В данной статье речь пойдет о спектре сигнала с угловой модуляцией. Сначала рассмотрим однотональную угловую модуляцию, после чего рассмотрим более общий случай при произвольном модулирующем сигнале. Необходимо отметить, что в аналитическом виде можно получить выражение для спектра только в случае однотональной угловой модуляции.

Предварительно приведем некоторые математические соотношения из теории функций Бесселя и комплексных чисел, которые будут нам необходимы при анализе.

В математике доказывается, что функция раскладывается в бесконечный ряд:

(1)

Где - функция Бесселя первого рода целого порядка аргумента , - мнимая единица. Аналогично функция представляется рядом:

Вспомним из теории комплексных функций что:

Где - модулирующий сигнал, - индекс фазовой модуляции, - несущая частота, - случайная начальная фаза несущего колебания. Рассмотрим случай однотональной фазовой модуляции, когда где - частота модулирующего сигнала, - начальная фаза модулирующего сигнала. Тогда

Разложим на три суммы:

Возьмем теперь реальную часть:

(12)

Анализ спектра сигнала с однотональной угловой модуляцией

Теперь разбираемся. Спектр бесконечен и состоит из гармоник кратных частоте модулирующего сигнала вправо и влево от центральной частоты. Амплитуды гармоник зависят от индекса модуляции . При этом пять слагаемых показывают поведение спектра.

Первое слагаемое показывает, что амплитуды четных гармоник ниже центральной частоты равны , при этом фаза этих гармоник равна , при этом каждая четвертая гармоника, начиная со второй (2,6,10,14,18... гармоники) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для первого слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 малиновым цветом.

Второе слагаемое показывает амплитуды и фазы нечетных гармоник ниже центральной частоты. Амплитуды нечетных гармоник ниже центральной частоты равны , а фазы . Сдвиг фазы на из-за того, что во вторую сумму входят синусы, а не косинусы. Как и в первом слагаемом каждая четвертая гармоника, начиная с первой (1,5,9,13,17...) приобретает сдвиг на из-за множителя . Амплитудный и фазовый спектры для второго слагаемого сигнала представлены на рисунке 1 синим цветом.

Третье слагаемое показывает гармонику несущей частоты. Ее амплитуда , фаза . На рисунке 1 гармоника центральной частоты — черная.

Четвертое слагаемое показывает амплитуды и фазы четных гармоник выше центральной частоты. Амплитуды такие же как и у четных гармоник ниже центральной частоты, а фазы равны , причем уже известный множитель сдвигает каждую четвертую фазу на , начиная со второй. На рисунке 1 гармоники четвертого слагаемого показаны красным цветом.

И наконец последнее пятое слагаемое соответствует нечетным гармоникам выше центральной. Амплитуды те же что и у нечетных гармоник ниже центральной частоты, фазы равны . Сдвиг фазы на из-за того, что в сумму входят синусы, а не косинусы, ну и конечно же каждая четвертая гармоника сдвинута на начиная с первой. На рисунке 1 гармоники пятого слагаемого показаны зеленым.

Рисунок 1: Амплитудный и фазовый спектры сигнала с фазовой модуляцией при m = 10

Несколько комментариев к рисунку 1. Полоса сигнала с угловой модуляцией по уровню 0,5 (-3 дБ) зависит от индекса модуляции и частоты модулирующего сигнала:

(13)

Где - девиация частоты. Чем выше частота модулирующего сигнала и чем выше индекс модуляции, тем полоса сигнала шире. Из рисунка 1 хорошо видно, что при ровно 10 гармоник справа и слева имеют амплитуду выше половины максимума. На фазовом спектре показаны параллельные прямые проведенные через фазовый спектр касающиеся каждую четвертую гармонику и показывающие сдвиг фаз при изменении номера гармоники. При этом необходимо отметить, что приведенный на рисунке 1 фазовый спектр не учитывается периодичность фазы. Фазовый спектр с учетом периодичности фазы представлен на рисунке 2.

Рисунок 2: Фазовый спектр с учетом периодичности фазы

При этом полученный спектр с однотональной фазовой модуляцией при частоте модулирующего сигнала и индексе модуляции соответствует спектру сигнала с однотональной частотной модуляцией при девиации частоты Таким образом, однотональная фазовая и частотная модуляции неотличимы. Различия будут наблюдаться если частота модулирующего сигнала будет меняться. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пусть имеется модулирующий сигнал с частотой 10 кГц.

(14)

Рассмотрим два сигнала - PM сигнал и - FM сигнал. Девиацию фазы при PM зададим , девиацию частоты при FM зададим . Несущую частоту обоих сигналов зададим равной

Амплитудные спектры FM и PM сигналов при данных параметрах приведены на рисунке 3.

Рисунок 3: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 10 кГц

Амплитудные спектры получились одинаковые, так как при заданных параметрах FM сигнала получаем девиацию фазы FM сигнала как у PM . Таким образом, получили сигналы в полосе 200 кГц с одинаковым количеством гармоник справа и слева от несущей .

Теперь уменьшим частоту модулирующего сигнала в 2 раза, то есть Несущую частоту, а также девиацию частоты и фазы не меняем. Амплитудные спектры в этом случае приведены на рисунке 4.

Рисунок 4: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 5 кГц

Спектры изменились. Давайте разберемся. Шаг между гармониками уменьшился в 2 раза (по сравнению с рисунком 3), так как шаг между гармониками равен частоте модулирующего сигнала, а она уменьшилась в 2 раза.

Поскольку при FM задается девиация частоты, то полоса FM сигнала не изменилась по сравнению с полосой FM сигнала на рисунке 3. Поскольку девиация частоты и девиация фазы связаны соотношением то девиация фазы при FM выросла в 2 раза за счет уменьшения частоты модулирующего сигнала (девиация частоты при FM не может изменятся).

Действительно, количество гармоник в полосе сигнала FM увеличилось в 2 раза. В PM, наоборот, задается девиация фазы, то есть количество гармоник в спектре, поэтому при уменьшении расстояния между гармониками девиация частоты PM сигнала уменьшается, в данном случае в 2 раза по сравнению с рисунком 3. Спектр PM как бы сжался по оси частот, не изменив формы, а спектр FM наоборот приобретает больше гармоник. Если же еще уменьшить частоту модулирующего колебания например до 2 кГц, то спектр FM останется таким же широким, так как девиация частоты не изменилась, но будет еще более насыщен гармониками, так как девиация фазы будет равна спектр PM же еще более «сожмется» оставив тоже количество гармоник. Девиация частоты при PM будет всего В этом можно убедится рассмотрев рисунок 5.

Рисунок 5: Спектры FM и PM сигналов при частоте модулирующего сигнала 2 кГц

Общий случай спектра сигнала с угловой модуляцией

В случае однотональной угловой модуляции спектр сигнала симметричен, однако в общем случае спектр сигнала с угловой модуляцией не является симметричным. Симметричность спектра возникает в том случае, когда форма модулирующего сигнала сверху и снизу будет одинакова на рисунке приведен пример модулирующего сигнала, угловая модуляция которого приведет к несимметричному относительно центральной частоты спектру. В обоих случаях центральная частота равна 200кГц.

Рисунок 6: Несимметричный спектр FM и PM сигнала

Из рисунка явно видно, что спектры FM и PM сигналов несимметричны относительно 200 кГц, также формы спектров явно различаются. Несимметричность спектров сигналов с угловой модуляцией приводит к тому, что невозможно осуществить однополосную угловую модуляцию.

Выводы

Таким образом, мы получили аналитическое выражение для спектра сигнала с угловой модуляцией рассмотрели разницу FM и PM сигналов при изменении частоты модулирующего сигнала, а также показали несимметричность спектра сигнала с угловой модуляции при произвольном модулирующим сигнале.

Амплитудно-модулированные сигналы и их спектры

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда несущего сигнала подвергается воздействию сигнала сообщения. Мгновенное значение АМ колебания с гармонической несущей может быть записано в виде

где U m (t) – «переменная амплитуда» или огибающая амплитуд;

– круговая частота несущего сигнала;

– начальная фаза несущего сигнала.

«Переменная амплитуда» U m (t) пропорциональна управляющему сигналу (сигналу сообщения) U с (t):

, (2.17)

где U m 0 – амплитуда несущего сигнала до амплитудной модуляции, то есть поступающего на модулятор;

– коэффициент пропорциональности.

При модуляции несущего сигнала сигналом сообщения необходимо обеспечить, чтобы U m (t) была величиной положительной. Это требование выполняется выбором коэффициента .

Для исключения влияния переходных процессов в радиоэлектронной цепи модулятора и других цепях преобразования модулированного сигнала на спектр сигнала сообщения необходимо выполнение следующего условия: наивысшая по частоте спектральная составляющая в ограниченном спектре сигнала сообщения должна иметь частоту , – что обеспечивается выбором частоты несущего сигнала.

На рис. 2.10 и 2.11 показаны два примера построения графиков АМ колебаний. На рисунках изображены следующие графики:

а – сигнал сообщения u c (t);

б – несущий сигнал u 0 (t);

в – огибающая амплитуд U m (t);

г – АМ сигнал u(t).

Для понимания образования спектра АМ сигнала рассмотрим простой случай: однотональное амплитудно-модулированное колебание. В этом случае модулирующий сигнал является гармоническим (однотональным):

с амплитудой U mc , частотой и начальной фазой .

Огибающая амплитуд однотонального АМ колебания имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды. Мгновенное значение однотонального АМ колебания

Отношение называется коэффициентом глубины модуляции или просто коэффициентом модуляции . Так как U m (t)> 0, то 0< m< 1. Часто m измеряют в процентах, тогда 0< m< 100%. С учетом введения коэффициента модуляции однотональное модулированное колебание запишем в виде:

Графики, поясняющие процесс однотональной амплитудной модуляции, приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Однотональная амплитудная модуляция

Для нахождения спектра однотонального амплитудно-модулированного сигнала необходимо сделать следующие преобразования:

(2.20)

При выводе выражения (2.20) использована тригонометрическая формула

Таким образом, при однотональной амплитудной модуляции несущего сигнала спектр содержит три составляющие: одна на несущей частоте имеет амплитуду U m 0 и две на боковых частотах с амплитудами mU m 0 /2, зависящими от коэффициента модуляции; при m< 1 их амплитуды составляют не более половины амплитуды несущей гармоники. Начальные фазы колебаний боковых спектральных составляющих отличаются от начальной фазы на величину . На рис. 2.13 показаны графики АЧС и ФЧС однотонального амплитудно-модулированного колебания.

Рис. 2.13. Спектр однотонального амплитудно-модулированного колебания

Из анализа спектра следует, что АЧС является четным относительно частоты , а ФЧС нечетным относительно точки с координатами ( , ).

При условии все составляющие спектра являются высокочастотными, следовательно, такой сигнал может эффективно передаваться с помощью ЭМВ.

Рассмотрим энергетические параметры однотонального АМ сигнала. Средняя за период несущего сигнала мощность, выделяемая на единичном сопротивлении,

В отсутствии модуляции эта мощность равна

а при модуляции изменяется в пределах от

.

Если m=100%, то , а P min = 0. Средняя мощность сигнала за период модуляции будет складываться из мощностей спектральных составляющих

В случае m=100% Р ср = 1,5Р 0 .

Перейдем к рассмотрению общего случая к так называемому многотональному АМ сигналу. Модулирующий сигнал, то есть сигнал сообщения, имеет спектр вида (1.22)

.

Огибающая амплитуд имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды n-ой гармоники модулирующего сигнала.

Выражение для многотонального АМ сигнала примет следующий вид:

(2.23)

где – коэффициент модуляции n-ой гармоники модулирующего сигнала. Применяя аналогичные, как это было сделано для однотональной амплитудной модуляции, тригонометрические преобразования, получим

(2.24)

Выражение (2.24) представляет спектр амплитудно-модулированного сигнала. Относительно колебания с частотой имеют место два ряда составляющих с верхними и нижними боковыми частотами. Эти составляющие образуют так называемые верхнюю и нижнюю боковые полосы спектра.

Передать весь спектр АМ сигнала по каналу информации невозможно по следующим причинам. Во-первых, нельзя создать идеальную линейную цепь в области частот , см. п.1.4. Во-вторых, при увеличении полосы пропускания линейной цепи может уменьшиться отношение мощности сигнала к мощности шумов (см. п.1.5). В-третьих, полоса пропускания, по возможности, должна быть минимальной, чтобы в заданном частотном диапазоне работало как можно больше радиолиний (радиоканалов), не влияющих друг на друга, то есть не создающих друг другу помех. Следовательно, спектр сигнал ограничивается частотой , наиболее удаленной от частоты несущего сигнала. На рис. 2.14 приведенный амплитудный спектр АМ сигнала. Ширина спектра определяется максимальной частотой в спектре модулирующего сигнала и составляет 2 . Примерные значения ширины спектра для некоторых АМ сигналов представлены в табл. 1.1.

Анализ характеристик сигналов с угловой модуляцией мы начнём с рассмотрения однотональной частотной модуляции. Управляющий сигнал в этом случае представляет собой колебание единичной амплитуды (к этому виду всегда можно привести )

, (4.29)

а модулируемым параметром несущего колебания является мгновенная частота. Тогда, подставляя (4.29) в (4.24), получим:

Выполнив операцию интегрирования, приходим к следующему выражению сигнала однотональной частотной модуляции

Отношение

называется индексом частотной модуляции и имеет физический смысл части девиации частоты , приходящуюся на единицу частоты модулирующего сигнала. Так например, если девиация частоты несущего колебания МГц составляет , а частота управляющего сигнала кГц, то индекс частотной модуляции составит . В выражении (4.30) начальная фаза не учитывается как не имеющая принципиального значения.

Временная диаграмма сигнала при однотональной ЧМ представлена на рис. 4.7

Рассмотрение спектральных характеристик ЧМ-сигнала начнём с частного случая малого индекса частотной модуляции . Воспользовавшись соотношением

представим (4.30) в виде

Поскольку , то можно воспользоваться приближёнными представлениями

и выражение (4.31) приобретает вид

Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением

и полагая и , получим:

Это выражение напоминает выражение (4.6) для однотонального АМ – сигнала. Отличие состоит в том, что, если в однотональном АМ – сигнале начальные фазы боковых составляющих одинаковы , то в однотональном ЧМ сигнале при малых индексах частотной модуляции они отличаются на угол , т.е. находятся в противофазе.

Спектральная диаграмма такого сигнала показана на рис. 4.8

В скобках указаны значения начальной фазы боковых составляющих. Очевидно, ширина спектра ЧМ – сигнала при малых индексах частотной модуляции равна

.

Сигналы с частотной модуляцией с малым в практической радиотехнике применяются достаточно редко.

В реальных радиотехнических системах индекс частотной модуляции существенно превышает единицу.

Так например, в современных аналоговых системах мобильной связи, использующих для передачи речевых сообщений сигналы частотной модуляции при верхней частоте речевого сигнала кГц и девиации частоты кГц, индекс , как нетрудно убедиться, достигает значения ~3-4. В системах же радиовещания метрового диапазона индекс частотной модуляции может превышать значения, равного 10. Поэтому рассмотрим спектральные характеристики ЧМ сигналов при произвольных значениях величины .

Возвратимся к выражению (4.32). Известны следующие виды разложения

где – фунция Бесселя первого рода -го порядка.

Подставляя эти выражения в (4.32), после несложных, но довольно громоздких преобразований с использованием уже неоднократно упомянутых выше соотношений произведений косинусов и синусов, получим

(4.36)

где .

Полученное выражение представляет собой разложение однотонального ЧМ – сигнала на гармонические составляющие, т.е. амплитудный спектр. Первое слагаемое этого выражения является спектральной составляющей колебания несущей частоты с амплитудой . Первая сумма выражения (4.35) характеризует боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. нижнюю боковую полосу, а вторая сумма – боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. верхнюю боковую полосу спектра.

Спектральная диаграмма ЧМ – сигнала при произвольном представлена на рис. 4.9.

Проанализируем характер амплитудного спектра ЧМ – сигнала. В первую очередь отметим, что спектр является симметричным относительно частоты несущего колебания и теоретически является бесконечным.

Составляющие боковых боковых полос расположены на расстоянии Ω друг от друга, а их амплитуды зависят от индекса частотной модуляции. И наконец, у спектральных составляющих нижней и верхней боковых частот с чётными индексами начальные фазы совпадают, а у спектральных составляющих с нечётными индексами отличаются на угол .

В таблице 4.1 приведены значения функции Бесселя для различных i и . Обратим внимание на составляющую несущего колебания . Амплитуда этой составляющей равна . Из таблицы 4.1 следует, что при амплитуда , т.е. спектральная составляющая несущего колебания в спектре ЧМ – сигнала отсутствует. Но это не означает отсутствия несущего колебания в ЧМ – сигнале (4.30). Просто энергия несущего колебания перераспределяется между составляющими боковых полос.

Таблица 4.1

Как уже подчёркивалось выше спектр ЧМ – сигнала теоретически является бесконечным. На практике же полоса пропускания радиотехнических устройств всегда ограничена. Оценим практическую ширину спектра, при котором воспроизведение ЧМ – сигнала можно считать неискажённым.

Средняя мощность ЧМ – сигнала определяется как сумма средних мощностей спектральных составляющих

Проведённые расчёты показали, что около 99% энергии ЧМ – сигнала сосредоточено в частотных составляющих с номерами . А это означает, что частотными составляющими с номерами можно пренебречь. Тогда практическая ширина спектра при однотональной ЧМ с учётом его симметрии относительно

а при больших значения

Т.е. равна удвоенной девиации частоты.

Таким образом, ширина спектра ЧМ – сигнала приблизительно в раз больше ширины спектра АМ – сигнала. Вместе с тем, для передачи информации используется вся энергия сигнала. В этом состоит преимущества сигналов частотной модуляции над сигналами амплитудной модуляции.

Общие сведения о модуляции

Модуляция — это процесс преобразования одного или нескольких информационных параметров несущего сигнала в соответствии с мгновенными значениями информационного сигнала.

В результате модуляции сигналы переносятся в область более высоких частот.

Использование модуляции позволяет:

• согласовать параметры сигнала с параметрами линии;
• повысить помехоустойчивость сигналов;
• увеличить дальность передачи сигналов;
• организовать многоканальные системы передачи (МСП с ЧРК).

Модуляция осуществляется в устройствах модуляторах . Условное графическое обозначение модулятора имеет вид:

Рисунок 1 - Условное графическое обозначение модулятора

При модуляции на вход модулятора подаются сигналы:

u(t) — модулирующий , данный сигнал является информационным и низкочастотным (его частоту обозначают W или F);

S(t) — модулируемый (несущий) , данный сигнал является неинформационным и высокочастотным (его частота обозначается w 0 или f 0);

Sм(t) — модулированный сигнал , данный сигнал является информационным и высокочастотным.

В качестве несущего сигнала может использоваться:

• гармоническое колебание, при этом модуляция называется аналоговой или непрерывной ;
• периодическая последовательность импульсов, при этом модуляция называется импульсной ;
• постоянный ток, при этом модуляция называется шумоподобной .

Так как в процессе модуляции изменяются информационные параметры несущего колебания, то название вида модуляции зависит от изменяемого параметра этого колебания.

1. Виды аналоговой модуляции:

• амплитудная модуляция (АМ), происходит изменение амплитуды несущего колебания;
• частотная модуляция (ЧМ), происходит изменение частоты несущего колебания;
• фазовая модуляция (ФМ), происходит изменение фазы несущего колебания.

2. Виды импульсной модуляции:

• амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) , происходит изменение амплитуды импульсов несущего сигнала;
• частотно-импульсная модуляция (ЧИМ) , происходит изменение частоты следования импульсов несущего сигнала;
• Фазо-импульсная модуляция (ФИМ) , происходит изменение фазы импульсов несущего сигнала;
• Широтно-импульсная модуляция (ШИМ) , происходит изменение длительности импульсов несущего сигнала.

Амплитудная модуляция

Амплитудная модуляция — процесс изменения амплитуды несущего сигнала в соответствии с мгновенными значениями модулирующего сигнала.

амплитудно-модулированного (АМ) сигнала при гармоническом модулирующем сигнале. При воздействии модулирующего сигнала

u (t )= Um u sin ? t (1)

на несущее колебание

S (t )= Um sin (? 0 t + ? ) (2)

происходит изменение амплитуды несущего сигнала по закону:

Uам(t)=Um+ а ам Um u sin ? t (3)

где а ам — коэффициент пропорциональности амплитудной модуляции.

Подставив (3) в математическую модель (2) получим:

Sам(t)=(Um+ а ам Um u sin ? t) sin(? 0 t+ ? ). (4)

Вынесем Um за скобки:

Sам(t)=Um(1+ а ам Um u /Um sin ? t) sin (? 0 t+ ? ) (5)

Отношение а ам Um u /Um = m ам называется коэффициентом амплитудной модуляции . Данный коэффициент не должен превышать единицу, т. к. в этом случае появляются искажения огибающей модулированного сигнала называемые перемодуляцией . С учетом m ам математическая модель АМ сигнала при гармоническом модулирующем сигнале будет иметь вид:

Sам(t)=Um(1+m ам sin ? t) sin(? 0 t+ ? ). (6)

Если модулирующий сигнал u(t) является негармоническим, то математическая модель АМ сигнала в этом случае будет иметь вид:

Sам(t)=(Um+ а ам u(t)) sin (? 0 t+ ? ) . (7)

Рассмотрим спектр АМ сигнала для гармонического модулирующего сигнала. Для этого раскроем скобки математической модели модулированного сигнала, т. е. представим его в виде суммы гармонических составляющих.

Sам(t)=Um(1+m ам sin ? t) sin (? 0 t+ ? ) = Um sin (? 0 t+ ? ) +

+m ам Um/2 sin((? 0 — ? ) t+ j ) — m ам Um/2 sin((? 0 + ? )t+ j ). (8)

Как видно из выражения в спектре АМ сигнала присутствует три составляющих: составляющая несущего сигнала и две составляющих на комбинационных частотах. Причем составляющая на частоте ? 0 —? называется нижней боковой составляющей , а на частоте ? 0 + ? — верхней боковой составляющей. Спектральные и временные диаграммы модулирующего, несущего и амплитудно-модулированного сигналов имеют вид (рисунок 2).

Рисунок 2 - Временные и спектральные диаграммы модулирующего (а), несущего (б) и ампдтудно-модулированного (в) сигналов

D? ам =(? 0 + ? ) — (? 0 — ? )=2 ? (9)

Если же модулирующий сигнал является случайным, то в этом случае в спектре составляющие модулирующего сигнала обозначают символически треугольниками (рисунок 3).

Составляющие в диапазоне частот (? 0 — ? max) ? (? 0 — ? min) образуют нижнюю боковую полосу (НБП), а составляющие в диапазоне частот (? 0 + ? min) ? (? 0 + ? max) образуют верхнюю боковую полосу (ВБП)

Рисунок 3 - Временные и спектральные диаграммы сигналов при случайном модулирующем сигнале

Ширина спектра для данного сигнала будет определятся

D ? ам =(? 0 + ? max ) — (? 0 — ? min )=2 ? max (10)

На рисунке 4 приведены временные и спектральные диаграммы АМ сигналов при различных индексах m ам. Как видно при m ам =0 модуляция отсутствует, сигнал представляет собой немодулированную несущую, соответственно и спектр этого сигнала имеет только составляющую несущего сигнала (рисунок 4,

Рисунок 4 - Временные и спектральные диаграммы АМ сигналов при различных mам: а) при mам=0, б) при mам=0,5, в) при mам=1, г) при mам>1

а), при индексе модуляции m ам =1 происходит глубокая модуляция, в спектре АМ сигнала амплитуды боковых составляющих равны половине амплитуды составляющей несущего сигнала (рисунок 4в), данный вариант является оптимальным, т. к. энергия в большей степени приходится на информационные составляющие. На практике добиться коэффициента равного едините тяжело, поэтому добиваются соотношения 01 происходит перемодуляция, что, как отмечалось выше, приводит к искажению огибающей АМ сигнала, в спектре такого сигнала амплитуды боковых составляющих превышают половину амплитуды составляющей несущего сигнала (рисунок 4г).

Основными достоинствами амплитудной модуляции являются:

• узкая ширина спектра АМ сигнала;
• простота получения модулированных сигналов.

Недостатками этой модуляции являются:

• низкая помехоустойчивость (т. к. при воздействии помехи на сигнал искажается его форма — огибающая, которая и содержит передаваемое сообщение);
• неэффективное использование мощности передатчика (т. к. наибольшая часть энергии модулированного сигнала содержится в составляющей несущего сигнала до 64%, а на информационные боковые полосы приходится по 18%).

Амплитудная модуляция нашла широкое применение:

• в системах телевизионного вещания (для передачи телевизионных сигналов);
• в системах звукового радиовещания и радиосвязи на длинных и средних волнах;
• в системе трехпрограммного проводного вещания.

Балансная и однополосная модуляция

Как отмечалось выше, одним из недостатков амплитудной модуляции является наличие составляющей несущего сигнала в спектре модулированного сигнала. Для устранения этого недостатка применяют балансную модуляцию. При балансной модуляции происходит формирование модулированного сигнала без составляющей несущего сигнала. В основном это осуществляется путем использования специальных модуляторов: балансного или кольцевого. Временная диаграмма и спектр балансно-модулированного (БМ) сигнала представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Временные и спектральные диаграммы модулирующего (а), несущего (б) и балансно-модулированного (в) сигналов

Также особенностью модулированного сигнала является наличие в спектре двух боковых полос несущих одинаковую информацию. Подавление одной из полос позволяет уменьшить спектр модулированного сигнала и, соответственно, увеличить число каналов в линии связи. Модуляция при которой формируется модулированный сигнал с одной боковой полосой (верхней или нижней) называется однополосной. Формирование однополосно-модулированного (ОМ) сигнала осуществляется из БМ сигнала специальными методами, которые рассматриваются ниже. Спектры ОМ сигнала представлены на рисунке 6.

Рисунок 6 - Спектральные диаграммы однополосно-модулированных сигналов: а) с верхней боковой полосой (ВБП), б) с нижней боковой полосой (НБП)

Частотная модуляция

Частотная модуляция — процесс изменения частоты несущего сигнала в соответствии с мгновенными значениями модулирующего сигнала.

Рассмотрим математическую модель частотно-модулированного (ЧМ) сигнала при гармоническом модулирующем сигнале. При воздействии модулирующего сигнала

u (t ) = Um u sin ? t

на несущее колебание

S (t ) = Um sin (? 0 t + ? )

происходит изменение частоты несущего сигнала по закону:

w чм (t) = ? 0 + а чм Um u sin ? t (9)

где а чм — коэффициент пропорциональности частотной модуляции.

Поскольку значение sin ? t может изменятся в диапазоне от -1 до 1, то наибольшее отклонение частоты ЧМ сигнала от частоты несущего сигнала составляет

? ? m = а чм Um u (10)

Величина Dw m называется девиацией частоты. Следовательно, девиация частоты показывает наибольшее отклонение частоты модулированного сигнала от частоты несущего сигнала.

Значение ? чм (t) непосредственно подставить в S(t) нельзя, т. к. аргумент синуса ? t+j является мгновенной фазой сигнала?(t) которая связана с частотой выражением

? = d ? (t )/ dt (11)

Отсюда следует что, чтобы определить? чм (t) необходимо проинтегрировать ? чм (t)

Причем в выражении (12) ? является начальной фазой несущего сигнала.

Отношение

Мчм = ?? m / ? (13)

называется индексом частотной модуляции .

Учитывая (12) и (13) математическая модель ЧМ сигнала при гармоническом модулирующем сигнале будет иметь вид:

S чм (t)=Um sin(? 0 t — Мчм cos ? t+ ? ) (14)

Временные диаграммы, поясняющие процесс формирования частотно-модулированного сигнала приведены на рисунке 7. На первых диаграммах а) и б) представлены соответственно несущий и модулирующий сигналы, на рисунке в) представлена диаграмма показывающая закон изменения частоты ЧМ сигнала. На диаграмме г) представлен частогтно-модулированный сигнал соответствующий заданному модулирующему сигналу, как видно из диаграммы любое изменение амплитуды модулирующего сигнала вызывает пропорциональное изменение частоты несущего сигнала.

Рисунок 7 - Формирование ЧМ сигнала

Для построения спектра ЧМ сигнала необходимо разложить его математическую модель на гармонические составляющие. В результате разложения получим

S чм (t)= Um J 0 (M чм ) sin(? 0 t+ ? ) —

— Um J 1 (M чм ) {cos[(? 0 — ? )t+ j ]+ cos[(? 0 + ? )t+ ? ]} —

— Um J 2 (M чм ) {sin[(? 0 — 2 ? )t+ j ]+ sin[(? 0 +2 ? )t+ ? ]}+

+ Um J 3 (M чм ) {cos[(? 0 — 3 ? )t+ j ]+ cos[(? 0 +3 ? )t+ ? ]} —

— Um J 4 (M чм ) {sin[(? 0 — 4 ? )t+ j ]+ sin[(? 0 +4 ? )t+ ? ]} — … (15)

где J k (Mчм) — коэффициенты пропорциональности.

J k (Mчм) определяются по функциям Бесселя и зависят от индекса частотной модуляции. На рисунке 8 представлен график содержащий восемь функций Бесселя. Для определения амплитуд составляющих спектра ЧМ сигнала необходимо определить значение функций Бесселя для заданного индекса. Причем как

Рисунок 8 - Функции Бесселя

видно из рисунка различные функции имеют начало в различных значениях Мчм, а следовательно, количество составляющих в спектре будет определятся Мчм (с увеличивается индекса увеличивается и количество составляющих спектра). Например необходимо определить коэффициенты J k (Мчм) при Мчм=2. По графику видно, что при заданном индексе можно определить коэффициенты для пяти функций (J 0 , J 1 , J 2 , J 3 , J 4) Их значение при заданном индексе будет равно: J 0 =0,21; J 1 =0,58; J 2 =0,36; J 3 =0,12; J 4 =0,02. Все остальные функции начинаются после значения Мчм=2 и равны, соответственно, нулю. Для приведенного примера количество составляющих в спектре ЧМ сигнала будет равно 9: одна составляющая несущего сигнала (Um J 0) и по четыре составляющих в каждой боковой полосе (Um J 1 ; Um J 2 ; Um J 3 ; Um J 4).

Еще одной важной особенностью спектра ЧМ сигнала является то, что можно добиться отсутствия составляющей несущего сигнала или сделать ее амплитуду значительно меньше амплитуд информационных составляющих без дополнительных технических усложнений модулятора. Для этого необходимо подобрать такой индекс модуляции Мчм, при котором J 0 (Мчм) будет равно нулю (в месте пересечения функции J 0 с осью Мчм), например Мчм=2,4.

Поскольку увеличение составляющих приводит к увеличению ширины спектра ЧМ сигнала, то значит, ширина спектра зависит от Мчм (рисунок 9). Как видно из рисунка, при Мчм?0,5 ширина спектра ЧМ сигнала соответствует ширине спектра АМ сигнала и в этом случае частотная модуляция является узкополосной , при увеличении Мчм ширина спектра увеличивается, и модуляция в этом случае является широкополосной . Для ЧМ сигнала ширина спектра определяется

D ? чм =2(1+Мчм) ? (16)

Достоинством частотной модуляции являются:

• высокая помехоустойчивость;
• более эффективное использование мощности передатчика;
• сравнительная простота получения модулированных сигналов.

Основным недостатком данной модуляции является большая ширина спектра модулированного сигнала.

Частотная модуляция используется:

• в системах телевизионного вещания (для передачи сигналов звукового сопровождения);
• системах спутникового теле- и радиовещания;
• системах высококачественного стереофонического вещания (FM диапазон);
• радиорелейных линиях (РРЛ);
• сотовой телефонной связи.

Рисунок 9 - Спектры ЧМ сигнала при гармоническом модулирующем сигнале и при различных индексах Мчм: а) при Мчм=0,5, б) при Мчм=1, в) при Мчм=5

Фазовая модуляция

Фазовая модуляция — процесс изменения фазы несущего сигнала в соответствии с мгновенными значениями модулирующего сигнала.

Рассмотрим математическую модель фазо-модулированного (ФМ) сигнала при гармоническом модулирующем сигнале. При воздействии модулирующего сигнала

u (t ) = Um u sin ? t

на несущее колебание

S (t ) = Um sin (? 0 t + ? )

происходит изменение мгновенной фазы несущего сигнала по закону:

? фм(t) = ? 0 t+ ? + а фм Um u sin ? t (17)

где а фм — коэффициент пропорциональности частотной модуляции.

Подставляя ? фм(t) в S(t) получаем математическую модель ФМ сигнала при гармоническом модулирующем сигнале:

Sфм(t) = Um sin(? 0 t+ а фм Um u sin ? t+ ? ) (18)

Произведение а фм Um u =Dj m называется индексом фазовой модуляции или девиацией фазы .

Поскольку изменение фазы вызывает изменение частоты, то используя (11) определяем закон изменения частоты ФМ сигнала:

? фм (t )= d ? фм(t )/ dt = w 0 +а фм Um u ? cos ? t (19)

Произведение а фм Um u ? =?? m является девиацией частоты фазовой модуляции. Сравнивая девиацию частоты при частотной и фазовой модуляциях можно сделать вывод, что и при ЧМ и при ФМ девиация частоты зависит от коэффициента пропорциональности и амплитуды модулирующего сигнала, но при ФМ девиация частоты также зависит и от частоты модулирующего сигнала.

Временные диаграммы поясняющие процесс формирования ФМ сигнала приведены на рисунке 10.

При разложении математической модели ФМ сигнала на гармонические составляющие получится такой же ряд, как и при частотной модуляции (15), с той лишь разницей, что коэффициенты J k будут зависеть от индекса фазовой модуляции? ? m (J k (? ? m)). Определятся эти коэффициенты будут аналогично, как и при ЧМ, т. е. по функциям Бесселя, с той лишь разницей, что по оси абсцисс необходимо заменить Мчм на? ? m . Поскольку спектр ФМ сигнала строится аналогично спектру ЧМ сигнала, то для него характерны те же выводы что и для ЧМ сигнала (пункт 1.4).

Рисунок 10 - Формирование ФМ сигнала

Ширина спектра ФМ сигнала определяется выражением:

? ? фм =2(1+ ? j m ) ? (20).

Достоинствами фазовой модуляции являются:

• высокая помехоустойчивость;
• более эффективное использование мощности передатчика.
• недостатками фазовой модуляции являются:

• большая ширина спектра;
• сравнительная трудность получения модулированных сигналов и их детектирование

Дискретная двоичная модуляция (манипуляция гармонической несущей)

Дискретная двоичная модуляция (манипуляция) — частный случай аналоговой модуляции, при которой в качестве несущего сигнала используется гармоническая несущая, а в качестве модулирующего сигнала используется дискретный, двоичный сигнал.

Различают четыре вида манипуляции:

• амплитудную манипуляцию (АМн или АМТ);
• частотную манипуляцию (ЧМн или ЧМТ);
• фазовую манипуляцию (ФМн или ФМТ);
• относительно-фазовую манипуляцию (ОФМн или ОФМ).

Временные и спектральные диаграммы модулированных сигналов при различных видах манипуляции представлены на рисунке 11.

При амплитудной манипуляции , также как и при любом другом модулирующем сигнале огибающая S АМн (t) повторяет форму модулирующего сигнала (рисунок 11, в).

При частотной манипуляции используются две частоты? 1 и? 2 . При наличии импульса в модулирующем сигнале (посылке) используется более высокая частота? 2 , при отсутствии импульса (активной паузе) используется более низкая частота w 1 соответствующая немодулированной несущей (рисунок 11, г)). Спектр частотно-манипулированного сигнала S ЧМн (t) имеет две полосы возле частот? 1 и? 2 .

При фазовой манипуляции фаза несущего сигнала изменяется на 180° в момент изменения амплитуды модулирующего сигнала. Если следует серия из нескольких импульсов, то фаза несущего сигнала на этом интервале не изменяется (рисунок 11, д).

Рисунок 11 - Временные и спектральные диаграммы модулированных сигналов различных видов дискретной двоичной модуляции

При относительно-фазовой манипуляции фаза несущего сигнала изменяется на 180° лишь в момент подачи импульса, т. е. при переходе от активной паузы к посылке (0?1) или от посылке к посылке (1?1). При уменьшении амплитуды модулирующего сигнала фаза несущего сигнала не изменяется (рисунок 11, е). Спектры сигналов при ФМн и ОФМн имеют одинаковый вид (рисунок 9, е).

Сравнивая спектры всех модулированных сигналов можно отметить, что наибольшую ширину имеет спектр ЧМн сигнала, наименьшую — АМн, ФМн, ОФМн, но в спектрах ФМн и ОФМн сигналов отсутствует составляющая несущего сигнала.

В виду большей помехоустойчивости наибольшее распространение получили частотная, фазовая и относительно-фазовая манипуляции. Различные их виды используются в телеграфии, при передаче данных, в системах подвижной радиосвязи (телефонной, транкинговой, пейджинговой).

Импульсная модуляция

Импульсная модуляция — это модуляция, при которой в качестве несущего сигнала используется периодическая последовательность импульсов, а в качестве модулирующего может использоваться аналоговый или дискретный сигнал.

Поскольку периодическая последовательность характеризуется четырьмя информационными параметрами (амплитудой, частотой, фазой и длительностью импульса), то различают четыре основных вида импульсной модуляции:

• амплитудно-импульсная модуляция (АИМ); происходит изменение амплитуды импульсов несущего сигнала;
• частотно-импульсная модуляция (ЧИМ), происходит изменение частоты следования импульсов несущего сигнала;
• фазо-импульсная модуляция (ФИМ), происходит изменение фазы импульсов несущего сигнала;
• широтно-импульсная модуляция (ШИМ), происходит изменение длительности импульсов несущего сигнала.

Временные диаграммы импульсно-модулированных сигналов представлены на рисунке 12.

При АИМ происходит изменение амплитуды несущего сигнала S(t) в соответствии с мгновенными значениями модулирующего сигнала u(t), т. е. огибающая импульсов повторяет форму модулирующего сигнала (рисунок 12, в).

При ШИМ происходит изменение длительности импульсов S(t) в соответствии с мгновенными значениями u(t) (рисунок 12, г).

Рисунок 12 - Временные диаграммы сигналов при импульсной модуляции

При ЧИМ происходит изменение периода, а соответственно и частоты, несущего сигнала S(t) в соответствии с мгновенными значениями u(t) (рисунок 12, д).

При ФИМ происходит смещение импульсов несущего сигнала относительно их тактового (временного) положения в немодулированной несущей (тактовые моменты обозначены на диаграммах точками Т, 2Т, 3Т и т. д.). ФИМ сигнал представлен на рисунке 12, е.

Поскольку при импульсной модуляции переносчиком сообщения является периодическая последовательность импульсов, то спектр импульсно-модулированных сигналов является дискретным и содержит множество спектральных составляющих. Этот спектр представляет собой спектр периодической последовательности импульсов в котором возле каждой гармонической составляющей несущего сигнала находятся составляющие модулирующего сигнала (рисунок 13). Структура боковых полос возле каждой составляющей несущего сигнала зависит от вида модуляции.

Рисунок 13 - Спектр импульсно-модулированного сигнала

Также важной особенностью спектра импульсно-модулированных сигналов является то, что ширина спектра модулированного сигнала, кроме ШИМ, не зависит от модулирующего сигнала. Она полностью определяется длительностью импульса несущего сигнала. Поскольку при ШИМ длительность импульса изменяется и зависит от модулирующего сигнала, то при этом виде модуляции и ширина спектра также зависти от модулирующего сигнала.

Частоту следования импульсов несущего сигнала может быть определена по теореме В. А. Котельникова как f 0 =2Fmax. При этом Fmax это верхняя частота спектра модулирующего сигнала.

Передача импульсно модулированных сигналов по высокочастотным линиям связи невозможна, т. к. спектр этих сигналов содержит низкочастотные составляющий. Поэтому для передачи осуществляют повторную модуляцию . Это модуляция, при которой в качестве модулирующего сигнала используют импульсно-модулированный сигнал, а в качестве несущего гармоническое колебание. При повторной модуляции спектр импульсно-модулированного сигнала переносится в область несущей частоты. Для повторной модуляции может использоваться любой из видов аналоговой модуляции: АМ, ЧС, ФМ. Полученная модуляция обозначается двумя аббревиатурами: первая указывает на вид импульсной модуляции а вторая — на вид аналоговой модуляции, например АИМ-АМ (рисунок 14, а) или ШИМ-ФМ (рисунок 14, б) и т. д.

Рисунок 14 - Временные диаграммы сигналов при импульсной повторной модуляции

Общие сведения о модуляции. Для передачи сигналов на большие расстояния необходимо, чтобы они обладали большой энергией. Известно, что энергия сигнала пропорциональна четвертой степени его частоты, то есть сигналы с большей частотой обладают большей энергией. В практике часто сигналы, несущие в себе информацию, например, речевые сигналы, имеют низкую частоту колебаний и поэтому, чтобы передать их на большое расстояние необходимо частоту информационных сигналов повышать. Добиваются этого путем “накладывания” информационного сигнала на другой сигнал, который имеет высокую частоту колебаний.

Рассмотрим гармоническое колебание, которое имеет частоту ω достаточную для распространения на большие расстояния и изменяется по закону:

Наложить информацию на это колебание можно путем медленного, по сравнению с периодом, изменения его амплитуды Um, частоты ω или фазы φ. Такой процесс называется модуляцией.

В зависимости от того, какой параметр изменяют, различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию.

Амплитудно-модулированный сигнал получается путем перемножения двух сигналов. Один содержит информацию, а другой является несущим. Пусть сигнал информации, (рис.2.14) и несущее колебание (рис. 2.15) изменяются в соответствии со следующими выражениями:

U1(t) = U0 + U1m cosΩt,

U2(t) = U2m cost,

где U0 - постоянная составляющая сигнала, U1mи U2m - амплитуды информационного сигнала и несущего колебания, Ω, ω – частота информационного сигнала и несущего колебания.

Рис. 2.14. Информационный сигнал.

Рис. 2.15. Несущее колебание.

Перемножим эти сигналы:

Введем обозначения:

где Um – амплитуда промодулированного сигнала, М - коэффициент модуляции.

С учетом введенных обозначений, получим выражение для амплитудно - модулированного сигнала в следующем виде:

Вид амплитудно-модулированного сигнала показан на рис. 2.16, а его спектр на рис. 2.17.

Рис. 2.16. Амплитудно-модулированный сигнал.

Таким образом, спектр радиочастотного колебания при амплитудной модуляции гармоническим колебанием состоит из трех составляющих: нижней боковой, несущей и верхней боковой гармоник. Видно, что амплитуды боковых составляющих зависят от коэффициента модуляцииМ.

Рис.2.17. Спектр амплитудно - модулированного сигнала.

На практике бывает случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав:

. (2.55)

Здесь частоты Ωi образуют упорядоченную возрастающую последовательность Ω1 < Ω2 <…< ΩN, в то время, как амплитуды Ui и начальные фазы ϕi произвольны. Вид сигнала показан на рис. 2.18. В этом случае амплитудно - модулированный сигнал будет иметь вид:

Введем обозначение:

Тогда выражение (2.56) примет вид:

Выполним преобразования будем иметь:

(2.57)

Рис. 2.18. Спектр низкочастотного модулирующего сигнала.

Спектральная диаграмма многотонального АМ - сигнала приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Спектр многотонального АМ - сигнала.

Видно, что в спектре сложномодулированного АМ - сигнала, помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величинуω0. Спектр нижних боковых колебаний располагается зеркально относительно несущей частоты ω0 и также повторяет спектральную диаграмму модулирующего сигнала. Ширина спектра АМ - сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Частотно- и фазомодулированные сигналы. Частотно-модулированный сигнал – это колебание, у которого мгновенная частота изменяется по закону модулирующего сигнала. Пусть модулирующий сигнал и несущее колебание изменяется, как показано на рис. 2.20, 2.21.

Рис.2.20. Модулирующий сигнал.

Рис.2.21. Несущий сигнал.

Тогда мгновенная частота при частотной модуляции равна:

здесь Δω – девиация (отклонение) частоты под действием модулирующего сигнала, это отклонение в принципе пропорционально амплитуде модулирующего колебания. Мгновенную фазу частотно-модулированного сигнала найдем, проинтегрировавω (t) по времени:

(2.59)

В соответствии с рис. 2.21 и выражением (2.59) частотно-модулированное колебание запишется в следующем виде:

где – есть индекс частотной модуляции. Вид частотно - модулированного сигнала показан на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Частотно - модулированный сигнал.

Преобразуем выражение (2.60) по формуле косинуса суммы двух аргументов, получим:

Применим для выражений cos(m sin Ωt) и sin(m sin Ωt) преобразования по функциям Бесселя:

Тогда выражение (2.61) для частотно-модулированного сигнала будет иметь вид:

. (2.62)

Из (2.62) видно, что частотно - модулированный сигнал имеет дискретный спектр рис. 2.23. с гармониками на частотах (ω0± nΩ), где n=1, 2, 3, 4, 5…

Рис. 2.23. Спектр частотно - модулированного сигнала.

Вид спектра модулированного колебания зависит от индекса частотной модуляции m, теоретически спектр бесконечен, но на практике он ограничивается двумя – тремя составляющими, так как функции Бесселя высших порядков интенсивно убывают.

Фазомодулированным колебанием называется колебание, у которого фаза изменяется по закону модулирующего сигнала. Выражение, описывающее такое колебание, имеет вид:

Частотно-модулированное колебание является в то же время и фазомодулированным. Иногда оба вида модуляции называют угловой модуляцией. Однако при частотной модуляции изменение частоты, а не фазы совпадает с законом изменения модулирующего сигнала. Кроме того, при частотной модуляции индекс модуляции обратно пропорционален модулирующей частоте, тогда как при фазовой модуляции такой зависимости нет.

Когда колебание промодулировано гармоническим сигналом, отличить частотную модуляцию от фазовой можно, только сравнив изменения мгновенной фазы модулированного колебания с законом изменения модулирующего напряжения.