Спиновые матрицы. Паули. Матрицы Паули. Собственные функции оператора спина электрона

Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином l / 2 в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду С 1 того, что z-компонента спинового момента количества движения равна +h/2, и амплитуду С 2 того, что она равна -h /2. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали |+> и |->. Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем менять их на |1 > и |2 >. Мы видели в последней главе, что когда частица со спином 1 / 2 и с магнитным моментом m, находится в магнитном поле В =(В x , В y , B z), то амплитуды С + (=C 1) и С - (=С 2) связаны сле­дующими дифференциальными уравнениями:

Иначе говоря, матрица-гамильтониан H ij имеет вид

конечно, уравнения (9.1) совпадают с

где i и j принимают значения + и - (или 1 и 2).

Эта система с двумя состояниями - спин электрона - на­столько важна, что очень полезно было бы найти для ее описа­ния способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильто­ниана пропорционален m, и некоторой компоненте В; поэтому (чисто формально) можно написать

Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты- их всего 4X3=12 - могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).

Посмотрим, почему это так. Начнем с B z . Раз В z встречается только в H 11 и H 22 , то все будет в порядке, если взять

Мы часто пишем матрицу H ij в виде таблички такого рода:

Для гамильтониана частицы со спином 1 / 2 в магнитном поле В -это все равно что

Точно так же и коэффициенты можно записать в виде матрицы

Расписывая коэффициенты при В х, получаем, что элементы матрицы s х должны иметь вид

Или сокращенно:

И наконец, глядя на B y , получаем

Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов i и j , мы отме­тили, какая а стоит при какой компоненте В , поставив индексы х, у, z сверху. Обычно, однако, i и j отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы х, у и z ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так:

Матрицы сигма так важны (ими беспрерывно пользуются),

что мы выписали их в табл. 9.1. (Тот, кто собирается работать

в квантовой физике, обязан запомнить их.) Их еще называют

спиновыми матрицами Паули - по имени физика, который

их выдумал.

Таблица 9.1 СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ

В таблицу мы включили еще одну матрицу 2X2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, о6a спиновых состояния которой имеют одинаковую энергию, или когда хотим перейти к другой нулевой энергии. В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять E 0 С + , а ко второму Е 0 С - . Это можно учесть, введя новое обозначение - единичную матрицу «1», или d ij:

переписав (9.8) в виде

Обычно просто понимают без лишних оговорок, что любая константа наподобие Е 0 автоматически умножается на еди­ничную матрицу, и тогда пишут просто

Одна из причин, отчего спиновые матрицы так полезны,- это что любая матрица 2x2 может быть выражена через них. Во всякой матрице стоят четыре числа, скажем

Ее всегда можно записать в виде линейной комбинации четы­рех матриц. Например,

Это можно делать по-всякому, но, в частности, можно сказать, что М состоит из какого-то количества s х плюс какое-то коли­чество а и т. д., и написать

где «количества» a, b, g и d в общем случае могут быть комплекс­ными числами.

Раз любая матрица 2X2 может быть выражена через единич­ную матрицу и матрицу сигма, то все, что может понадобиться для любой системы с двумя состояниями, у нас уже есть. Какой бы ни была система с двумя состояниями - молекула аммиака, краситель фуксин, что угодно,- гамильтоново уравнение может быть переписано в сигмах. Хотя в физическом случае электрона в магнитном поле сигмы кажутся имеющими геометрический смысл, но их можно считать и просто полезными матрицами, пригодными к употреблению во всякой системе с двумя состоя­ниями.

Например, один из способов рассмотрения протона и ней­трона - это представлять их как одну и ту же частицу в любом из двух состояний. Мы говорим, что нуклон (протон или нейтрон) есть система с двумя состояниями, в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние |1 > может представлять протон, а |2 > - нейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспина».

Поскольку мы будем применять матрицы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро познакомимся с соглашениями матричной алгебры. Под «суммой» двух или большего числа матриц подразумевается как раз то, что имелось в виду в уравнении (9.4).

Вообще если мы «складываем» две матрицы А и В, то «сумма» С означает, что каждый ее элемент C ij дается формулой

C ij =A ij +B ij .

Каждый элемент С есть сумма элементов А и В, стоящих на тех же самых местах.

В гл. 3, § 6, мы уже сталкивались с представлением о матрич­ном «произведении». Та же идея полезна и при обращении с мат­рицами сигма. В общем случае «произведение» двух матриц A и В (в этом именно порядке) определяется как матрица С с элементами

Это - сумма произведений элементов, взятых попарно из i -й строчки А и k -ro столбца В. Если матрицы расписаны в виде таблиц, как на фиг. 9.1, то можно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения.

Фиг. 9.1. Перемножение двух матриц.

Скажем, вы вычисляете С 23 . Вы двигаете левым указательным пальцем по второй строчке А, а правым - вниз по третьему столбцу В, перемножаете каждую пару чисел и складываете пары по мере движения. Мы попытались изобразить это на рисунке.

Для матриц 2X2 это выглядит особенно просто. Например, если s х умножается на s x , то выходит

т. е. просто единичная матрица. Или, для примера, подсчита­ем еще

Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица s x , умноженная на i. (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с s 2 х и s х s y .

С матрицами о связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы s х ., s y и s z подобны трем компонентам вектора; его иногда име­нуют «вектором сигма» и обозначают а. Это на самом деле «мат­ричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью х, у или z. С их по­мощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:

Таблица 9.2 ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИНОВЫХ МАТРИЦ

Хотя мы записали эти три матрицы в представлении, в кото­ром понятия «вверх» и «вниз» относятся к направлению z (так что s z выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что они изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться о в различных системах координат, как если бы это был вектор.

Вы помните, что гамильтониан Н связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состояний только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если записать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом m в магнитном поле В. Классически это выглядит так:

где m - свойство объекта, а В - внешнее поле. Можно вообра­зить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое m - мат­рицей (ms. Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соот­ветствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица. Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле В есть -m B . Это определяет вектор магнитного момента m. Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поле и пытаемся угадать, какие матрицы соответ­ствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических вели­чин появляются их квантовые двойники.

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице ms; может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же, не стоит: на самом-то деле они не равны. Кван­товая механика - это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают неко­торые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства - правила для за­поминания.

Иначе говоря, вы запоминаете (9.14), когда учите классиче­скую физику; затем если вы запомнили соответствие m®ms, то у вас есть повод вспомнить (9.13). Разумеется, природа знает квантовую механику, классическая же является всего лишь приближением, значит, нет ничего загадочного в том, что из-за классической механики выглядывают там и сям тени квантовомеханических законов, представляющих на самом деле их подоп­леку. Восстановить реальный объект по тени прямым путем ни­как невозможно, но тень помогает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) - это истина, а уравнение (9.14) - ее тень. Мы сперва учим классическую механику и поэтому нам хочется выводить из нее квантовые формулы, но раз и навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз возвращаться обратно к реальному миру и открывать правильные квантовомеханические уравнения. И когда они оказываются похожими на что-то классическое, мы радуемся. Если эти предостережения покажутся вам надоедливыми, если, по-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении классической физики к квантовой, то прошу прощения: сработал условный рефлекс преподавателя, который привык втолковы­вать квантовую механику студентам, никогда прежде не слыхав­шим о спиновых матрицах Паули. Мне всегда казалось, что они не теряют надежды, что квантовая механика как-то сможет быть выведена как логическое следствие классической механики, той самой, которую они старательно учили в прежние годы. (Может быть, они просто хотят обойтись без изучения чего-то нового.) Но, к счастью, вы выучили классическую формулу (9.14) всего несколько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсем правильна, так что, может быть, вы не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Спиновые матрицы как операторы

На сайте сайт читайте: "спиновые матрицы как операторы"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Двурядные комплексные постоянные эрмитовы матрицы коэффициентов. Введены В. Паули (W. Pauli, 1927), для описания спинового механич. момента (спина ) и магнитного момента

Электрона. Это уравнение корректным образом в нерелятивистском случае описывает частицы со спином (в единицах ) и может быть получено из Дирака уравнения при условии . В явном виде П. м. можно записать следующим образом:

Их собственные значения равны + 1, П. м. удовлетворяют следующим алгебраич. соотношениям:

Вместе с единичной матрицей s 0 = П. м. образуют полную систему матриц второго ранга, по к-рой может быть разложен произвольный линейный оператор (матрица) размерности 2. П. м. действуют на двухкомпонентные функции-спиноры , А = 1,2, преобразующиеся при вращении системы координат по линейному двузначному представлению группы вращений. При повороте на бесконечно малый угол вокруг оси с единичным направляющим вектором п, спинор преобразуется по формуле

Из П. м. можно образовать Дирака матрицы , 1, 2, 3:

П. м. изоморфны системе простейших гиперкомплексных чисел - кватернионов. Они используются всегда, когда элементарная частица имеет дискретный параметр, принимающий лишь два значения, напр. при описании изоспина нуклона (протон - нейтрон). Вообще П. м. используются не только для описания изотопич. пространства, но и в формализме группы внутренней симметрии SU (2). В этом случае П. м. являются генераторами Двузначного представлении группы SU (2) и обозначаются как . Иногда удобно пользоваться линейными комбинациями

В нек-рых случаях для релятивистски ковариантного описания двукомпонентных спинорных функций вместо П. м. вводятся связанные с ними матрицы с помощью следующего изоморфизма:

где знак обозначает комплексное сопряжение. Матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

где - компоненты метрич. тензора пространства Минковского с сигнатурой +2. Формулы (1) и (2) позволяют ковариантным образом обобщить П. м. на произвольное искривленное пространство

где g a b- компоненты метрич. тензора искривленного пространства.

Лит. : Паули В., Труды по квантовой теории, [пер. с нем., т. 1-2], М., 1975-77; Нелипа Н. Ф., Физика элементарных частиц, М., 1977; Бриль Д., Уилер Д ж., в кн.: Новейшие проблемы гравитации, М., 1961, с. 381- 427. В. Г. Кречет.

• - число r, такое, что определитель по крайней мере одной rx r -матрицы, полученной из данной матрицы удалением нек-рых строк и столбцов, отличен от нуля, а определители всех матриц размерности...

  Физическая энциклопедия

• - двурядные комплексные постоянные эрмитовы матрицы коэффициентов. Введены В. Паули, для описания спинового механич. момента и магнитного момента электрона...

  Математическая энциклопедия

• - квадратные матрицы Аи Водного порядка, связанные соотношением В=S-1AS, где S - какая-либо невырожденная матрица того же порядка. П. м. имеют один и тот же ранг, один п тот же определитель, один и тот же характеристич...

  Математическая энциклопедия

• - совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы...

  Математическая энциклопедия

• - одно из фундаментальных положений квантовой механики, согласно которому тождественные частицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии...

  Начала современного Естествознания

• - Прогрессивные матрицы Равена - батарея тестов, разработанная английским психологом Дж. Равеном в 1938 г. для диагностики уровня интеллекта - , основанная на работе наглядного мышления - по аналогии...

  Психологический словарь

• - Die radius - .Радиус внешнего края глубоковытяжной матрицы, над которой помещается тонколистовой материал...

  Словарь металлургических терминов

• - англ. progressive matrices, Raven; нем. Progressionsrnatrix von Raven...

  Энциклопедия социологии

• - сумма диагональных элементов матрицы...
• - алгоритм, применяемый при численном нахождении обратной матрицы. Как и в задаче решения линейных систем, методы численного обращения подразделяются на прямые и итерационные...

  Математическая энциклопедия

• - "...Электронная диафрагма - элемент конструкции ПЗС-матрицы, обеспечивающий автоматическую регулировку выдержки в зависимости от уровня освещенности...

  Официальная терминология

• - "...Электронный затвор - элемент конструкции ПЗС-матрицы, обеспечивающий возможность изменения времени накопления электрического заряда...

  Официальная терминология

• - квадратные матрицы А и В порядка n, связанные соотношением В = Р-1АР, где Р - какая-либо неособенная матрица того же порядка...

  Большая Советская энциклопедия

• - наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы...

  Большой энциклопедический словарь

• - упо/ры-ма/трицы, упо/ров-ма/триц, ед. упо/р-ма/трица, упо/ра-матри/цы,...

  Слитно. Раздельно. Через дефис. Словарь-справочник

• - ...

  Орфографический словарь-справочник

"ПАУЛИ МАТРИЦЫ" в книгах

Достойная жизнь для людей первой матрицы: Матрицы Блаженства и Покоя

автора Ангелайт

Достойная жизнь для людей первой матрицы: Матрицы Блаженства и Покоя Первая матрица – Матрица Блаженства и Покоя – полна своих достоинств, которыми мы пользуемся в повседневной жизни, даже не задумываясь о том, как у нас это получается. Однажды, когда моя машина была в

Достойная жизнь для людей второй матрицы: Матрицы Терпения и Накопления

Из книги Формула достойной жизни. Как построить свое благополучие с помощью Матриц Жизни автора Ангелайт

Достойная жизнь для людей второй матрицы: Матрицы Терпения и Накопления Вторая матрица – Матрица Терпения и Накопления – предоставляет нам свои возможности для достойной жизни. На первый взгляд кажется, что жизнь во второй матрице сложнее и труднее, чем во всех

Достойная жизнь для людей третьей матрицы: Матрицы Борьбы и Воплощения

Из книги Формула достойной жизни. Как построить свое благополучие с помощью Матриц Жизни автора Ангелайт

Достойная жизнь для людей третьей матрицы: Матрицы Борьбы и Воплощения Третья матрица – Матрица Борьбы и Воплощения – полна своих достоинств, особенно что касается достижения желаемого уровня жизни. Ведь именно энергия третьей матрицы позволяет нам стремиться к

Достойная жизнь для людей четвертой матрицы: Матрицы Успеха и Победы

Из книги Формула достойной жизни. Как построить свое благополучие с помощью Матриц Жизни автора Ангелайт

Достойная жизнь для людей четвертой матрицы: Матрицы Успеха и Победы Четвертая матрица – Матрица Успеха и Победы – очень привлекательна для многих людей благодаря своим особым достоинствам. Более всего притягательны победное достижение успеха и умение его

автора Ангелайт

Признаки первой матрицы – Матрицы Блаженства и Покоя

Признаки второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления

Из книги Карматерапия. Исцеление прошлых жизней автора Ангелайт

Признаки второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления Пришла очередь подробнее разобраться с признаками второй матрицы. Напомню, что мы исследуем с вами пары «проработанности-непроработанности» матриц, которые я отметил в таблице чуть ранее. Это нам нужно для того,

Признаки третьей матрицы – Матрицы Борьбы и Воплощения

Из книги Карматерапия. Исцеление прошлых жизней автора Ангелайт

Признаки третьей матрицы – Матрицы Борьбы и

Из книги Карматерапия. Исцеление прошлых жизней автора Ангелайт

Признаки четвертой матрицы – Матрицы Успеха и Победы

Программы первой матрицы – Матрицы Блаженства и Покоя

автора Ангелайт

Программы первой матрицы – Матрицы Блаженства и Покоя Определяя программы первой матрицы, нам нужно обязательно вспомнить присущие ей свойства, ее признаки. Несмотря на то что все люди разные, эти признаки свойственны всем нам в какой-то степени. То есть все мы добрые,

Программы второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Программы второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления Мы с вами не раз убеждались в том, что вторая матрица содержит много положительных качеств, которые улучшают нашу жизнь. Конечно, если мы правильно пользуемся энергией этой матрицы.Итак, основные позитивные

Программы третьей матрицы – Матрицы Борьбы и Воплощения

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Программы третьей матрицы – Матрицы Борьбы и Воплощения Третья матрица наполнена большим количеством положительных качеств, которые соответствуют позитивным программам подсознания. Мы с вами затронем обсуждение только некоторых из них, что позволит нам составить в

Особенности человека первой матрицы – Матрицы Блаженства и Покоя

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Особенности человека первой матрицы – Матрицы Блаженства и Покоя Человек этого типа ведет себя чаще всего как ребенок. Мы можем обнаружить в поведении первоматричного человека чрезвычайную расслабленность и глубокое невинное спокойствие в любой ситуации. А любое

Особенности человека второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Особенности человека второй матрицы – Матрицы Терпения и Накопления Второматричный человек обычно терпелив и сдержан, что иногда выглядит как замкнутость в себе. Но нужно показать ему, что вы для него не опасны, что позволит ему открыться вам, и вы сможете тогда общаться.

Особенности человека третьей матрицы – Матрицы Борьбы и Воплощения

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Особенности человека третьей матрицы – Матрицы Борьбы и Воплощения Человек третьей матрицы по своему характеру борец. Его поведением управляют принципы, которыми он и руководствуется по жизни. Принципиальность считается высоким моральным качеством, и добиваться

Особенности человека четвертой матрицы – Матрицы Успеха и Победы

Из книги Красота вашего подсознания. Программируй себя на успех и позитив автора Ангелайт

Особенности человека четвертой матрицы – Матрицы Успеха и Победы Четырехматричный человек полностью удовлетворен, потому что в своей жизни он достигает всего и обретает характер победителя. В идеальном случае вся жизнь такого человека превращается в праздник, ведь в

Рассмотрим электрон со спином . Тогда матрицы, которые будут представлять спиновые моменты имеют размерность

.

Рассмотрим представление (или- представление). Рассмотрим в этом представлении матрицу
Это оператор в матричном представлении.

Мы помним, что в матричном представлении ядро оператора имело вид

Тогда для нашего представления имеем:

Аналогично матрицы

,

,

.

ине диагональные матрицы, тогда эти величины содновременно не измеримы. По главной диагонали стоят собственные значения.

Вводятся матрицы
. Это матрицы Паули.

,

,

.

Легко показать, что

Или на языке операторов

А коммутаторы:

,

.

Тогда так как
, то получим

При
:

При
получаем

.

§ 40. Принцип тождественности

Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.

Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.

Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m,e,s, …). Мы не можем в квантовой механике ввести траекторию, тогда не можем различить одинаковые частицы.

Например, в электронном газе не отдельные частицы, а целый ансамбль. В такой системе – тождественные частицы.

В ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.

Т. к. частицы идентифицировать невозможно, то мы не можем различить состояния, которые вызваны перестановкой частиц.

§ 41. Оператор перестановки и его свойства

Введем обозначениеоператор, который осуществляет перестановкуa-ой иb-ой частицы из ансамбля одинаковых частиц.

Оператор для таких систем из одинаковых частиц обладает симметрией.

Так как частицы одинаковые, то они имеют одинаковую энергию взаимодействия, т. е. она инвариантна относительно перестановки.

Т. е. можно записать

(50.1)

Так как оператор явным образом от времени не зависит, то из (50.1) следует, что он является интегралом движения. Его собственные значения сохраняются.

Найдем собственные значения оператора .

Запишем задачу на собственные функции и собственные значения:

(50.2)

При повторном действии оператора , получим:

С учетом (50.2):

Тогда из (50.3)

,
.

Получаем частицы с симметричными и антисимметричными волновыми функциями: бозоны и фермионы.

Кроме того, оператор - это интеграл движения. Тогда его собственные значения сохраняются во времени. Т. е. свойства волновых функций, связанных с действием этого оператора тоже сохраняются.

Функции отвечающие собственному значению +1 называются симметричными, описывают симметричные состояния.

Аналогично

Это антисимметричная функция.

Свойства симметричности и антисимметричности называются интегралами движения, т. е. сохраняются. Ансамбль не может переходить из одного состояния в другое (т. е. из симметричного в антисимметричное и наоборот).

Симметричные функции описывают состояние систем с целым спином, т. е. ансамбль бозонов.

Антисимметричные функции – ансамбль фермионов.

,

,

,
.

Мы будем рассматривать стационарные состояния, т. е.

,

.

Стационарные функции удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера

,

так как операторы икоммутируют, то

.

Если всего N частиц, то можно осуществитьN ! перестановок, тогда имеемN ! возможных функций
.

Так как все
удовлетворяют уравнению Шредингера при одной и той же энергии , то мы получили вырождение. Оно носит фиктивный характер. Для того чтобы избавиться от этого вырождения проведем симметризацию функций.

Свойства матриц Паули

А. Все матрицы Паули, как матрицы операторов физических величин являются эрмитовыми.

Б. Для всех матриц Паули выполнено условие , где 1 – единичная матрица. Это можно проверить непосредственно. Это утверждение есть следствие того факта, что квадрат проекции спина частицы со спином ½ в любом состоянии имеет определенное значение (т.к. есть две возможности для проекции спина +1/2 и –1/2, а квадраты обоих этих чисел – ¼).

В.

Г. Любая матрица (2 2) может быть представлена в виде: . Это связано с тем, что единичная матрица и три матрицы Паули () образуют полный набор матриц (2 ), так как пространство таких матриц четырехмерно – матрица определяется заданием четырех чисел, поэтому любые четыре линейно независимые матрицы будут образовывать базис в пространстве таких матриц).

Д. . В частности, , т.е. они антикоммутируют. Алгебра (так называют правила умножения матриц) очень простая - при перестановке матриц просто меняется знак их произведения.

Е. Поскольку матрицы Паули связаны с операторами проекции спина 7на координатные оси для них выполнены обычные коммутационные соотношения для операторов проекций момента на координатные оси

Рассмотрим теперь такой вопрос. Пусть частица находится в состоянии

(10)

Какие значения может принимать в этом состоянии проекция спина на ось и с какими вероятностями? Для ответа на этот вопрос необходимо найти собственные функции оператора и разложить по ним функцию (10).

Решаем уравнение (11)

Система однородных алгебраических уравнений (12) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю

Отсюда находим возможные значения проекций спина на ось (которые, как это и должно быть, равны возможным значениям проекции спина на ось ):

(14)

Подставляя теперь собственные значения (14) в систему уравнений (12), находим собственные функции

(15)

(множители возникли из условия нормировки).

Разложим теперь функцию (10) по собственным функциям (15). Это разложение имеет следующий вид

(16)

Отсюда согласно постулатам квантовой механики находим вероятности различных значений проекции спина на ось в состоянии (10):

(17)

Из формул (17), в частности, следует, что если частица находится в состоянии с определенной проекцией спина на ось ( или ), то вероятности различных значений проекции спина на ось одинаковы, что находится в соответствии с общим результатом, полученным ранее для собственных состояний операторов момента импульса в квантовой механике. В заключение отметим, что из формул (17) для вероятностей следует, что среднее значений проекции спина на ось равно

Мы показали, что каждому направлению спина в квантовой механике соответствует тот или иной вектор состояния. Откуда же берутся численные значения векторов состояния для направлений тех или иных осей? Оказывается, что

любой измеряемой величине в квантовой механике соответствует матрица,

Заметили симметрию матриц? Это не случайно. Измеряемым величинам соответствуют только эрмитовы матрицы. Их собственные значения и диагональные элементы – это действительные числа, а остальные элементы симметричны относительно диагонали и являются комплексно-сопряженными друг другу.

Теперь мы даже можем посчитать вероятность измерения того или иного значения спина электрона относительно любой оси, а не только взаимно перпендикулярных x , y и z . Также как обычный вектор \(\displaystyle v\) можно разложить по трем базисным с соответствующими координатами \(\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}\), матрицу измерения спина относительно любой оси можно составить из матриц Паули:

\(\displaystyle
\hat{\sigma}\cdot \boldsymbol{v}=v_{x}\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 &0
\end{pmatrix}+v_{y}\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i &0
\end{pmatrix}+v_{z}\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 &-1
\end{pmatrix}\)
где \(\displaystyle v_{x}, v_{y},v_{z}\) – координаты обычного вектора \(\displaystyle v\), указывающего направление оси (просто числа).
Давайте, например, найдем вероятность того, что электрон со спином «вверх» относительно оси y окажется со спином «вверх» относительно повернутой на 45° оси в плоскости x —y .
Электрон со спином «вверх» относительно оси y описывается собственным вектором матрицы \(\displaystyle \hat{\sigma _{y}} \) с собственным значением +1. Мы его :

\(\displaystyle
|\rightarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{1}\)

Вектор, повернутый на 45° это, например, вектор (обычный) с координатами \(\displaystyle (1, 1, 0)\) или \(\displaystyle (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)\) если привести его длину к единице. Матрица, соответствующая измерению спина относительно этой оси равна:

\(\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 &0
\end{pmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i &0
\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 & 1-i\\
1+i &0
\end{pmatrix}\)

Ее собственный вектор с собственным значением +1 это:

\(\displaystyle
|\nearrow\rangle = \binom{0.5-0.5i}{\sqrt{2}}\)

Для нахождения вероятности возвести в квадрат абсолютное значение амплитуды вероятности:

\(p=|\langle\nearrow|\rightarrow\rangle |^{2}\approx 0.8536\)

Интуитивно можно было бы предположить, что если при угле 0° отклоняется 100% электронов, а при угле 90° отклоняется 50%, то при угле 45° должно отклонится 75%=100-50/2. Интуиция предпочитает линейную аппроксимацию. Правильный результат: 85.36%. И он совпадает с аналитическим выражением:

\(\displaystyle p=\frac{1+cos(\alpha)}{2}\approx 0.8536\) при \(\displaystyle \alpha=\frac{\pi }{4}\)

Видите, откуда-то из матриц косинус вдруг появился. Так классическая механика следует из квантовой.

В квантовой механике также широко распространено употребление понятия оператор. Оператор - это абстрактный математический объект, который в конкретном численном выражении может быть представлен матрицей (в том числе бесконечномерной). Как и вектор, который через координаты может быть по-разному записан в зависимости от базиса или системы координат, один и тот же оператор может быть выражен разными матрицами. Операторы часто обозначают шапочкой наверху как мы сделали выше для операторов спина \(\displaystyle \hat{\sigma}\) (сигма. греческая s . spin.). А иногда вообще ничем не выделяют – операторы в квантовой механике чаще используются чем обычные переменные, поэтому по умолчанию любая буква – это оператор.

Важным взаимным свойством двух операторов является коммутируемость . Известно, что порядок умножения матриц имеет значение. Так вот, если \(\displaystyle \hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}\) говорят, что операторы коммутируют (коммутатор равен нулю). Проверьте, что для любых пар операторов \(\displaystyle\hat{\sigma _{z}},\hat{\sigma _{y}},\hat{\sigma _{x}}\) это не так. Они не коммутируют. В квантовой механике этому есть физическая интерпретация:

величины, операторы которых не коммутируют, нельзя измерить одновременно.

Нельзя одновременно измерить спин относительно двух осей. В случае операторов координаты и импульса данный факт больше известен как принцип неопределенности Гейзенберга.