Оценка качества имитационной модели. Оценка качества регрессионной модели

Оценка качества модели является завершающим этапом ее разработки и пре­следует две цели:

1) проверить соответствие модели ее предназначению (целям исследования);

2) оценить достоверность и статистические характеристики результатов, полу­чаемых при проведении модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании достоверность результатов определяется двумя основными факторами:

1) корректным выбором математического аппарата, используемого для описа­ния исследуемой системы;

2) методической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основными из которых являются:

Моделирование случайных факторов, основанное на использовании датчиков СЧ, которые могут вносить «искажения» в поведение модели;

Наличие нестационарного режима работы модели;

Использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной модели;

Зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;

Необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели;

Наличие модели рабочей нагрузки, качество которой зависит, в свою очередь, от тех же факторов.

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характе­ризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойства­ми. Основными из них являются:

Адекватность;

Устойчивость;

Чувствительность.

Оценка адекватности модели. В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реально­му объекту, сколько целям исследования.

Один из способов обоснования адекватности разработанной модели - использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев.

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способа­ми. Наиболее распространенные из них:

По средним значениям откликов модели и системы;

По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

По максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Оценка устойчивости модели. Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при иссле­довании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто бывает по­лезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

Чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики .

Оценка чувствительности модели. Достаточно часто возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению пара­метров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру в отдельности. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Одна из наиболее простых и распространенных процедур оценивания состоит в следующем.

1) вычисляется величина относительного среднего приращения параметра :

2) проводится пара модельных экспериментов при значениях , и средних фиксированных значениях остальных параметров. Определяются значения отклика модели и ;

3) вычисляются ее относительное приращение наблюдаемой переменной :

В результате для -го параметра модели имеют пару значений , характеризующую чувствительность модели по этому параметру.

Аналогично формируются пары для остальных параметров модели, которые образуют множество .

Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть ис­пользованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внима­ние должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чув­ствительной.

Калибровка модели. Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось, что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить ее калибровку, т. е. коррекцию с целью приведения в соответствие предъявляемым требованиям.

Как правило, процесс калибровки носит итеративный характер и состоит из трех основных этапов :

1) глобальные изменения модели (например, введение новых процессов, изме­нение типов событий и т. д.);

2) локальные изменения (в частности, изменение некоторых законов распреде­ления моделируемых случайных величин);

3) изменение специальных параметров, называемых калибровочными.

Целесообразно объединить оценку целевых свойств имитационной модели и ее калибров­ку в единый процесс.

Процедура калибровки состоит из трех шагов, каждый из которых является ите­ративным (рис. 1.11).

Шаг 1. Сравнение выходных распределений.

Цель - оценка адекватности ИМ. Критерии сравнения могут быть различны. В частности, может использоваться величина разности между средними значениями откликов модели и системы. Устранение различий на этом шаге основано на внесении глобальных изменений.

Шаг 2. Балансировка модели.

Основная задача - оценка устойчивости и чувствительности модели. По его резуль­татам, как правило, производятся локальные изменения (но возможны и глобальные).

Шаг 3. Оптимизация модели.

Цель этого этапа - обеспечение требуемой точности результатов. Здесь возмож­ны три основных направления работ: дополнительная проверка качества датчиков случайных чисел; снижение влияния переходного режима; применение специальных методов понижения дисперсии.

Существует несколько признанных наград в области качества, которые являются настолько престижными, что компании в стремлении получить их уделяют их критериям не меньше внимания, чем требованиям стандартов ISO. Отметим наиболее известные из них.

1. Приз Эдварда Деминга является высоко котирующейся наградой японского правительства, присуждаемой за успешную деятельность в области качества. Приз ежегодно присуждается производству, которое отвечает его стандартам. Главное внимание при оценке уделяется статистическому контролю качества, что сужает диапазон этой награды по сравнению с премией Болдриджа, которая больше фокусируется на удовлетворении запросов потребителя. Компании, которые завоевывают приз Деминга, обычно имеют программы качества, которые тщательно детализированы и широко распространены по всей организации.

Оценочная модель критериев Деминга включает десять компонентов:

1. Политика.

2. Организация и ее управление.

3. Образование и его распространение.

4. Управление качеством.

5. Анализ.

6. Стандартизация.

7. Контроль.

8. Гарантия качества.

9. Результаты.

10. Планирование (будущие планы).

2. Награда Европейского форума качества, European Quality Award (EQA). В основе модели оценки EQA лежит оценка систему управления организации, которая позволяет ясно различить ее сильные и слабые стороны. Критериями являются вопросы–тесты в следующих областях:

1) лидерство – 10 % оценки;

2) управление персоналом – 9 %;

3) политика и стратегии – 8 %;

4) ресурсы – 9 %;

5) процессы – 14 %;

6) удовлетворение запросов людей – 9 %;

7) удовлетворение потребностей – 20 %;

8) воздействие на общество – 6 %;

9) результаты – 15 %.

Девять элементов, используемых для оценки экспертов, относятся к критериям, которые отражают рост уровня качества в организации. Для удобства их делят на средства (15) и результаты (69).

3. Премия Болдриджа, Malcolm Baldrige National Quality Award (МВА). Цель соревнования за эту награду – стимулировать усилия по улучшению качества, отметить достижения компаний США в области качества и публиковать наиболее успешные программы. Ежегодно правительством США присуждается не более двух премий по каждой из 3 категорий: крупное производство, крупная компания из сферы услуг, малый бизнес (500 сотрудников и менее).

Участники оцениваются в семи главных сферах:

1) лидерство – 100 баллов;

2) информация и анализ – 70 баллов;

3) стратегическое планирование – 60 баллов;

4) использование ресурсов – 150 баллов;

5) гарантии качества – 140 баллов;

6) результирующее качество – 180 баллов;

7) удовлетворение потребителей – 300 баллов.

Множество компаний в США используют критерии Малколма Болдриджа для построения собственных систем качества. Например, компания Моторола (Чикаго, Иллинойс) разработала собственные стандарты качества Motorola Corporate Quality System Review (QSR), в которых были учтены критерии ISO 9001:1994, критерии премии Болдриджа, концепции 6SIGMA и 5NINES, TL9000 (стандарты качества в области телекоммуникаций) и несколько других стандартов. В настоящее время специалисты этой компании, проводя аудит систем качества в соответствии с критериями QSR, обеспечивают удовлетворение требований всех перечисленных стандартов.

Начальным пунктом эконометрического анализа зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Это объясняется простотой исследования линейной зависимости. Поэтому проверка наличия такой зависимости, оценивание ее индикаторов и параметров является одним из важнейших направлений приложения математической статистики.

Наиболее простым для изучения является случай взаимосвязи двух переменных х и у . Если это реальные статистические данные, то мы никогда не получим простую линию – линейную, квадратичную, экспоненциальную и т.д. Всегда будут присутствовать отклонения зависимой переменной, вызванные ошибками измерения, влиянием неучтенных величин или случайных факторов. Связь переменных, на которую накладываются воздействия случайных факторов, называется статистической связью . Наличие такой связи заключается в том, что изменение одной переменной приводят к изменению математического ожидания другой переменной.

Выделяют два типа взаимосвязей между переменными х и у :

1) переменные равноправны, т.е. может быть не известно, какая из двух переменных является независимой, а какая – зависимой;

2) две исследуемые переменные не равноправны, но одна из них рассматривается как объясняющая (или независимая), а другая как объясняемая (или зависящая от первой).

В первом случае говорят о статистической взаимосвязи корреляционного типа. При этом возникают проблемы оценки связи между переменными. Например, связь показателей безработицы и инфляции в данной стране за определенный период времени. Может стоять вопрос, связаны ли между собой эти показатели, и при положительном ответе на него встает задача нахождения формы связи. Вопрос о наличии связи между экономическими переменными сводится к определению конкретной формулы (спецификации) такой связи, устойчивой к изменению числа наблюдений. Для этого используются специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом (и с определенной вероятностью) свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными.

Во втором случае, когда изменение одной из переменных служит причиной для изменения другой, должно быть оценено уравнение регрессии вида

y = f(x) (8).

Уравнение регрессии – это формула статистической связи между переменными. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией. Например, Дж. Кейнсом была предложена линейная формула зависимости частного потребления С от располагаемого личного дохода Y d: С = С 0 +b Y d , где С 0 > 0 – величина автономного потребления, 1> b >0 – предельная склонность к потреблению.

Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии . В данном случае выбрана линейная формула. Далее требуется оценить значения параметров и проверить надежность оценок.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки линейных параметров регрессий используют метод наименьших квадратов (МНК), который позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений y i результативного признака у от теоретических ŷ i минимальна, т.е.

В линейном случае задача сводится к решению следующей системы линейных уравнений:

(10)

Для нахождения а и в воспользуемся готовыми формулами, которые легко получаются решением системы:

(11)

a = `у - b , b = (12)

Оценку качества построенной модели даст коэффициент R 2 = r xy 2 (R 2 = r xy 2 индекс) детерминации , а также средняя ошибка аппроксимации :

` (13)

Традиционно считается, что допустимый предел значений `А не более 8-10%. В этом случае модель оценивается как достаточно точная , в противном случае говорят о плохом качестве построенной модели.

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к наблюдаемым значениям, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации (0 £ R 2 £ 1), определяемый по формуле:

(14)

Коэффициент детерминации R 2 показывает, какая часть (доля) дисперсии результативного признака у обусловлена вариацией объясняющей переменной. Показатель (1-R 2) характеризует долю дисперсии у , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов. Например, если R 2 =0,982, уравнением регрессии объясняется 98,2% результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8% ее дисперсии (так называемая остаточная дисперсия). Чем ближе значение R 2 к единице, тем большую долю изменения результативного фактора у можно объяснить за счет вариации включенного в модель фактора х , меньше роль прочих факторов, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные (наблюдения «теснее примыкают» к линии регрессии) и модель можно использовать для прогноза значений результативного признака.

Заметим, что коэффициент детерминации R 2 имеет смысл рассматривать только при наличии свободного члена в уравнении регрессии, так как лишь в этом случае верны равенства:

Q = Q R + Q e

(15)

Если известен коэффициент детерминации R 2 , то критерий значимости уравнения регрессии или самого коэффициента детерминации может быть записан в виде

(16)

В случае парной линейной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции. Тогда

(17)

Существуют 2 этапа интерпретации уравнения регрессии.

1. Первый состоит в словесном истолковании уравнения так, чтобы оно было понятно человеку, не являющемуся специалистом в области эконометрики и статистики.

2. На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться первым этапом или провести более детальное исследование зависимости.

Будет проиллюстрирован моделью регрессии для функции спроса, т.е. регрессией между расходами потребителя на питание у и располагаемым личным доходом х по данным, приведенным в таблице 1 для США за период с 1959 по 1983

25.07.16 Ирина Аничина

34236 0

В данной статье мы поговорим о том, как понять, качественную ли модель мы построили. Ведь именно качественная модель даст нам качественные прогнозы.

Prognoz Platform обладает обширным списком моделей для построения и анализа. Каждая модель имеет свою специфику и применяется при различных предпосылках.

Объект «Модель» позволяет построить следующие регрессионные модели:

• Линейная регрессия (оценка методом наименьших квадратов);
• Линейная регрессия (оценка методом инструментальных переменных);
• Модель бинарного выбора (оценка методом максимального правдоподобия);
• Нелинейная регрессия (оценка нелинейным методом наименьших квадратов).

Начнём с модели линейной регрессии. Многое из сказанного будет распространяться и на другие виды.

Модель линейной регрессии (оценка МНК)

где y – объясняемый ряд, x 1 , …, x k – объясняющие ряды, e – вектор ошибок модели, b 0 , b 1 , …, b k – коэффициенты модели.

Итак, куда смотреть?

Коэффициенты модели

Для каждого коэффициента на панели «Идентифицированное уравнение» вычисляется ряд статистик: стандартная ошибка, t -статистика , вероятность значимости коэффициента . Последняя является наиболее универсальной и показывает, с какой вероятностью удаление из модели фактора, соответствующего данному коэффициенту, не окажется значимым.

Открываем панель и смотрим на последний столбец, ведь он – именно тот, кто сразу же скажет нам о значимости коэффициентов.

Факторов с большой вероятностью незначимости в модели быть не должно.

Как вы видите, при исключении последнего фактора коэффициенты модели практически не изменились.

Возможные проблемы: Что делать, если согласно вашей теоретической модели фактор с большой вероятностью незначимости обязательно должен быть? Существуют и другие способы определения значимости коэффициентов. Например, взгляните на матрицу корреляции факторов.

Матрица корреляции

Панель «Корреляция факторов» содержит матрицу корреляции между всеми переменными модели, а также строит облако наблюдений для выделенной пары значений.

Коэффициент корреляции показывает силу линейной зависимости между двумя переменными. Он изменяется от -1 до 1. Близость к -1 говорит об отрицательной линейной зависимости, близость к 1 – о положительной.

Облако наблюдений позволяет визуально определить, похожа ли зависимость одной переменной от другой на линейную.

Если среди факторов встречаются сильно коррелирующие между собой, исключите один из них. При желании вместо модели обычной линейной регрессии вы можете построить модель с инструментальными переменными, включив в список инструментальных исключённые из-за корреляции факторы.

Матрица корреляции не имеет смысла для модели нелинейной регрессии, поскольку она показывает только силу линейной зависимости.

Критерии качества

Помимо проверки каждого коэффициента модели важно знать, насколько она хороша в целом. Для этого вычисляют статистики, расположенные на панели «Статистические характеристики».

Коэффициент детерминации (R 2 ) – наиболее распространённая статистика для оценки качества модели. R 2 рассчитывается по следующей формуле:

где n – число наблюдений; y i — значения объясняемой переменной; — среднее значение объясняемой переменной; ỹ i — модельные значения, построенные по оцененным параметрам.

R 2 принимает значение от 0 до 1 и показывает долю объяснённой дисперсии объясняемого ряда. Чем ближе R 2 к 1, тем лучше модель, тем меньше доля необъяснённого.

Возможные проблемы: Проблемы с использованием R 2 заключаются в том, что его значение не уменьшается при добавлении в уравнение факторов, сколь плохи бы они ни были. Он гарантированно будет равен 1, если мы добавим в модель столько факторов, сколько у нас наблюдений. Поэтому сравнивать модели с разным количеством факторов, используя R 2 , не имеет смысла.

Для более адекватной оценки модели используется скорректированный коэффициент детерминации (Adj R 2 ) . Как видно из названия, этот показатель представляет собой скорректированную версию R 2 , накладывая «штраф» за каждый добавленный фактор:

где k – число факторов, включенных в модель.

Коэффициент Adj R 2 также принимает значения от 0 до 1, но никогда не будет больше, чем значение R 2 .

Аналогом t -статистики коэффициента является статистика Фишера (F -статистика) . Однако если t -статистика проверяет гипотезу о незначимости одного коэффициента, то F -статистика проверяет гипотезу о том, что все факторы (кроме константы) являются незначимыми. Значение F -статистики также сравнивают с критическим, и для него мы также можем получить вероятность незначимости. Стоит понимать, что данный тест проверяет гипотезу о том, что все факторы одновременно являются незначимыми. Поэтому при наличии незначимых факторов модель в целом может быть значима.

Возможные проблемы: Большинство статистик строится для случая, когда модель включает в себя константу. Однако в Prognoz Platform мы имеем возможность убрать константу из списка оцениваемых коэффициентов. Стоит понимать, что такие манипуляции приводят к тому, что некоторые характеристики могут принимать недопустимые значения. Так, R 2 и Adj R 2 при отсутствии константы могут принимать отрицательные значения. В таком случае их уже не получится интерпретировать как долю, принимающую значение от 0 до 1.

Для моделей без константы в Prognoz Platform рассчитываются нецентрированные коэффициенты детерминации (R 2 и Adj R 2 ). Модифицированная формула приводит их значения к диапазону от 0 до 1 даже в модели без константы.

Посмотрим значения описанных критериев для приведённой выше модели:

Как мы видим, коэффициент детерминации достаточно велик, однако есть ещё значительная доля необъяснённой дисперсии. Статистика Фишера говорит о том, что выбранная нами совокупность факторов является значимой.

Сравнительные критерии

Кроме критериев, позволяющих говорить о качестве модели самой по себе, существует ряд характеристик, позволяющих сравнивать модели друг с другом (при условии, что мы объясняем один и тот же ряд на одном и том же периоде).

Большинство моделей регрессии сводятся к задаче минимизации суммы квадратов остатков (sum of squared residuals , SSR ) . Таким образом, сравнивая модели по этому показателю, можно определить, какая из моделей лучше объяснила исследуемый ряд. Такой модели будет соответствовать наименьшее значение суммы квадратов остатков.

Возможные проблемы: Стоит заметить, что с ростом числа факторов данный показатель так же, как и R 2 , будет стремиться к граничному значению (у SSR, очевидно, граничное значение 0).

Некоторые модели сводятся к максимизации логарифма функции максимального правдоподобия (LogL ) . Для модели линейной регрессии эти задачи приводят к одинаковому решению. На основе LogL строятся информационные критерии, часто используемые для решения задачи выбора как регрессионных моделей, так и моделей сглаживания:

• информационный критерий Акаике (Akaike Information criterion , AIC )
• критерий Шварца (Schwarz Criterion , SC )
• критерий Ханнана-Куина (Hannan - Quinn Criterion , HQ )

Все критерии учитывают число наблюдений и число параметров модели и отличаются друг от друга видом «функции штрафа» за число параметров. Для информационных критериев действует правило: наилучшая модель имеет наименьшее значение критерия.

Сравним нашу модель с её первым вариантом (с «лишним» коэффициентом):

Как можно увидеть, данная модель хоть и дала меньшую сумму квадратов остатков, оказалась хуже по информационным критериям и по скорректированному коэффициенту детерминации.

Анализ остатков

Модель считается качественной, если остатки модели не коррелируют между собой. В противном случае имеет место постоянное однонаправленное воздействие на объясняемую переменную не учтённых в модели факторов. Это влияет на качество оценок модели, делая их неэффективными.

Для проверки остатков на автокорреляцию первого порядка (зависимость текущего значения от предыдущих) используется статистика Дарбина-Уотсона (DW ) . Её значение находится в промежутке от 0 до 4. В случае отсутствия автокорреляции DW близка к 2. Близость к 0 говорит о положительной автокорреляции, к 4 — об отрицательной.

Как оказалось, в нашей модели присутствует автокорреляция остатков. От автокорреляции можно избавиться, применив преобразование «Разность» к объясняемой переменной или воспользовавшись другим видом модели – моделью ARIMA или моделью ARMAX.

Возможные проблемы: Статистика Дарбина-Уотсона неприменима к моделям без константы, а также к моделям, которые в качестве факторов используют лагированные значения объясняемой переменной. В этих случаях статистика может показывать отсутствие автокорреляции при её наличии.

Модель линейной регрессии (метод инструментальных переменных)

Модель линейной регрессии с инструментальными переменными имеет вид:

где y – объясняемый ряд, x 1 , …, x k – объясняющие ряды, x ̃ 1 , …, x ̃ k – смоделированные при помощи инструментальных переменных объясняющие ряды, z 1 , …, z l – инструментальные переменные, e , ∈ j – вектора ошибок моделей, b 0 , b 1 , …, b k – коэффициенты модели, c 0 j , c 1 j , …, c lj – коэффициенты моделей для объясняющих рядов.

Схема, по которой следует проверять качество модели, является схожей, только к критериям качества добавляется J -статистика – аналог F -статистики, учитывающий инструментальные переменные.

Модель бинарного выбора

Объясняемой переменной в модели бинарного выбора является величина, принимающая только два значения – 0 или 1.

где y – объясняемый ряд, x 1 , …, x k – объясняющие ряды, e – вектор ошибок модели, b 0 , b 1 , …, b k – коэффициенты модели, F – неубывающая функция, возвращающая значения от 0 до 1.

Коэффициенты модели вычисляются методом, максимизирующим значение функции максимального правдоподобия. Для данной модели актуальными будут такие критерии качества, как:

• Коэффициент детерминации МакФаддена (McFadden R 2 ) – аналог обычного R 2 ;
• LR -статистика и её вероятность — аналог F -статистики;
• Сравнительные критерии: LogL , AIC , SC , HQ.

Нелинейная регрессия

Под моделью линейной регрессии будем понимать модель вида:

где y – объясняемый ряд, x 1 , …, x k – объясняющие ряды, e – вектор ошибок модели, b – вектор коэффициентов модели.

Коэффициенты модели вычисляются методом, минимизирующим значение суммы квадратов остатков. Для данной модели будут актуальны те же критерии, что и для линейной регрессии, кроме проверки матрицы корреляций. Отметим ещё, что F-статистика будет проверять, является ли значимой модель в целом по сравнению с моделью y = b 0 + e , даже если в исходной модели у функции f (x 1 , …, x k , b ) нет слагаемого, соответствующего константе.

Итоги

Подведём итоги и представим перечень проверяемых характеристик в виде таблицы:

Надеюсь, данная статья была полезной для читателей! В следующий раз мы поговорим о других видах моделей, а именно ARIMA, ARMAX.

Оценка качества показывает, насколько теоретические вычисления по построенной модели отклоняются от экспериментальных данных. Наличие связи двух переменных называется корреляцией .

Если оценка качества применяется до исследования, то она решает задачу: есть ли связь между входом X и выходом Y и оценивает силу этой связи.

1. Линейный коэффициент корреляции

Линейный коэффициент корреляции указывает, есть ли между двумя рядами X и Y линейная зависимость и какой силы. Вычисляется по следующей формуле:

m x , m y , m xy — математическое ожидание x , y , xy :

Дисперсия σ x 2 и σ y 2 показывает, насколько разбросаны точки от средней величины:

Линейный коэффициент корреляции может иметь знак плюс или минус. Положительная его величина свидетельствует о прямой связи между X и Y . Чем ближе KR к +1 , тем связь более тесная. Отрицательная величина его свидетельствует об обратной связи; в этом случае границей является –1 . Близость KR к нулю свидетельствует о слабой связи между X и Y (см. рис. 9.1 ).

Рис. 9.2.

Нелинейный коэффициент корреляции вычисляется по следующей формуле:

bug09.05. Проверить все эти формулы!!!

bug09.06. откуда берется "средняя величина"?

P — разброс между реальными точками и средней величиной: bug09.07. средним значением?

D — разброс между гипотетической кривой и реальными точками:

??

R — разброс между гипотезой и средней величиной:

??

3. Коэффициент корреляции двух динамических рядов

X и Y представляются в виде рядов z i и u i для того, чтобы исключить постоянную составляющую: z i = x i – m x
u i = y i – m y

При r –> 1 имеет место тесная корреляция. При r –> 0 процессы взаимно ортогональны, корреляции нет, процессы не связаны друг с другом.

bug09.09 Более ясные рисунки

4. Корреляция внутри динамического ряда

Исследуется сила связи между прошлым и настоящим одного процесса. Для этого сигнал сравнивают с самим собой, сдвинутым во времени, и вычисляют коэффициент корреляции двух динамических рядов (см. п. 3).

bug09.12. Неясный рисунок

5. Поиск периодичности ряда

Есть ли периодичность в динамическом ряду, можно выяснить, проделав прямое преобразование Фурье и рассмотрев спектр исследуемого сигнала. Об этом рассказывается в лекции 07 «Модель динамической системы в виде Фурье представления (модель сигнала)»

6. Зависимость динамики ряда Z от двух динамических факторов X и Y

Рис. 9.5. bug09.13. Неясные рисунки (их не надо)

Коэффициент множественной корреляции R :

7. Связь двух признаков

где K — это коэффициент ассоциаций, позволяет выяснить, имеется ли какая-либо связь между двумя признаками. Если данный коэффициент близок к единице, то в этом случае можно говорить о существовании такой связи.

Пример. Попытаемся с помощью данной формулы выяснить, есть ли связь между ростом и весом человека? Пусть в нашем распоряжении имеются данные о весе и росте 500 человек:

По формуле: K = (304 · 67 – 17 · 112)/(304 · 67 + 17 · 112) = 0.83. Так как величина 0.83 близка к 1, то можно говорить о существовании определенной связи между весом и ростом.