительная:

Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.

Бернард Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 1104 с.

Сухоруков А.С. Теория электрической связи: Конспект лекций. Часть 1. – М.:МТУСИ, ЦЕНТР ДО, 2002. – 65 с.

Сухоруков А.С. Теория цифровой связи: Учебное пособие. Часть 2. – М.:МТУСИ, 2008. – 53 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системеMatLabи построить графики.

Постановка задачи.

Код программ для разложения последовательности прямоугольных импульсов, меандр, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов.

Результаты выполнения программ – графики промежуточных стадий суммирования.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному. Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ирассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для. Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.

Если
является четной функцией, то всебудут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если
является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициентыи в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностьюи периодом повторения.

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов

Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N= 8; % число ненулевых гармоник

t= -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A= 1; % амплитуда

T= 1; % период

nh= (1:N)*2-1; % номера ненулевых гармоник

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии :repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков.repmat(Am", 1,length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали иlength(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицейAm".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющейRows – строк,Cols – столбцов, иN – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	–амплитуда сигнала	–период повторения сигналов	–длительность сигнала	–число ненулевых гармоник

Цель работы: ознакомление со спектральным описанием периодических функций с помощью рядов Фурье.

Необходимые теоретические сведения. Разложение в ряд Фурье

Первым рассматриваемым сигналом будет последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой А , длительностью и периодом повторенияТ . Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса (рис.1).

Рис 1. - Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье- в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

Введем скважность
в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону
(см. рис. 2).График функции
имеет лепестковый характер. Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при
имеем
, если
). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности.

Рис. 2 - Коэффициенты ряда Фурье для последовательности прямоугольных импульсов.

Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов -
. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна
, то есть обратно пропорциональна длительности импульсов, т.е. чем короче сигнал, тем шире его спектр.

Важным частным случаем предыдущего сигнала является меандр (рис. 3) - последова­тельность прямоугольных импульсов со скважностью, равной
, когда дли­тельности импульсов и промежутков между ними становятся равными.

Рис. 3 - Меандр

,

где m – произвольное целое число.

Таким образом, в спектре меандра присутствуют только нечетные гармоники. Представление меандра в виде ряда Фурье с учетом этого может быть записано следующим образом:

Гармонические составляющие, из которых складывается меандр, имеют ампли­туды, обратно пропорциональные номерам гармоник, и чередующиеся знаки. На примыкающих к разрыву участках сумма ряда Фурье дает заметные пульса­ции. Это явление, присущее ря­дам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), называет­ся эффектом Гиббса. Можно показать, что амплитуда первого (самого большого) выброса составляет примерно 9 % от величины скачка.

Рисунок 4. Эффект Гиббса.

Пилообразный сигнал (рис. 5). в пре­делах периода описывается линейной функцией:

,
.

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

Рис. 5 - Пилообразный сигнал.

Периодическая последовательность треугольных импульсов имеет симметричную форму (рис. 6):

,
.

Рис. 6 - Последовательность треугольных импульсов.

Ряд Фурье имеет следующий вид:

Рассмотрим программу, реализующую разложение в ряд Фурье прямоугольной последовательности импульсов.

ЗАДАНИЕ1.

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

А 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

u(t) =

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.