Функции одной переменной способы задания. Функция одной переменной. Функция одной переменной, основные понятия

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x .

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой , а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y . Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x ).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией .

Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью ее значений .

Существует ряд способов задания функции:

а) наиболее простой - аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x , при которых формула имеет смысл;

б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x ) используется координатная плоскость (xy ).

Совокупность точек y , соответствующих заданным значениям x , определяет график функции на плоскости (xy );

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f (x ) называется четной , если для любого значения x , принадлежащего области определения функции X , значение (–x ) тоже принадлежит X и при этом выполняется

f (–x ) = f (x ).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x ) называется нечетной , если для любого x X следует (–x ) X и при этом

f (–x ) = –f (x ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f (x ) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида .

Монотонность. Функция y = f (x ) называется возрастающей на некотором интервале (a , b ), если для любых x 1 , x 2 (a , b ), таких,

что x 1 < x 2 , следует, что f (x 1) < f (x 2), и убывающей , если f (x 1) > f (x 2).

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b ) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b ) - интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными , а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f (x ) называется ограниченной на интервале (a , b ), если существует такое число С > 0, что для любого x (a , b ) следует |f (x )| < C , и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a , b ), что |f (x )| > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a , b ).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность. Функция y = f (x ) называется периодической , если существует такое число t , что для любого x X выполняется

f (x + t ) = f (x ).

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т .

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константа y = c , где с - постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x .

2. Степенная функция , где - любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n ), целых отрицательных ( = –n ) и дробных ( = 1/n ) значениях представлен ниже.

4. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции : y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .

6. Обратные тригонометрические функции .

y = arcsin x y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x

б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sinx и z = log 2 y . Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

z = log 2 (sin x ).

Также можно ввести понятиеобратной функции .Пусть y = f (x ) задана в области определения X , а Y - множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y 0 и по нему найдем x 0 так, чтобы y 0 было равно f (x 0).Подобных значений x 0 может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x . Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y ), которая называется обратной для функции y = f (x ).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a x . Из определения логарифма следует, что если задано значение y , то значение x , удовлетворяющее условию y = a x , находится по формуле x = log a y . То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log a y .

Следовательно, функция x = log a y является обратной для функции y = a x на множествах X и Y . Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x , то в этом случае говорят, что y = f (x ) и y = g (x ) - обратные функции.

Графики функции y = f (x ) и обратной ей функции y = g (x ) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.

Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
T, 0 С	12	11	10	9	8	7	8	10	12	14	16	17

Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.

Дифференциальное

И интегральное исчисление функции

Одной переменной

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)

С. А. Изотова

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной

Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,

М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,

М. Ф. Рушайло. М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева,

2012. – 108 с.

ISBN 978-5-7237-0993-5

Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.

Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

УДК 517 (075)

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2012

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3

1. Определение функции одной переменной. 3

2. Способы задания функции. 3

3. Сложная и обратная функции. 3

4. Элементарные функции. 3

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3

1. Предел функции в конечной точке x 0 3

2. Односторонние пределы.. 3

3. Предел функции на бесконечности. 3

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3

5. Основные теоремы о конечных пределах. 3

6. Первый замечательный предел. 3

7. Второй замечательный предел. 3

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3

2. Точки разрыва функции и их классификация. 3

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3

3. Таблица производных основных элементарных функций. 3

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3

5. Правила дифференцирования. 3

6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3

7. Производные показательной и степенной функций. 3

8. Производные обратных тригонометрических функций. 3

9. Дифференциал функции. 3

10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3

§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37

1. Теорема Ролля. 3

2. Теорема Лагранжа. 3

3. Теорема Коши. 3

4. Правило Лопиталя. 3

§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3

1. Асимптоты плоской кривой. 3

2. Монотонность функции. 3

3. Экстремумы функции. 3

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3

6. Схема исследования функции. Построение графика. 3

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Первообразная функция и её свойства. 3

2. Понятие неопределённого интеграла. 3

3. Свойства неопределённого интеграла. 3

4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3

1. Непосредственное интегрирование. 3

2. Интегрирование подстановкой. 3

3. Интегрирование по частям. 3

4. Интегрирование рациональных дробей. 3

5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3

6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3

§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3

2. Свойства определённого интеграла. 3

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3

4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3

5. Приложения определённого интеграла. 3

§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3

1. Интегралы с бесконечными пределами. 3

2. Интегралы от разрывных функций. 3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y . Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x ) с областью определения X = D (f ) и областью изменения Y = E (f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией .

Частным значением функции y = f (x ) при фиксированном значении аргумента x = x 0 называют y 0 = f (x 0 ).

Графиком функции y = f (x ) называют геометрическое место точек M (x;f (x )) на плоскости Oxy , где x Î D (f ) и f (x ) Î E (f ).

Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f (x ).

Например: , где D (y ) = (– ∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F (x ;y ) = 0.

Например: – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции , когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

Сложная и обратная функции

Определение 1 . Пусть функция y = f (U ) определена на множестве D (f ), а функция U = g (x ) определена на D (g ), причём E (g ) D (f ).

Тогда функция y = F (x ) = f (g (x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2 . Пусть задана функция y = f (x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D (f ) на множество Y = E (f ).

Тогда функция x = g (y ) называется обратной к функции y = f (x ), т. е. любому y E (f ) соответствует единственное значение x D (f ), при котором верно равенство y = f (x ).

Замечание. Графики функций y = f (x ) и x = g (y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f (x ) и y = g (x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция ), D (y ) = R; E (y ) = c .

(линейная функция ), D (y ) = R; E (y ) = R .

y = (степенная функция ), α ÎR , E (y ), D (y ) зависят от α.

y = (показательная функция ), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = R , E (y ) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция )), a > 0, a ≠ 1, D (y ) = (0;+∞), E (y ) = R .

Тригонометрические функции :

y = sin x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = cos x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = tg x , D (y ) = , E (y ) = R .

y = ctg x , D (y ) = , E (y ) = R .

Обратные тригонометрические функции :

y = arcsin x , D (y ) = , E (y ) = .

y = arccos x , D (y ) = , E (y ) = .

y = arctg x , D (y ) = R , E (y ) = .

y = arcctg x , D (y ) = R , E (y ) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Определение 1. Окрестностью точки x 0 называется любой интервал, содержащий точкуx 0:

. и справедливо равенство:

Замечание 2. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f (x ) имеет предел, равный числу:

Замечание 3. Если f (x ) имеет в точке x 0 правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x 0 функция f (x ) не имеет предела.