В каком курсе изучают теорему котельникова. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование сигналов. Об одной особенности теоремы Котельникова

Часто производители аудио аппаратуры, особено наушников, в процессе пиара своей продукции активно продвигают “кристальную чистоту” звука и широчайший частотный диапазон, который не только за 20 кГц переваливает, но и в некоторых случаях доходит даже до 100 кГц. Конечно это имеет свои плюсы, даже не смотря на то, что выше 20кГц мы не слышим, а то и еще меньше. Но есть определенные проблемы, которые связанны с понятием частота дискретизации и вытекающие из теоремы Котельникова. Они в одночасье поставили жирный крест на применении слова “качественно” для большинства аудио-форматов и аудио устройств в моих глазах.

Любой процесс в природе является непрерывным. Например звуковой сигнал принятый микрофоном и преобразованный в электрический (аналоговый) сигнал — непрерывен.

Термин “Аналоговый сигнал” подчеркивает, что такой сигнал “аналогичен”, т.е. полностью подобен порождающему его процессу, или в данном случае звуку.

И непрерывный он не потому что будет длиться вечно, а потому, что его значение можно измерять в любые моменты времени. А между этими моментами сигнал будет продолжать непрерывно меняться.

Что такое частота дискретизации?

Как только встает вопрос о переводе аналогового сигнала в цифровой, сразу возникает понятие дискретизации, т.е. разбиение непрерывного сигнала на кусочки по времени. Делается это непосредственно в процессе преобразования.

Через равные промежутки времени, называемые шагом дискретизации Δ , Аналогово-Цифровой-Преобразователь (АЦП) измеряет значение сигнала, поступающего на его вход и преобразует это значение в цифровой вид. То, как часто осуществляется измерение величины аналогово сигнала и называется частотой дискретизации .

Какая частота дискретизации считается достаточной?

Товарищ Котельников, еще в 1933 в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи » создал фундаментальную, для цифровой техники теорию, которая обычно формулируется следующим образом:

Лю бой непрерывный сигнал u(t) с конечным спектром (имеющим максимальное значение частоты F ) можно представить в виде дискретных отсчетов u(k Δ t) , частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала: f ≥ 2F , передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал .

Говоря проще, для того чтобы можно было правильно воспроизвести (восстановить) аналоговый сигнал из цифрового вида, достаточно, чтобы частота дискретизации была вдвое выше максимальной частоты в сигнале.

Верхний порог слышимости человека принято ограничивать частотой в 20кГц. Из теоремы Котельникова следует, что для правильного воспроизведения сигнала частотой 20 кГц достаточно частоты дискретизации в 40кГц. Если заглянуть в свойства подавляющего большинства аудио файлов, то можно увидеть строчку:

Почему именно 44.1 кГц? Википедия отвечает так : “Эта цифра выбрана компанией Sony из соображений совместимости с о стандартом телевещания PAL , за счёт записи 3 значений на линию картинки кадра x 588 линий на кадр x 25 кадров в секунду, и достаточности (по теореме Котельникова ) для качественного покрытия всего диапазона частот, различаемых человеком на слух (20 Гц - 20 кГц).”

При частоте дискретизации в 44.1кГц шаг дискретизации Δ составляет всего 0.00002267=22.67*10 -6 секунды или 22.67 микросекунды . Это время между двумя точками сигнала.

Вроде все нормально, так чего же тут не так?

Начнем с частот, кратных частоте дискретизации. На частоте 441 Герц при нашей частоте дискретизации (44.1 кГц), на один период приходится 100 точек. Чтож, тут нет никаких претензий, синусоида идеальная. Если же повысить частоту на порядок, т.е. в 10 раз, то эти же 100 точек будут формировать уже не 1, а 10 периодов. И даже в этом случае Будет формироваться сигнал очень похожий на синусоиду.

А вот на частоте 22050, т.е. наивысшей частоте, удовлетворяющей теореме Котельникова (при частоте дискретизации 44.1кГц) на 100 точек приходится 50 периодов колебаний.

Эти сигналы генерировались в программе Audacity. И по началу создалось впечатление, что точек там достаточно, просто масштаб не позволяет разглядеть и поэтому так все угловато…

Чтож… приблизим и рассмотрим каждый период по отдельности:

Частота в 4410 Гц вполне себе достойная синусоида, чего никак не скажешь о частоте 22050Гц , с ее двумя точками на период. По факту это уже и не синусоида, а сигнал треугольной формы.

Конечно в любом реальном ЦАПе на выходе применяется НЧ-фильт, который срезает высокочастотную составляющую и немного скругляет этот треугольник. Однако чем выше класс вашего аудио устройства, тем заметнее будет угловатость звука

Ради эксперимента можете попробовать сгенерировать в Audcity сигналы одной и той же частоты но разных форм. У треугольной и прямоугольной форм из-за их “угловатости” и резких фронтов возникают дополнительные гармоники, а вот синусоидальный сигнал звучит гораздо более мягко и естественно.

Но даже и это не самое страшное. До этого момента рассматривались сигналы с частотами кратными частоте дискретизации.

— А что же будет, если взять другие частоты???

Знакомьтесь, цифровая синусоида равной амплитуды и частотой 15 кГц. Красивый узорчик, не правда ли? Как видите амплитуда меняется с частотой. Это уже интермодуляционные искажения, т.е. Наш истинный сигнал в 15 кГц промодулирован частотой кратной 44.1 кГц.

Вы можете возразить, мол узорчик то красивый, но может звучит он как и положенно. Для того чтобы убедиться в этом своими ушами — частота которого меняется от 20 герц до 20 кГц. И вы отчетливо услышите, как с какого-то момента частота перестанет равномерно расти, а начнет плавать туда-сюда.

Оно и понятно, вот так выглядят синусоиды на разных частотах выше 10’000Гц

В защиту теоремы Котельникова стоит отметить, что да, его теорема верна, иначе бы мы не смогли различать в музыке высокие звуки, и что тарелка что маракас звучали бы одинаково неправдоподобно, но она абсолютно не гарантирует высокого качества записи.

В жизни Вы врядли станете наслаждаться звучанием синусоиды, но это был очень наглядный пример проблем качества цифровых аудио записей.

Частота дискретизации и Hi-Res звук

Конечно сегодняшние технологии уже побороли данную проблему. Вероятно вам встречалось сокращение Hi-Res (High Resolution — высокое разрешение), которым обычно обзывают качество звука в 24 бита и частотой дискретизации в 192 кГц.

А это уже 10 точек на частоте 22’050 кГц, такую синусоиду уже явно можно считать идеальной. И вот там «кристально чистые верха» ваших наушников себя точно оправдают.

Возникает только 3 проблемы:

Стоимость подобных устройств . Например портативный плеер с такой частотой дискретизации обычно стоит около 200$.
Где брать записи в таком качестве.
Размеры аудиофайлов очень велики. 1 альбом вашей любимой группы в Hi-Res легко может занимать более 1,5Гб дискового пространства.

В заключение

Конечно от плохого звучания высоких частот еще никто не умирал и, возможно я излишне драматизирую, говоря, что частота дискретизации в 44.1 кГц так уж плоха, однако, как видите особым качеством на высоких частотах она не блещет.

На мой взгляд в домашних условиях гораздо интереснее слушать винил:-) Но т.к. с виниловой вертушкой в метро не поездишь то меломанские запросы вполне можно удовлетворить и цифровым плеером:-P

Всем качественного звука!

(P.S. — комментируем, не стесняемся:-)

Ниже будет сформулирована и доказана теорема Котельникова (теорема отсчётов) - основополагающая теорема для систем цифровой обработки сигналов, телекоммуникаций, а также теории связи. Теорема была сформулирована и доказана советским академиком В. А. Котельниковым в 30-х годах 20 века. Суть теоремы состоит в том, что вместо передачи непрерывного аналогового сигнала можно передавать соответствующий ему дискретный сигнал.

Формулировка теоремы: непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна по крайней мере в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

С другой стороны, непрерывный сигнал может иметь бесконечный спектр частот, но так как гармоники этого сигнала могут монотонно уменьшаться по амплитуде при увеличении номера гармоники, то с некоторой степенью точности можно считать спектр такого сигнала ограниченным.

Точность воспроизведения непрерывного сигнала во многом определяется характеристиками фильтра нижних частот и не оказывает влияния на корректность теоремы Котельникова в данном случае. Также, точность воспроизведения непрерывного сигнала определяется количеством уровней квантования в процессе получения отсчётов. Однако, если выбрать количество уровней квантования в соответствии с динамическим диапазоном и чувствительностью конкретной системы, то точность воспроизведения непрерывного сигнала не будет ухудшаться процессом получения отсчётов. Это утверждение, в частности, может быть до определённой степени справедливым, когда уровень шумов, присутствующий в исходном сигнале больше шага квантования. В этом случае не имеет смысла увеличивать количество уровней квантования, так как к повышению точности получения отсчётов это не приведёт.

Теорема Котельникова определяет также, что в непрерывном сигнале и соответствующем ему дискретном сигнале, полученном по приведённым выше правилам, содержится одинаковая информация, поэтому представление одного из этих двух сигналов другим является взаимно-однозначным.

Доказательство теоремы начнём с рассмотрения абстрактного вспомогательного непрерывного сигнала, представленного бесконечной последовательностью импульсов с некоторым периодом повторения (рис. 1). Исследуемый непрерывный сигнал и его спектр показан на рис. 2. Цель введения вспомогательного сигнала: показать, что и в нём после некоторых преобразований и в дискретном сигнале, полученном в соответствии с теоремой Котельникова, содержится одинаковая информация.

Далее, для восстановления исходного непрерывного сигнала из сигнала, полученного перемножением исходного и вспомогательного сигналов требуется пропустить полученный сигнал через фильтр нижних частот, который подавит все частоты, выше fm. Однако такой подход требует пояснения для дискретного сигнала. Дело в том, что на выходе ЦАП формируется не последовательность импульсов бесконечно малой ширины, а ступенчатый сигнал. Это объясняется самим принципом работы ЦАП. Если исследовать спектр полученного на выходе ЦАП сигнала, то окажется, что он довольно сильно искажён по сравнению со спектром полученного сигнала в доказательстве теоремы. Это можно объяснить тем, что сигнал на выходе ЦАП представляет собой свёртку полученного в доказательстве теоремы сигнала и сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью, соответствующей длительности периода дискретизации. Опять же, по теории операционного исчисления, изображение свёртки оригиналов двух функций равно произведению их изображений.

Получаемый на выходе ЦАП сигнал и его спектр показаны на рис. 5. Пунктиром отмечен спектр прямоугольного импульса. Дублированные части спектра показаны не перемноженными на функцию вида sin(x)/x. Спектр любого прямоугольного импульса задаётся функцией, подобной sin(x)/x. Для восстановления непрерывного исходного сигнала в таком случае нужно рассчитать импульсную характеристику фильтра нижних частот таким образом, чтобы после применения этого фильтра в спектре полученного сигнала производилась ещё и операция деления на соответствующим образом подобранную функцию вида sin(x)/x.

Так как в практических случаях не удаётся достичь точной рассчитанной импульсной характеристики фильтра, может возникнуть скат спектра импульсной характеристики в области частоты среза фильтра. Ширина ската зависит от типа используемого аналогового фильтра. Например, при использовании фильтра Бесселя, ширина ската довольно значительна, а при использовании фильтра Чебышева ширина ската гораздо меньше, но фильтр Чебышева имеет ряд других недостатков, которые обсуждаются в главе «Применение цифровых фильтров». Из-за ската в области частоты среза, некоторая часть спектра в окрестностях частоты среза является неиспользуемой и тогда используют фильтр с частотой среза, превышающей fm на ширину ската.

В заключение следует отметить, что рассмотренный при доказательстве теоремы Котельникова вспомогательный сигнал является чисто абстрактным и в природе существовать не может, так как невозможно получить бесконечно малую ширину импульса. Однако, можно сделать некоторое упрощение, основанное на следующем факте. Любая линейная система имеет конечное быстродействие, т. е. работает в конечном временном интервале. Если это электрическая схема, то быстродействие, как правило, определяется величинами ёмкостей, входящих в состав схемы. Если на вход такой системы подать импульс, имеющий единичную амплитуду и длина которого будет намного меньше нижней границы временного интервала работы схемы, то этот импульс будет воспринят так же как и идеальный (т. е. имеющий бесконечно малую ширину и единичную площадь). Таким образом, в практических случаях существует приближение вспомогательного сигнала, использованного при доказательстве теоремы.

Цифрова?я обрабо?тка сигна?лов (ЦОС, DSP — англ. digital signal processing) — преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала (то есть ), то полученный дискретный сигнал эквивалентен сигналу по методу наименьших квадратов (МНК) (см.: Теорема Котельникова).

При помощи математических алгоритмов преобразуется в некоторый другой сигнал , имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью , фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще — до поступления следующих n отсчётов, где n — задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства — цифровые сигнальные процессоры.

Всё это полностью применимо не только к непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны.

Различают методы обработки сигналов во временной (англ. time domain ) и в частотной (англ. frequency domain ) области. Эквивалентность частотно-временных преобразований однозначно определяется через преобразование Фурье.

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. Для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения (чаще всего под именем Signal Processing) систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

В последние годы при обработке сигналов и изображений широко используется новый математический базис представления сигналов с помощью «коротких волночек» — вейвлетов. С его помощью могут обрабатываться нестационарные сигналы, сигналы с разрывами и иными особенностями и сигналы в виде пачек.

Цифровая обработка сигналов - некоторые основные понятия.

Физические величины, если только не опускаться на квантовый уровень, изменяются непрерывно. Однако цифровая обработка сигналов работает исключительно с дискретными величинами, причем дискретность проявляется двояко - при квантовании по времени и при квантовании по амплитуде сигнала. Это видимое усложнение вполне оправдано тем, что для обработки мы может использовать цифровые вычислительные машины, полностью избавившись от проблемы нестабильности параметров, столь болезненной при обработке аналоговой. Не меньшим преимуществом является то, что стоимость цифровой обработки низка и продолжает падать, даже при очень сложных ее видах. Это позволяет создавать эффективные системы обработки сигналов при разумных затратах. Насколько допустима такая замена? Не приводит ли она к потере точности?

Дискретный сигнал получается из аналогового операцией дискретизации - взятием отсчетов (измерением) через интервал времени Т. В принципе возможна и цифровая обработка при неравномерной дискретизации по времени, однако эта тема куда менее разработана математически и, по-видимому, представляет не столь большой практический интерес. При этой операции представляется возможной потеря информации, заключенной в значениях сигнала в интервалах между отсчетами. Условия, при которых осуществимо восстановление аналогового сигнала по полученному из него цифровому, то есть сохранение всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремой Найквиста-Уиттекера-Котельникова-Шеннона (в зависимости от пристрастий автора встречаются все мыслимые комбинации этих имен). Для этого требуется, чтобы полоса частот входного сигнала была бы не менее чем вдвое уже, чем частота дискретизации, то есть f c = 1/2f d . (Нередко приводят частную ее формулировку, верную для сигналов, чья полоса частот начинается с нулевой частоты - “чтобы не присутствовали частоты большие, нежели половина частоты дискретизации”).

Если же такие частоты имеются, возникает эффект маскировки (подмены) частот. Наглядным его проявлением может служить иллюзия, часто проявляющаяся в кино - вращающееся колесо вдруг начинает вращаться в противоположную сторону. Здесь частота смены кадров является аналогом частоты дискретизации, и когда колесо совершает между последовательными кадрами более чем пол-оборота, оно кажется вращающимся в другую сторону и с иной скоростью. Для частоты f маскируются под нее частоты (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f) и т.д. Употребляется также термин “алиасы”, от aliases. Неучет этого эффекта может приводить к грубым ошибкам: так, в одном, проведенном в серьезной лаборатории исследовании было обнаружено наличие в электроэнцефалограмме у всех больных, в отличие от здоровых испытуемых, частот 22 и 28 герц. Однако, заметив, что частота дискретизации в данном исследовании была принята 128 Гц, видим, что эти частоты суть “призраки”, порождения помехи на частотах 100 и 150 Гц - второй и третьей гармониках сетевой частоты (их источником могли быть, например, нелинейные устройства в цепях питания аппаратуры, такие, как выпрямители и трансформаторы). Регистрация же их исключительно у больных вызвана была тем, что в условиях больницы, сравнительно с университетской лабораторией, где записывали ЭЭГ здоровых испытуемых, уровень помех существенно выше.

Борьба с эффектом маскирования частот (антиалиасинг) приводит к необходимости предварительной фильтрации сигнала, исключающей частоты выше половины частоты дискретизации, причем ввиду несовершенства реальных фильтров частоту среза выбирают заведомо более низкую, чем требуемая теоретически, как правило, в три-четыре раза ниже частоты дискретизации. Несовершенство это порождено не неумением инженеров-электриков, а носит фундаментальный характер. Дело в том, что сигнал с ограниченной частотной полосой в принципе не может быть конечной длины, а если он конечен во времени, то содержит бесконечную по ширине полосу частот. (Это ограничение количественно выражается соотношением неопределенностей, связывающим длину импульса и его частотную полосу - бесконечно короткий импульс содержит “в зародыше” все возможные частоты, а строго моночастотная синусоида должна простираться от минус до плюс бесконечности.) Поэтому чересчур высококачественный фильтр будет иметь слишком большое время установления, а “идеальный” - вообще бесконечное.

(ИП) — СИ, предназначенное для преобразования измеряемой величины в другую величину или сигнал измерительной информации, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи.

По расположению в измерительной цепи различают первичные и промежуточные измерительные преобразователи.

Первичный , называемый также датчиком, — это тот измерительный преобразователь, на который непосредственно действует измеряемая величина.

Остальные измерительные преобразователи называют промежуточными. Они расположены после первичного измерительного преобразователя и могут выполнять различные операции преобразования измерительного сигнала.

Как правило, к ним относятся:

Изменение физического рода величины;

Масштабное (линейное или нелинейное) преобразование;

Масштабно-временное преобразование;

Аналого-цифровое преобразование;

Цифро-аналоговое преобразование;

Функциональное преобразование (любые математические операции над значениями величины).

Следует иметь в виду, что указанная классификация достаточно условна. Во-первых, в одном СИ может быть несколько первичных (например, термопара в цепи термоэлектрического термометра). Во-вторых, специфика аналитических измерений также приводит к нарушению указанного принципа классификации.

Аналитические измерения представляют собой преобразование измеряемой величины, являющейся информативным параметром анализируемой среды (информативный параметр — параметр, несущий информацию о измеряемой величине), и сравнением ее с мерой.

Обычно они проводятся с помощью совокупности измерительных преобразователей , включающей следующие виды измерительных преобразователей :

ИП1: измерительный преобразователь типа состав - состав, обеспечивающие масштабные преобразования анализируемой пробы. Проба характеризуется информативным параметром С (содержанием измеряемого компонента) и комбинацией неинформативных параметров Сн, к которым относятся содержание неопределяемых (мешающих) компонент и термодинамические параметры анализируемой среды. При прохождении через ИП1 происходят процессы очистки, сушки, изменения температуры и давления смеси до требуемых величин и, после этих преобразований анализируемой среды, отбор ее требуемого количества. ИП1 обычно называют блоком отбора и подготовки пробы;

ИП2: измерительный преобразователь типа состав - свойство, обеспечивающие преобразование измеряемой величины С в то или иное физико-химическое свойство, удобное для последующего измерения и регистрации. Во многих случаях это преобразование идет в два этапа: получение промежуточного продукта в жидкой либо твердой фазе с содержанием компонента Ynpом(C), а затем его преобразование в свойство Ф (Ynpом).

ИП3: измерительный преобразователь типа свойство - выходной сигнал, обеспечивающие преобразование измеряемой величины в выходной измерительный сигнал W. Обычно это преобразование также осуще-ствляется в два этапа: в промежуточный сигнал Wnpом(Ф) и затем в выходной сигнал W(Wnpом ). При этом преобразование Wnpом в W — это преобразование одной электрической величины в другую.

Получив с помощью совокупности измерительных преобразователей выходные сигналы от анализируемого объекта, по калибровочной зависимости произво-дят сравнение измеряемой величины с мерой и вырабатывают оценочные значения С* измеряемой величины С.

Эта совокупность измерительных преобразователей не укладывается в приведенную классификацию, т. к. измеряемая величина непосредственно воздействует не только на первый измерительный преобразователь измерительной цепи, но и на их совокупность, включающую ИП1, ИП2 и первый преобразователь группы ИП3. При этом только второй преобразователь группы ИП3 является промежуточным. Отсюда следует, что в аналитических приборах роль первичного измерительного преобразователя выполняет совокупность измерительных преобразователей, осуществляющая последовательное, в несколько этапов, преобразование измеряемой величины в измерительный сигнал.

К средствам измерений относятся меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки и информационно-измерительные системы. Мерой называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения заданного значения физической величины.

Измерительный преобразователь - это средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающийся непосредственному восприятию наблюдателем. Измерительный преобразователь, к которому подводится измеряемая величина, называется первичным измерительным преобразователем .

В зависимости от характера преобразуемых величин различают следующие виды измерительных преобразователей:

Преобразователи электрических величин в электрические (делители напряжения, измерительные трансформаторы);

Преобразователи магнитных величин в электрические (измерительные катушки);

Преобразователи неэлектрических величин в электрические (термо- и тензопреобразователи, реостатные, емкостные).

В зависимости от вида входного и выходного сигналов различают измерительные преобразователи:

- аналоговые преобразователи , у которых на входе и выходе аналоговые сигналы;

- аналого -цифровые преобразователи , имеющие на входе аналоговый сигнал, а на выходе цифровой (кодированный) сигнал;

- цифро -аналоговые преобразователи , у которых на входе цифровой, а на выходе - аналоговый сигнал.

Первичные измерительные преобразователи, размещаемые непосредственно на объекте исследования и удаления от места обработки, отображения и регистрации измерительной информации, называют датчиками .

Измерительные приборы - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

По физическим явлениям, положенным в основу работы, измерительные приборы можно разделить на электроизмерительные (электромеханические, электротепловые, электрохимические и др.) и электронные приборы. По назначению их подразделяют на приборы для измерения электрических и неэлектрических (магнитных, тепловых, химических и др.) физических величин, по способу представления результатов - на показывающие и регистрирующие. В зависимости от регистрации измеряемой величины - аналоговые и цифровые измерительные приборы.

Измерительные установки - комплекс средств измерений, включающий в себя меры, измерительные приборы и преобразователи, вспомогательные устройства, объединенные общей схемой, с помощью которой можно измерить одну или несколько физических величин.

Диапазон измерений - область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерений. Он ограничивается наибольшим и наименьшим значениями.

Область значений шкалы, ограниченную начальными и конечными значениями шкалы, называют диапазоном показаний .

В каноническом разложении Котельникова интервал дискретизации случайного процесса определяется его интервалом корреляции, максимальным значением спектральной плотности и значением спектральной плотности на нулевой частоте.

Интервал дискретизации больше или равен интервалу корреляции процесса.

Из классической теории сигналов известно, что значения отсчетов, взятых через интервал Котельникова, взаимно-некоррелированы, если спектр сигнала в занимаемой им полосе частот равномерен (белый шум). Однако на практике в основном используются сигналы, спектр которых неравномерен, поэтому корреляция между отсчетами не равна нулю. При этом степень корреляции возрастает с увеличением частоты дискретизации. Типичным примером таких сигналов является речь, где корреляция между соседними отсчетами достаточно велика при соблюдении теоремы Котельникова в процессе дискретизации.

Часто используется понятие "интервал корреляции " или "время корреляции ", под которыми понимается величина временного сдвига , при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретного эксперимента. Обычно интервал корреляции определяют как .

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным, или белым шумом. В противном случае случайный процесс является коррелированным. В качестве примера на рис. 4.1 приведен пример коррелированного (вверху) и некоррелированного (внизу) случайного процесса. Реальные процессы все являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот.

Однако на определенном интервале времени (частот) их можно приближенно считать некоррелированными.

Время дискретизации Δτ = τk + 1 - τk (или соответствующую ему частоту

Дискретизации сигналов Δφ = 1/Δτ);

Время дискретизации сигналов первичных преобразователей или соответствующую ему частоту дискретизации сигналов выбирают в зависимости от требований к погрешности измерений, учитывая то, что частота дискретизации сигналов определяется требуемым частотным диапазоном измеряемого сигнала и ограничениями амплитудно-частотных характеристик первичных преобразователей.

Она должна как минимум в два - три раза превышать максимальную частоту возможного частотного диапазона измеряемого сигнала (для динамических измерений). Конец формы.

АСУ ТП строится по трехуровневой иерархии:

нижней уровень — уровень контрольно-измерительных приборов и исполнительных механизмов;
средний уровень — уровень контроллеров и оборудования связи
верхний уровень — уровень серверов и операторских станций

В связи с высокими требованиями к надежности системы управления в химической промышленности все уровни АСУ ТП резервируются. Для обеспечения бесперебойной передачи данных между подсистемами и уровнями иерархии приме-няются высоконадежные и помехоустойчивые каналы пере-дачи данных. В настоящее время хорошо зарекомендовало себя для этих целей оптоволоконная кольцевая сеть Industrial Ethernet.

Обработка информации осуществляется в модуле централь-ного процессора контроллера, что обеспечивает высокую надежность системы управления и гарантию исполнения всех необходимых алгоритмов, который построен по модульному принципу, позволяющему производить оперативную замену вышедших из строя модулей.

Отображение информации о режимах управления установки и управление ее исполнительными механизмами осуществля-ется с автоматизированного рабочего места оператора (АРМ), реализованного на 2-х идентичных промышленных компьюте-рах в «горячем» резерве с установленным пакетом визуали-зации на базе операционной системы Windows XP.

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти - это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова - это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников "О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи." Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

Где k - целое число; ω = 2πf1; Dk - постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

Т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

И поэтому F(t) может быть представлена так:

Функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

Могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Таким образом

Введем следующие обозначения

Подставляя получаем:

Преобразуем

Еще преобразуем

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

То есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус - нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) - дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Заключение

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.

3.1. Теорема Котельникова. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть I

3.1. Теорема Котельникова

Передача непрерывных (аналоговых) сигналов по линии связи предполагает передачу бесконечного множества их мгновенных значений на протяжении конечного промежутка времени. При этом спектр финитного, т.е. ограниченного во времени, непрерывного сигнала бесконечен. Однако, на практике различные радиотехнические устройства (фильтры, усилители и другие) имеют ограниченную полосу пропускания, что приводит к ограничению спектра сигнала некоторой граничной частотой (или ), которая определяется свойствами получателя сообщений. Так например, общепринятой нормой в системах передачи речевых сигналов является ограничение спектра сигнала в пределах , в системах телевидения – . Как преодолеть противоречие между ограничением спектра сигнала и конечным временем его существования? Ответ на этот вопрос даёт теорема, сформулированная и доказанная академиком В.А. Котельниковым и получившая название теоремы Котельникова или теоремы отсчётов.

Теорема Котельникова формулируется следующим образом. Непрерывный сигнал , ограниченный по спектру частотой (или ), полностью определяется совокупностью мгновенных значений (отсчётов) в моменты времени , отстоящие друг от друга на интервал времени .

Математически теорема Котельникова определяется выражением

, (3.1)

или с учётом (2.12)

, (3.2)

которое представляет собой разложение сигнала в особого рода ряд по системе базисных функций

являющихся ортогональными на интервале времени (сравните с разложением сигнала в ряд Фурье).

Доказательство теоремы Котельникова приведено в литературе . Мы же остановимся на вопросах физического толкования и практического применения результатов теоремы.

Выделим одно из слагаемых ряда (3.1)

. 3.3)

Это слагаемое представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот (ФНЧ), т.е. фильтра с постоянным коэффициентом передачи в пределах полосы частот от нуля до , на очень короткий импульс с амплитудой . (рис. 3.1).

Отметим, что в моменты времени , и т.д. значения отклика равны нулю. Это определяет механизм восстановления непрерывного сигнала по его отсчётам.

Формирование последовательности отсчётов непрерывного сигнала, которая представляет собой дискретный сигнал , т.к. значение любого отсчёта сохраняется неизменным в течение интервала времени (см. классификацию сигналов), осуществляется при помощи импульсного модулятора.

Простейший вариант импульсного модулятора представляет собой перемножитель (рис. 3.2), на один вход которого подаётся непрерывный сигнал , а на второй – последовательность

коротких единичных импульсов вида (1.13), следующих друг за другом с периодом (рис. 3.2, а). Тогда на выходе перемножителя будет иметь место последовательность коротких импульсов

амплитуды которых равны , т.е. соответствуют мгновенным значениям сигнала , отсчитанным в момент времени . (рис 3.3, в).

Процесс формирований последовательности отсчётов называется дискретизацией непрерывного сигнала.

Восстановление непрерывного сигнала осуществляется путём подачи дискретного сигнала на идеальный фильтр нижних частот. Отклик фильтра на каждый отсчёт определяется выражением (3.2). При этом, в момент времени , значение отклика определяется только k -тым отсчётом дискретного сигнала; отклик на остальные отсчёты равны нулю (Рис. 3.3, г). Суммируясь, эти отклики дают на выходе ФНЧ исходный сигнал .

Отметим два важных обстоятельства.

Во-первых, точное восстановление сигнала имеет место только при . Введя в рассмотрение частоту дискретизации , получим так называемую частоту Найквиста , т.е. минимальное значение частоты дискретизации, при котором возможно точное восстановление непрерывного сигнала. Обычно, на практике частоту дискретизации выбирают выше предела Найквиста. Так, например, частота Найквиста для речевого сигнала при составляет . В реальных РТИС эта частота составляет .

Во-вторых, точное восстановление сигнала возможно при суммировании бесконечного числа откликов, что соответствует сигналу , неограниченному во времени. Но в действительности, сигналы являются ограниченными и по спектру и по времени. Однако, при определённых допущениях теорема Котельникова справедлива и для этого случая.

Если сигнал, длительностью ограничивается радиотехническим устройством с граничной частотой , то для его представления в дискретной форме требуется конечное число отсчетов, где

. (3.4)

Таким образом для восстановления сигнала длительностью , ограниченного по спектру частотой достаточно передать независимых отсчетов, однозначно связанных с его формой.

Но теоретически сигнал, ограниченный по времени имеет бесконечный спектр. А это означает, что при восстановлении сигнала по отсчетам будет иметь место ошибка, т.е. восстановленный сигнал ŝ( t ) будет отличаться от исходного . Казалось бы, теорема Котельникова неприменима к реальным сигналам. Тем не менее, если к точности восстановления сигнала по отсчетам предъявить определенные требования, например, допустить его восстановление с заданным уровнем ошибки, то утверждения теоремы Котельникова можно с успехом распространить на реальные сигналы, несколько изменив частоту дискретизации по сравнению с пределом Найквиста.

Теперь с учетом того, что реальный сигнал длительностью представляется отсчетами мгновенных значений, выражение (3.1) принимает вид:

. (3.5)

Величина называется базой сигнала . Понятие базы играет важную роль при представлении непрерывного сигнала конечным числом отсчетов. Соответствующим образом выбранная база определяет информационные показатели сигналов, способность противостоять помехам при передаче по каналам связи, энергетическую скрытность и другие.

Рассмотрим теперь вопрос оценки точности восстановления непрерывного сигнала по совокупности отсчетов его мгновенных значений. Как уже неоднократно подчеркивалось выше, ограниченный во времени сигнал имеет бесконечный спектр. Согласно равенству Парсеваля (2.50) энергия такого сигнала равна

3.6)

где или – энергетический спектр, представленный как функция либо круговой , либо циклической частоты.

Энергия за пределами частоты (или ) составляет величину

. (3.7)

На рис. 3.4 изображен энергетический спектр сигнала, ограниченного во времени и граничная частота .

Площадь под всей кривой характеризует полную энергию сигнала , а площадь заштрихованного участка - ту часть энергии , которая сосредоточена за пределами .

Тогда отношение